笛卡兒（Rene Descartes）,1596年3月31日生于
法國(guó)都蘭城。笛卡兒是偉大的哲學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、生理學(xué)家。解析幾何的創(chuàng)始人。
一、笛卡兒生平
笛卡兒1596年3月31日生于法國(guó)土倫省萊耳市的一個(gè)貴族之家，笛卡兒的父親是
布列塔尼地方議會(huì)的議員，同時(shí)也是地方法院的法官,笛卡兒在豪華的生活中無憂無慮地度過了童年。他幼年體弱多病，母親病故后就一直由一位保姆照看。他對(duì)周圍的事物充滿了好奇，父親見他頗有哲學(xué)家的氣質(zhì)，親昵地稱他為“小哲學(xué)家”。
父親希望笛卡兒將來能夠成為一名
神學(xué)家，于是在笛卡兒八歲時(shí)，便將他送入拉弗萊什的
耶穌會(huì)學(xué)校，接受古典教育。校方為照顧他的孱弱的身體，特許他可以不必受校規(guī)的約束，早晨不必到學(xué)校上課，可以在床上讀書 。因此，他從小養(yǎng)成了喜歡安靜，善于思考的習(xí)慣。
笛卡兒1612年到
普瓦捷大學(xué)攻讀法學(xué)，四年后獲博士學(xué)位。1616年笛卡兒結(jié)束學(xué)業(yè)后，便背離家庭的職業(yè)傳統(tǒng)，開始探索人生之路。他投筆從戎，想借機(jī)游歷歐洲，開闊眼界。
這期間有幾次經(jīng)歷對(duì)他產(chǎn)生了重大的影響。一次，笛卡兒在街上散步，偶然間看到了一張數(shù)學(xué)題懸賞的啟事。兩天后，笛卡兒竟然把那個(gè)問題解答出來了，引起了著名學(xué)者
伊薩克·皮克曼的注意。皮克曼向笛卡兒介紹了數(shù)學(xué)的最新發(fā)展，給了他許多有待研究的問題。
與皮克曼的交往，使笛卡兒對(duì)自己的數(shù)學(xué)和科學(xué)能力有了較充分的認(rèn)識(shí)，他開始認(rèn)真探尋是否存在一種類似于數(shù)學(xué)的、具有普遍使用性的方法，以期獲取真正的知識(shí)。
據(jù)說，笛卡兒曾在一個(gè)晚上做了三個(gè)奇特的夢(mèng)。第一個(gè)夢(mèng)是，笛卡兒被風(fēng)暴吹到一個(gè)風(fēng)力吹不到的地方；第二個(gè)夢(mèng)是他得到了打開自然寶庫(kù)的鑰匙；第三個(gè)夢(mèng)是他開辟了通向真正知識(shí)的道路。這三個(gè)奇特的夢(mèng)增強(qiáng)了他創(chuàng)立新學(xué)說的信心。這一天是笛卡兒思想上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，有些學(xué)者 也把這一天定為
解析幾何的誕生日。
然而長(zhǎng)期的軍旅生活使笛卡兒感到疲憊，他于1621年回國(guó)，時(shí)值
法國(guó)內(nèi)亂，于是他去
荷蘭、
瑞士、
意大利等地旅行。1625年返回
巴黎，1628年移居
荷蘭。
在荷蘭長(zhǎng)達(dá)20多年的時(shí)間里，笛卡爾對(duì)哲學(xué)、數(shù)學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)和生理學(xué)等領(lǐng)域進(jìn)行了深入的研究，并通過數(shù)學(xué)家
梅森神父與歐洲主要學(xué)者保持密切聯(lián)系。他的主要著作幾乎都是在荷蘭完成的。
1628年，笛卡爾寫出《指導(dǎo)哲理之原則》，1634年完成了以
哥白尼學(xué)說為基礎(chǔ)的《論世界》。書中總結(jié)了他在哲學(xué)、數(shù)學(xué)和許多自然科學(xué)問題上的一些看法。1637年，笛卡兒用法文寫成三篇論文《折光學(xué)》、《氣象學(xué)》和《幾何學(xué)》，并為此寫了一篇序言《科學(xué)中正確運(yùn)用理性和追求真理的方法論》，哲學(xué)史上簡(jiǎn)稱為《方法論》，6月8日在萊頓匿名出版。1641年出版了《形而上學(xué)的沉思》，1644年又出版了《哲學(xué)原理》等重要著作。
笛卡兒（Descartes,René）,法國(guó)數(shù)學(xué)家、科學(xué)家和哲學(xué)家。他是西方近代資產(chǎn)階級(jí)哲學(xué)奠基人之一。他的哲學(xué)與數(shù)學(xué)思想對(duì)歷史的影響是深遠(yuǎn)的。人們?cè)谒哪贡峡滔铝诉@樣一句話：“笛卡兒，歐洲文藝復(fù)興以來，第一個(gè)為人類爭(zhēng)取并保證理性權(quán)利的人。”
笛卡兒出生于法國(guó)，父親是法國(guó)一個(gè)地方法院的評(píng)議員，相當(dāng)于現(xiàn)在的律師和法官。一歲時(shí)母親去世，給笛卡兒留下了一筆遺產(chǎn)，為日后他從事自己喜愛的工作提供了可靠的經(jīng)濟(jì)保障。8歲時(shí)他進(jìn)入一所耶穌會(huì)學(xué)校，在校學(xué)習(xí)8年，接受了傳統(tǒng)的文化教育，讀了古典文學(xué)、歷史、神學(xué)、哲學(xué)、法學(xué)、醫(yī)學(xué)、數(shù)學(xué)及其他自然科學(xué)。但他對(duì)所學(xué)的東西頗感失望。因?yàn)樵谒磥斫炭茣心切┪⒚畹恼撟C，其實(shí)不過是模棱兩可甚至前后矛盾的理論，只能使他頓生懷疑而無從得到確鑿的知識(shí)，惟一給他安慰的是數(shù)學(xué)。在結(jié)束學(xué)業(yè)時(shí)他暗下決心：不再死鉆書本學(xué)問，而要向“世界這本大書”討教，于是他決定避開戰(zhàn)爭(zhēng)，遠(yuǎn)離社交活動(dòng)頻繁的都市，尋找一處適于研究的環(huán)境。1628年，他從巴黎移居荷蘭，開始了長(zhǎng)達(dá)20年的潛心研究和寫作生涯，先后發(fā)表了許多在數(shù)學(xué)和哲學(xué)上有重大影響的論著。在荷蘭長(zhǎng)達(dá)20年的時(shí)間里，他集中精力做了大量的研究工作，在1634年寫了《論世界》，書中總結(jié)了他在哲學(xué)、數(shù)學(xué)和許多自然科學(xué)問題上的看法。1641年出版了《行而上學(xué)的沉思》，1644年又出版了《哲學(xué)原理》等。他的著作在生前就遭到教會(huì)指責(zé)，死后又被梵蒂岡教皇列為禁書，但這并沒有阻止他的思想的傳播。
笛卡兒不僅在哲學(xué)領(lǐng)域里開辟了一條新的道路，同時(shí)笛卡兒又是一勇于探索的科學(xué)家，在物理學(xué)、生理學(xué)等領(lǐng)域都有值得稱道的創(chuàng)見，特別是在數(shù)學(xué)上他創(chuàng)立了解析幾何，從而打開了近代數(shù)學(xué)的大門，在科學(xué)史上具有劃時(shí)代的意義。
笛卡兒的主要數(shù)學(xué)成果集中在他的“幾何學(xué)”中。當(dāng)時(shí)，代數(shù)還是一門比較新的科學(xué)，幾何學(xué)的思維還在數(shù)學(xué)家的頭腦中占有統(tǒng)治地位。在笛卡兒之前，幾何與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩個(gè)不同的研究領(lǐng)域。笛卡兒站在方法論的自然哲學(xué)的高度，認(rèn)為希臘人的幾何學(xué)過于依賴于圖形，束縛了人的想象力。對(duì)于當(dāng)時(shí)流行的代數(shù)學(xué)，他覺得它完全從屬于法則和公式，不能成為一門改進(jìn)智力的科學(xué)。因此他提出必須把幾何與代數(shù)的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來，建立一種“真正的數(shù)學(xué)”。笛卡兒的思想核心是：把幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，用代數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行計(jì)算、證明，從而達(dá)到最終解決幾何問題的目的。依照這種思想他創(chuàng)立了我們現(xiàn)在稱之為的“解析幾何學(xué)”。1637年，笛卡兒發(fā)表了《幾何學(xué)》，創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系。他用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來確定點(diǎn)的位置，用坐標(biāo)來描述空間上的點(diǎn)。他進(jìn)而又創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，表明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何分離的趨向，把相互對(duì)立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。笛卡兒的這一天才創(chuàng)見，更為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，從而開拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域。最為可貴的是，笛卡兒用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，把曲線看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的軌跡，不僅建立了點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且把形（包括點(diǎn)、線、面）和“數(shù)”兩個(gè)對(duì)立的對(duì)象統(tǒng)一起來，建立了曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的建立，不僅標(biāo)志著函數(shù)概念的萌芽，而且標(biāo)明變數(shù)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)在思想方法上發(fā)生了偉大的轉(zhuǎn)折--由常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)的時(shí)期。正如恩格斯所說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辨證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了。笛卡兒的這些成就，為后來牛頓、萊布尼茲發(fā)現(xiàn)微積分，為一大批數(shù)學(xué)家的新發(fā)現(xiàn)開辟了道路。
笛卡兒在其他科學(xué)領(lǐng)域的成就同樣累累碩果。笛卡兒靠著天才的直覺和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理，在物理學(xué)方面做出了有益的貢獻(xiàn)。從1619年讀了開普勒的光學(xué)著作后，笛卡兒就一直關(guān)注著透鏡理論；并從理論和實(shí)踐兩方面參與了對(duì)光的本質(zhì)、反射與折射率以及磨制透鏡的研究。他把光的理論視為整個(gè)知識(shí)體系中最重要的部分。笛卡兒堅(jiān)信光是“即時(shí)”傳播的，他在著作《論人》和《哲學(xué)原理》中，完整的闡發(fā)了關(guān)于光的本性的概念。他還從理論上推導(dǎo)了折射定律，與荷蘭的斯涅耳共同分享發(fā)現(xiàn)光的折射定律的榮譽(yù)。他還對(duì)人眼進(jìn)行光學(xué)分析，解釋了視力失常的原因是晶狀體變形，設(shè)計(jì)了矯正視力的透鏡。在力學(xué)方面，他提出了宇宙間運(yùn)動(dòng)量總和是常數(shù)的觀點(diǎn)，創(chuàng)造了運(yùn)動(dòng)量守恒定律，為能量守恒定律奠定了基礎(chǔ)。他還指出，一個(gè)物體若不受外力作用，將沿直線勻速運(yùn)動(dòng)。
笛卡兒在其他的科學(xué)領(lǐng)域還有不少值得稱道的創(chuàng)見。他發(fā)展了宇宙演化論，創(chuàng)立了漩渦說。他認(rèn)為太陽(yáng)的周圍有巨大的漩渦，帶動(dòng)著行星不斷運(yùn)轉(zhuǎn)。物質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)處于統(tǒng)一的漩渦之中，在運(yùn)動(dòng)中分化出土、空氣和火三種元素，土形成行星，火則形成太陽(yáng)和恒星。笛卡兒的這一太陽(yáng)起源的旋渦說，比康德的星云說早一個(gè)世紀(jì)，是17世紀(jì)中最有權(quán)威的宇宙論。他還提出了刺激反應(yīng)說，為生理學(xué)做出了一定的貢獻(xiàn)。
笛卡兒近代科學(xué)的始祖。笛卡兒是歐洲近代哲學(xué)的奠基人之一，黑格爾稱他為“現(xiàn)代哲學(xué)之父”。他自成體系，熔唯物主義與唯心主義于一爐，在哲學(xué)史上產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。同時(shí)，他又是一位勇于探索的科學(xué)家，他所建立的解析幾何在數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代的意義。笛卡兒堪稱17世紀(jì)的歐洲哲學(xué)界和科學(xué)界最有影響的巨匠之一，被譽(yù)為“近代科學(xué)的始祖”。
1649年冬，笛卡兒應(yīng)
瑞典女王
克里斯蒂安的邀請(qǐng)，來到了
斯德哥爾摩，任宮廷哲學(xué)家，為瑞典女王授課。由于他身體孱弱，不能適應(yīng)那里的氣候，1650年初便患肺炎抱病不起，同年二月病逝。終年54歲。1799年
法國(guó)大革命后，笛卡兒的骨灰被送到了
法國(guó)歷史博物館。
二、笛卡兒的成就
笛卡兒在科學(xué)上的貢獻(xiàn)是多方面的。但他的哲學(xué)思想和
方法論，在其一生活動(dòng)中則占有更重要的地位。他的哲學(xué)思想對(duì)后來的哲學(xué)和科學(xué)的發(fā)展，產(chǎn)生了極大的影響。
◆哲學(xué)方面：
笛卡兒強(qiáng)調(diào)科學(xué)的目的在于造福人類，使人成為自然界的主人和統(tǒng)治者。他反對(duì)
經(jīng)院哲學(xué)和神學(xué)，提出懷疑一切的“系統(tǒng)懷疑的方法”。但他還提出了“我思故我在”的原則，強(qiáng)調(diào)不能懷疑以思維為其屬性的獨(dú)立的精神實(shí)體的存在，并論證以廣延為其屬性的獨(dú)立物質(zhì)實(shí)體的存在。他認(rèn)為上述兩實(shí)體都是有限實(shí)體，把它們并列起來，這說明了在
形而上學(xué)或本體論上，他是典型的
二元論者。笛卡兒還企圖證明無限實(shí)體，即
上帝的存在。他認(rèn)為上帝是有限實(shí)體的創(chuàng)造者和終極的原因。笛卡兒的認(rèn)識(shí)論基本上是
唯心主義的。他主張唯理論，把幾何學(xué)的推理方法和演繹法應(yīng)用于哲學(xué)上，認(rèn)為清晰明白的概念就是真理，提出“
天賦觀念”。
笛卡兒的自然哲學(xué)觀同
亞里士多德的學(xué)說是完全對(duì)立的。他認(rèn)為，所有物質(zhì)的東西，都是為同一機(jī)械規(guī)律所支配的機(jī)器，甚至人體也是如此。同時(shí)他又認(rèn)為，除了機(jī)械的世界外，還有一個(gè)精神世界存在，這種二元論的觀點(diǎn)后來成了歐洲人的根本思想方法。
最著名的思想就是＂我思故我在＂。意思是：“當(dāng)我懷疑一切事物的存在時(shí)，我卻不用懷疑我本身的思想，因?yàn)榇藭r(shí)我唯一可以確定的事就是我自己思想的存在”。這句被Descartes當(dāng)作自己的哲學(xué)體系的出發(fā)點(diǎn)的名言，在過去的東歐和現(xiàn)在的中國(guó)學(xué)界都被認(rèn)為是極端主觀唯心主義的總代表，而遭到嚴(yán)厲的批判。很多人甚至以“存在必先于意識(shí)”、“沒有肉體便不能有思想”等為論據(jù)，認(rèn)為Descartes是“本末倒置”、“荒唐可笑”。Descartes的懷疑不是對(duì)某些具體事物、具體原理的懷疑，而是對(duì)人類、對(duì)世界、對(duì)上帝的絕對(duì)的懷疑。從這個(gè)絕對(duì)的懷疑，Descartes要引導(dǎo)出不容置疑的哲學(xué)的原則。
◆物理學(xué)方面
笛卡兒靠著天才的直覺和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理，在物理學(xué)方面做出了有益的貢獻(xiàn)。從1619年讀了
開普勒的光學(xué)著作后，笛卡兒就一直關(guān)注著
透鏡理論；并從理論和實(shí)踐兩方面參與了對(duì)光的本質(zhì)、反射與
折射率以及磨制透鏡的研究。他把光的理論視為整個(gè)知識(shí)體系中最重要的部分。
笛卡兒運(yùn)用他的坐標(biāo)
幾何學(xué)從事光學(xué)研究,在《屈光學(xué)》中第一次對(duì)
折射定律提出了理論上的推證。他認(rèn)為光是壓力在
以太中的傳播，他從光的發(fā)射論的觀點(diǎn)出發(fā)，用網(wǎng)球打在布面上的模型來計(jì)算光在兩種媒質(zhì)分界面上的反射、折射和全反射，從而首次在假定平行于界面的速度分量不變的條件下導(dǎo)出
折射定律；不過他的假定條件是錯(cuò)誤的，他的推證得出了光由光疏媒質(zhì)進(jìn)入光密媒質(zhì)時(shí)速度增大的錯(cuò)誤結(jié)論。他還對(duì)人眼進(jìn)行光學(xué)分析，解釋了視力失常的原因是
晶狀體變形，設(shè)計(jì)了矯正視力的透鏡。
在力學(xué)上，笛卡兒發(fā)展了
伽利略的運(yùn)動(dòng)相對(duì)性的思想，例如在《哲學(xué)原理》一書中，舉出在航行中的海船上海員懷表的表輪這一類生動(dòng)的例子，用以說明運(yùn)動(dòng)與靜止需要選擇參照物的道理。
笛卡兒在《哲學(xué)原理》第二章中以第一和第二自然定律的形式比較完整地第一次表述了
慣性定律：只要物體開始運(yùn)動(dòng)，就將繼續(xù)以同一速度并沿著同一直線方向運(yùn)動(dòng)，直到遇到某種外來原因造成的阻礙或偏離為止。這里他強(qiáng)調(diào)了伽利略沒有明確表述的慣性運(yùn)動(dòng)的直線性。
在這一章中，他還第一次明確地提出了
動(dòng)量守恒定律：物質(zhì)和運(yùn)動(dòng)的總量永遠(yuǎn)保持不變。笛卡兒對(duì)碰撞和離心力等問題曾作過初步研究，給后來惠更斯的成功創(chuàng)造了條件。
◆天文學(xué)方面
笛卡兒把他的機(jī)械論觀點(diǎn)應(yīng)用到
天體，發(fā)展了
宇宙演化論，形成了他關(guān)于宇宙發(fā)生與構(gòu)造的學(xué)說。他認(rèn)為，從發(fā)展的觀點(diǎn)來看而不只是從已有的形態(tài)來觀察，對(duì)事物更易于理解。他創(chuàng)立了漩渦說。他認(rèn)為
太陽(yáng)的周圍有巨大的漩渦，帶動(dòng)著行星不斷運(yùn)轉(zhuǎn)。物質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)處于統(tǒng)一的漩渦之中，在運(yùn)動(dòng)中分化出土、空氣和火三種元素，土形成
行星，火則形成太陽(yáng)和
恒星。
他認(rèn)為天體的運(yùn)動(dòng)來源于慣性和某種宇宙物質(zhì)旋渦對(duì)天體的壓力，在各種大小不同的旋渦的中心必有某一天體，以這種假說來解釋天體間的相互作用。笛卡兒的太陽(yáng)起源的以太旋渦模型第一次依靠力學(xué)而不是神學(xué)，解釋了天體、太陽(yáng)、行星、
衛(wèi)星、
彗星等的形成過程，比康德的星云說早一個(gè)世紀(jì)，是17世紀(jì)中最有權(quán)威的宇宙論。
笛卡兒的天體演化說、旋渦模型和近距作用觀點(diǎn)，正如他的整個(gè)思想體系一樣，一方面以豐富的物理思想和嚴(yán)密的科學(xué)方法為特色，起著反對(duì)
經(jīng)院哲學(xué)、啟發(fā)科學(xué)思維、推動(dòng)當(dāng)時(shí)自然科學(xué)前進(jìn)的作用，對(duì)許多自然科學(xué)家的思想產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響；而另一方面又經(jīng)常停留在直觀和定性階段，不是從定量的實(shí)驗(yàn)事實(shí)出發(fā)，因而一些具體結(jié)論往往有很多缺陷，成為后來
牛頓物理學(xué)的主要對(duì)立面，導(dǎo)致了廣泛的爭(zhēng)論
◆數(shù)學(xué)方面
笛卡兒最杰出的成就是在數(shù)學(xué)發(fā)展上創(chuàng)立了
解析幾何學(xué)。在笛卡兒時(shí)代，代數(shù)還是一個(gè)比較新的學(xué)科，
幾何學(xué)的思維還在數(shù)學(xué)家的頭腦中占有統(tǒng)治地位。笛卡兒致力于代數(shù)和幾何聯(lián)系起來的研究，于1637年，在創(chuàng)立了坐標(biāo)系后，成功地創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。他的這一成就為
微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)。解析幾何直到現(xiàn)在仍是重要的數(shù)學(xué)方法之一。
三、解析幾何的誕生
文藝復(fù)興使歐洲學(xué)者繼承了
古希臘的
幾何學(xué)，也接受了東方傳入的
代數(shù)學(xué)。利學(xué)技術(shù)的發(fā)展，使得用數(shù)學(xué)方法描述運(yùn)動(dòng)成為人們關(guān)心的中心問題。笛卡兒分析了幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn)，表示要去“尋求另外一種包含這兩門科學(xué)的好處，而沒有它們的缺點(diǎn)的方法”。
在《幾何學(xué)》卷一中，他用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來確定點(diǎn)的距離，用坐標(biāo)來描述空間上的點(diǎn)。他進(jìn)而創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，表明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。
笛卡兒把幾何問題化成代數(shù)問題，提出了幾何問題的統(tǒng)一作圖法。為此，他引入了單位線段，以及線段的加、減、乘、除、開方等概念，從而把線段與數(shù)量聯(lián)系起來，通過線段之間的關(guān)系，“找出兩種方式表達(dá)同一個(gè)量，這將構(gòu)成一個(gè)方程”，然后根據(jù)方程的解所表示的線段間的關(guān)系作圖。
在卷二中，笛卡兒用這種新方法解決
帕普斯問題時(shí)，在平面上以一條直線為基線，為它規(guī)定一個(gè)起點(diǎn)，又選定與之相交的另一條直線，它們分別相當(dāng)于x軸、原點(diǎn)、y軸，構(gòu)成一個(gè)斜坐標(biāo)系。那么該平面上任一點(diǎn)的位置都可以用(x,y)惟一地確定。帕普斯問題就化成了一個(gè)含兩個(gè)未知數(shù)的二次不定方程。笛卡兒指出，方程的次數(shù)與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，因此可以根據(jù)方程的次數(shù)將曲線分類。
《幾何學(xué)》一書提出了解析幾何學(xué)的主要思想和方法，標(biāo)志著解析幾何學(xué)的誕生。此后，人類進(jìn)入變量數(shù)學(xué)階段。
在卷三中，笛卡兒指出，方程可能有和它的次數(shù)一樣多的根，還提出了著名的笛卡兒符號(hào)法則：方程正根的最多個(gè)數(shù)等于其系數(shù)變號(hào)的次數(shù)；其負(fù)根的最多個(gè)數(shù)(他稱為假根)等于符號(hào)不變的次數(shù)。笛卡兒還改進(jìn)了
韋達(dá)創(chuàng)造的符號(hào)系統(tǒng)，用a,b,c,…表示已知量，用x,y,z,…表示未知量。
解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何分離的趨向，把相互對(duì)立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。笛卡兒的這一天才創(chuàng)見，更為
微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，從而開拓了
變量數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域。
正如
恩格斯所說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了。”
四、笛卡兒對(duì)后世的影響及對(duì)其的評(píng)價(jià)
笛卡兒在哲學(xué)上是
二元論者，并把
上帝看作造物主。但笛卡兒在自然科學(xué)范圍內(nèi)卻是一個(gè)
機(jī)械論者，這在當(dāng)時(shí)是有進(jìn)步意義的。
笛卡兒是歐洲近代哲學(xué)的奠基人之一，
黑格爾稱他為“現(xiàn)代哲學(xué)之父”。他自成體系，熔
唯物主義與
唯心主義于一爐，在哲學(xué)史上產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。
笛卡兒的方法論對(duì)于后來物理學(xué)的發(fā)展有重要的影響。他在古代演繹方法的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了一種以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的演繹法：以唯理論為根據(jù)，從自明的直觀公理出發(fā)，運(yùn)用數(shù)學(xué)的邏輯演繹，推出結(jié)論。這種方法和培根所提倡的實(shí)驗(yàn)歸納法結(jié)合起來,經(jīng)過
惠更斯和
牛頓等人的綜合運(yùn)用，成為物理學(xué)特別是理論物理學(xué)的重要方法。作為他的普遍方法的一個(gè)最成功的例子，是笛卡兒運(yùn)用代數(shù)的方法的來解決幾何問題，確立了坐標(biāo)幾何學(xué)即
解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)。
笛卡兒的方法論中還有兩點(diǎn)值得注意。第一，他善于運(yùn)用直觀“模型”來說明物理現(xiàn)象。例如利用“網(wǎng)球”模型說明光的折射；用“盲人的手杖”來形象地比喻光信息沿物質(zhì)作瞬時(shí)傳輸；用盛水的玻璃球來模擬并成功地解釋了
虹霓現(xiàn)象等。第二，他提倡運(yùn)用假設(shè)和假說的方法，如宇宙結(jié)構(gòu)論中的旋渦說。此外他還提出“普遍懷疑”原則。這一原則在當(dāng)時(shí)的歷史條件下對(duì)于反對(duì)教會(huì)統(tǒng)治、反對(duì)崇尚權(quán)威、提倡理性、提倡科學(xué)起過很大作用 。
笛卡兒堪稱17世紀(jì)及其后的歐洲哲學(xué)界和科學(xué)界最有影響的巨匠之一，被譽(yù)為“近代科學(xué)的始祖”。
