線段和差的最值問題，常見的有兩類：
第一類問題是“兩點(diǎn)之間，線段最短”．
兩條動(dòng)線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，關(guān)鍵是指出一條對稱軸“河流”（如圖1）．
三條動(dòng)線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關(guān)鍵是指出兩條對稱軸“反射鏡面”（如圖2）．
兩條線段差的最大值問題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩條線段差的最大值就是第三邊的長．如圖3，PA與PB的差的最大值就是AB，此時(shí)點(diǎn)P在AB的延長線上，即P′．
解決線段和差的最值問題，有時(shí)候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問題．
第二類問題是“兩點(diǎn)之間，線段最短”結(jié)合“垂線段最短”．
如圖4，正方形ABCD的邊長為4，AE平分∠BAC交BC于E．點(diǎn)P在AE上，點(diǎn)Q在AB上，那么△BPQ周長的最小值是多少呢？
如果把這個(gè)問題看作“牛喝水”問題，AE是河流，但是點(diǎn)Q不確定?。?/p>
第一步，應(yīng)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”．如圖5，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于“河流AE”的對稱點(diǎn)為F，那么此刻PF＋PQ的最小值是線段FQ．
第二步，應(yīng)用“垂線段最短”．如圖6，在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過程中，F(xiàn)Q的最小值是垂線段FH．
這樣，因?yàn)辄c(diǎn)B和河流是確定的，所以點(diǎn)F是確定的，于是垂線段FH也是確定的．
（湖南省中考第26題）已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1, 0)、B(2, 0)、C(0, 2)三點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，設(shè)線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E，垂足為D，M為拋物線的頂點(diǎn)，那么在直線DE上是否存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長最小？若存在，請求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
1．設(shè)交點(diǎn)式求拋物線的解析式比較簡便．
2．連結(jié)OP，把四邊形ABPC的面積分割為三個(gè)三角形的面積和．
3．第（3）題先用幾何說理確定點(diǎn)G的位置，再用代數(shù)計(jì)算求解點(diǎn)G的坐標(biāo)．
解析
第（2）題求四邊形ABPC的面積，也可以連結(jié)BC（如圖8）．
因?yàn)椤鰽BC的面積是定值，因此當(dāng)△PCB的面積最大時(shí)，四邊形ABPC的面積也最大．
過點(diǎn)P作x軸的垂線，交CB于F．
因?yàn)椤鱌CF與△PBF有公共底邊PF，高的和等于C、B兩點(diǎn)間的水平距離，所以當(dāng)PF最大時(shí)，△PCB的面積最大．
設(shè)點(diǎn)P(x,－x2＋x＋2)，F(xiàn)(x,－x＋2)，那么PF＝－x2＋2x．
當(dāng)x＝1時(shí)，PF最大．此時(shí)P(1, 2)．
滿世界找好老師，不如找聚慧獅公益教育（國內(nèi)頂級名師聚合，北京/黃岡頂級名師團(tuán)隊(duì)強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)手），資料提供、答疑社區(qū)、同步輔導(dǎo)天天有。加微信公眾號：jhsedu，愿我們一起成長！
