基礎(chǔ)知識，貝塞爾曲線。http://www.ycrc.com.cn/qinghua/09/text/chapter6/section3/part01/index1.htm
Bezier曲線原理及實(shí)現(xiàn)代碼（c++）
一、原理：
貝塞爾曲線于1962年，由法國工程師皮埃爾?貝塞爾（Pierre B?zier）所廣泛發(fā)表，他運(yùn)用貝塞爾曲線來為汽車的主體進(jìn)行設(shè)計(jì)。貝塞爾曲線最初由 Paul de Casteljau 于1959年運(yùn)用de Casteljau 算法開發(fā)，以穩(wěn)定數(shù)值的方法求出貝塞爾曲線。
線性貝塞爾曲線
給定點(diǎn) P0、P1，線性貝塞爾曲線只是一條兩點(diǎn)之間的直線。這條線由下式給出：
且其等同于線性插值。
二次方貝塞爾曲線的路徑由給定點(diǎn) P0、P1、P2 的函數(shù) B(t) 追蹤：
TrueType 字型就運(yùn)用了以貝塞爾樣條組成的二次貝塞爾曲線。
P0、P1、P2、P3 四個(gè)點(diǎn)在平面或在三維空間中定義了三次方貝塞爾曲線。曲線起始于 P0 走向 P1，并從 P2 的方向來到 P3。一般不會經(jīng)過 P1 或 P2；這兩個(gè)點(diǎn)只是在那里提供方向資訊。 P0 和 P1 之間的間距，決定了曲線在轉(zhuǎn)而趨進(jìn) P3 之前，走向 P2 方向的“長度有多長”。
曲線的參數(shù)形式為：
現(xiàn)代的成象系統(tǒng)，如 PostScript、Asymptote 和 Metafont，運(yùn)用了以貝塞爾樣條組成的三次貝塞爾曲線，用來描繪曲線輪廓。
一般化
P0、P1、…、Pn，其貝塞爾曲線即
例如 ：
如上公式可如下遞歸表達(dá)： 用
用平常話來說， 階貝塞爾曲線之間的插值。
一些關(guān)于參數(shù)曲線的術(shù)語，有
即多項(xiàng)式
又稱作 n 階的伯恩斯坦基底多項(xiàng)式，定義 00 = 1。
點(diǎn) Pi 稱作貝塞爾曲線的控制點(diǎn)。多邊形以帶有線的貝塞爾點(diǎn)連接而成，起始于 P0 并以 Pn 終止，稱作貝塞爾多邊形（或控制多邊形）。貝塞爾多邊形的凸包（convex hull）包含有貝塞爾曲線。
線性貝塞爾曲線函數(shù)中的 t 會經(jīng)過由 P0 至P1 的 B(t) 所描述的曲線。例如當(dāng) t=0.25 時(shí)，B(t) 即一條由點(diǎn) P0 至 P1 路徑的四分之一處。就像由 0 至 1 的連續(xù)t，B(t) 描述一條由 P0 至 P1 的直線。
為建構(gòu)二次貝塞爾曲線，可以中介點(diǎn) Q0 和 Q1 作為由 0 至 1 的 t：
由 P0 至 P1 的連續(xù)點(diǎn) Q0，描述一條線性貝塞爾曲線。由 P1 至 P2 的連續(xù)點(diǎn) Q1，描述一條線性貝塞爾曲線。由 Q0 至 Q1 的連續(xù)點(diǎn) B(t)，描述一條二次貝塞爾曲線。
為建構(gòu)高階曲線，便需要相應(yīng)更多的中介點(diǎn)。對于三次曲線，可由線性貝塞爾曲線描述的中介點(diǎn) Q0、Q1、Q2，和由二次曲線描述的點(diǎn) R0、R1 所建構(gòu)：
對于四次曲線，可由線性貝塞爾曲線描述的中介點(diǎn) Q0、Q1、Q2、Q3，由二次貝塞爾曲線描述的點(diǎn) R0、R1、R2，和由三次貝塞爾曲線描述的點(diǎn) S0、S1 所建構(gòu)：
P(t)=(1-t)P0+tP1 ,
P(t)=(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3
矩陣表示為：
二、算法（c++）
工程目錄是:Win32App
vc6.0
#include<windows.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#define NUM 10
LRESULT CALLBACK Winproc(HWND, UINT, WPARAM, LPARAM);
int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance, HINSTANCE hPrevInstanc, LPSTR lpCmdLine, int nShowCmd)
{
MSG msg;
static TCHAR szClassName[] = TEXT("::Bezier樣條計(jì)算公式由法國雷諾汽車公司的工程師Pierm Bezier于六十年代提出");
HWND hwnd;
WNDCLASS wc;
wc.cbClsExtra = 0;
wc.cbWndExtra = 0;
wc.hbrBackground = (HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH);
wc.hCursor = LoadCursor(NULL, IDC_ARROW);
wc.hIcon = LoadIcon(NULL, IDI_APPLICATION);
wc.hInstance = hInstance;
wc.lpfnWndProc = Winproc;
wc.lpszClassName = szClassName;
wc.lpszMenuName = NULL;
wc.style = CS_HREDRAW | CS_VREDRAW;
if(!RegisterClass(&wc))
{
MessageBox(NULL, TEXT("注冊失敗"), TEXT("警告框"), MB_ICONERROR);
return 0;
}
hwnd = CreateWindow(szClassName, szClassName,
WS_OVERLAPPEDWINDOW,
CW_USEDEFAULT, CW_USEDEFAULT,
CW_USEDEFAULT, CW_USEDEFAULT,
NULL, NULL, hInstance, NULL);
ShowWindow(hwnd, SW_SHOWMAXIMIZED);
UpdateWindow(hwnd);
while(GetMessage(&msg, NULL, 0, 0))
{
TranslateMessage(&msg);
DispatchMessage(&msg);
}
return msg.wParam;
}
LRESULT CALLBACK Winproc(HWND hwnd, UINT message, WPARAM wparam, LPARAM lparam)
{
HDC hdc;
static POINT pt[NUM];
TEXTMETRIC tm;
static int cxClient, cyClient;
HPEN hpen;
int i, j, k, n, t;
switch(message)
{
case WM_CREATE:
static int cxchar;
hdc = GetDC(hwnd);
GetTextMetrics(hdc, &tm);
cxchar = tm.tmAveCharWidth;
ReleaseDC(hwnd, hdc);
case WM_SIZE:
cxClient = LOWORD(lparam);
cyClient = HIWORD(lparam);
return 0;
case WM_PAINT:
hdc = GetDC(hwnd);
srand(time(0));
Rectangle(hdc, 0, 0, cxClient, cyClient);
for(i = 0; i < 500; i++)
{
SelectObject(hdc, GetStockObject(WHITE_PEN));
PolyBezier(hdc, pt, NUM);
for(j = 0; j < NUM; j++)
{
pt[j].x = rand() % cxClient;
pt[j].y = rand() % cyClient;
}
hpen = CreatePen(PS_INSIDEFRAME, 3, RGB(rand() % 256, rand() % 256, rand() % 256));
DeleteObject(SelectObject(hdc, hpen));
PolyBezier(hdc, pt, NUM);
for(k = 0; k < 50000000; k++);
}
for(i = 0; i < 100; i++)
{
Ellipse(hdc, rand() % cxClient, rand() % cyClient, rand() % cxClient, rand() % cyClient);
Pie(hdc, j = rand() % cxClient, k = rand() % cyClient, n = rand() % cxClient, t = rand() % cyClient, rand() % cxClient, rand() % cyClient, rand() % cxClient, rand() % cyClient) ;
}
if((n = (n + j) / 2) > cxchar * 20) n = cxchar * 20;
SetTextColor(hdc, RGB(rand() % 256, rand() % 256, rand() % 256));
TextOut(hdc, n / 2, (t + k) / 2, TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!"), lstrlen(TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!")));
ReleaseDC(hwnd, hdc);
DeleteObject(hpen);
ValidateRect(hwnd, NULL);
return 0;
case WM_DESTROY:
PostQuitMessage(0);
return 0;
}
return DefWindowProc(hwnd, message, wparam, lparam);
}
