畫五角星
讀小學(xué)時(shí)，老師布置作業(yè)，要我們畫五角星，我回家后問(wèn)老爸該怎么畫。老爸說(shuō)，他讀中學(xué)時(shí)老師教過(guò)，于是便拿出圓規(guī)和尺自顧自在紙上比劃起來(lái)。沒(méi)過(guò)多久，老爸興奮地叫我過(guò)去，把畫五角星的方法教給我，并讓我重復(fù)了幾遍，確信不會(huì)忘了才罷休。
第二天上算術(shù)課，老師問(wèn)我們，五角星會(huì)畫了嗎？我把小手舉得高高的，結(jié)果被老師叫到黑板前讓我畫給同學(xué)看。我按照老爸教的方法畫好后，老師說(shuō)，你這是碰巧了吧？你這樣怎么能畫得準(zhǔn)確呢？應(yīng)該要用量角器量出角度才能畫得對(duì)！
我委屈得直想哭，回家后直埋怨老爸。
老爸顯然有點(diǎn)生氣了，說(shuō)了句“連五角星都不會(huì)畫，這老師數(shù)學(xué)水平太差”，就回到他的書桌旁去了。
過(guò)了一會(huì)兒，老爸遞給我一張寫了好多公式的紙，說(shuō)道：“這是證明，你明天拿給老師去看去。”
我哪敢呀。
但這五角星的畫法我卻牢牢記住了，就像我老爸那樣。
現(xiàn)在上了大學(xué)，我知道了，其實(shí)五角星還有好幾種畫法，老爸教的，是已知外接圓直徑時(shí)的畫法，最簡(jiǎn)單的一種。此外，已知五角星的寬度畫五角星也很方便的，后來(lái)又看到了已知邊長(zhǎng)畫正五邊形的方法。
后來(lái)還知道了，已經(jīng)證明，可以用尺和圓規(guī)，經(jīng)過(guò)有限步驟，畫出如下正P邊形，如果P是2的冪次方，或者是個(gè)費(fèi)馬素?cái)?shù)，或者是不同費(fèi)馬素?cái)?shù)及其與2的冪的乘積。
五角星畫法
方法一
畫一圓，過(guò)圓心O畫一條（水平）直線與圓相交于A，過(guò)圓心O畫一條與OA向垂直的直線與圓相交于B，用圓規(guī)和直尺找出線段OA的中點(diǎn)C（可別說(shuō)這也不會(huì)哦），以C點(diǎn)為圓心，線段BC的長(zhǎng)度為半徑畫圓弧與OA的延長(zhǎng)線在圓內(nèi)相交于D，則線段BD的長(zhǎng)度就是該圓內(nèi)接正五邊形的邊長(zhǎng)。
設(shè)圓的半徑為1，得，BD=sqrt((5-sqrt(5))/2).
方法二
畫一（水平）直線AB，用圓規(guī)和直尺找出線段AB的中點(diǎn)C，過(guò)B點(diǎn)作一垂線，以B點(diǎn)為圓心，線段BC的長(zhǎng)度為半徑畫圓弧與該垂線相交于D，以D點(diǎn)為圓心，線段BD的長(zhǎng)度為半徑畫圓弧與線段AD相交于E，過(guò)C點(diǎn)畫一條與線段AB相垂直的直線，以A點(diǎn)為圓心，線段AE的長(zhǎng)度為半徑畫圓弧與該垂線相交于F，則線段AF就是該正五邊形的一條邊長(zhǎng)，線段AF與AB之間的夾角為36度。
設(shè)線段AB的長(zhǎng)度為1，得，AF=sqrt(5)/2-1,線段AF與AB之間的夾角a = arccos(1/(sqrt(5)-1)).
以A點(diǎn)為圓心，線段AB的長(zhǎng)度為半徑畫圓弧，以B點(diǎn)為圓心，線段BF的長(zhǎng)度為半徑畫圓弧，兩圓弧相交于G；以B點(diǎn)為圓心，線段AB的長(zhǎng)度為半徑畫圓弧，以A點(diǎn)為圓心，線段AF的長(zhǎng)度為半徑畫圓弧，兩圓弧相交于H，則A、F、B、G、H分別為五角星的5個(gè)頂點(diǎn)。
方法三
畫一（水平）直線AB，用圓規(guī)和直尺找出線段AB的中點(diǎn)C，過(guò)B點(diǎn)作一垂線，以B點(diǎn)為圓心，線段BC的長(zhǎng)度為半徑畫圓弧與該垂線相交于D，以D點(diǎn)為圓心，線段BD的長(zhǎng)度為半徑畫一圓，從A點(diǎn)出發(fā)畫一過(guò)圓心D的直線并繼續(xù)延伸至與圓弧相交于E，分別以A和B為圓心，以線段AE的長(zhǎng)度為半徑畫兩圓弧相交于F，分別以A和F為圓心，以線段AB的長(zhǎng)度為半徑畫兩圓弧在外側(cè)相交于G，，分別以B和F為圓心，以線段AB的長(zhǎng)度為半徑畫兩圓弧在外側(cè)相交于H，則A、B、H、F、G分別為五角星的5個(gè)頂點(diǎn)，線段AF與CF之間的夾角為18度。
設(shè)線段AB的長(zhǎng)度為1，得，AF=(sqrt(5)+1)/2,線段AF與CF之間的夾角 b=a/2=arcsin(1/(sqrt(5)+1)).
