在△ABC中，∠B＞∠C，AD為∠BAC的平分線，AE⊥BC，垂足為E，試說(shuō)明∠DAE=
（∠B-∠C）。
解：∵AD為∠BAC的平分線
∴∠DAC=
∠BAC
又∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）
∴∠DAC=90°-
（∠B+∠C）
又∵AE⊥BC
∴∠DAE+∠ADE=90°
又∵∠ADE=∠DAC+∠C
∴∠DAE=90°-[90°-
（∠B+∠C）]-∠C
∴∠DAE=
（∠B-∠C）。
如圖，∠MON=90°，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上移動(dòng)，BD是∠NBA的平分線，BD的反向延長(zhǎng)線與∠BAO的平分線相交于點(diǎn)C。
試猜想：∠ACB的大小是否隨A、B的移動(dòng)發(fā)生變化？如果保持不變，請(qǐng)給出證明；如果隨點(diǎn)A、B的移動(dòng)發(fā)生變化，請(qǐng)給出變化范圍。
解：∠C的大小不會(huì)隨A、B的移動(dòng)而發(fā)生變化；
理由如下：
證明：∵∠MON=90°，
∴∠ABO+∠BAC+∠CAO=90°，
∵BD是∠NBA的平分線，
∴令∠NBD=∠DBA為x，
而∠NBD+∠DBA=180°-∠ABO，
∴x=90°-
∠ABO，
∵CA平分∠BAO，
∴令∠BAC=∠CAO為y，
∴∠AB0=90°-2y，
∴∠C=x-y=[90°-
（90°-2y）]-y=45°。
如圖所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一點(diǎn)E，在AC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使BE=CF，EF交BC于G.求證：EG=FG。
證明：過E作ED∥AF，交BC于D。
如圖，已知D為△ABC邊BC的中點(diǎn)，DE⊥DF，則BE+CF（ ?。?A．大于EF
B．小于EF
C．等于EF
D．與EF的大小關(guān)系無(wú)法確定
答案
延長(zhǎng)ED到G使DG=ED，連接CG，F(xiàn)G，
BD=CD，∠BDE=∠CDG，
可證得△BED≌△CGD，
∴CG=BE，
∵DE⊥DF，DG=ED，
∴EF=FG，
在△FCG中，F(xiàn)C+CG＞FG，
∴BE+CF＞EF．
故選A．
如圖所示，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PB、PC，試比較PB+PC與AB+AC的大?。?div id="moiyehiw" class='imgcenter'>
答案
如圖，
延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)D，
在△ABD中，AB+AD＞PB+PD；
在△PCD中，PD+DC＞PC，
∴AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC，
∴AB+AC＞PB+PC．
如圖，已知ABC中，AD為BC邊上的中線，且AB=4cm，AC=3cm，則AD的取值范圍是（ ?。?A．3＜AD＜4B．1＜AD＜7C． 1
2
＜AD＜ 7
2
D． 1
3
＜AD＜ 7
3
答案
如圖，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接CE．
∵點(diǎn)D是中點(diǎn)，
∴BD=CD．
又∠ADB=∠CDE，
∴△ABD≌△EDC，
∴CE=AB．
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：（CE-AC）＜AE＜（AC+CE），
即1＜AE＜7．
而AD= 1
2
AE，
∴ 1
2
＜AD＜ 7
2
．
故選C．
如圖所示，已知在△ABC中，AE是∠BAC的平分線，CD⊥AE于D，求證：∠ACD>∠B
答案
證明：延長(zhǎng)CD交AB于F(如圖)．
在Rt△ACD和Rt△AFD中，
∠ACD+ ∠CAD=90°，∠AFD+∠DAF=90°．
∵AE是∠BAC的平分線． ∴∠CAD=∠FAD．
∴∠ACD=∠AFD（等角的余角相等）．
又∵∠AFD=∠B+ ∠FCB>∠B，
∴∠ACD>∠B
如圖，△ABC中，A1，A2，A3，…，An為AC邊上不同的n個(gè)點(diǎn)，首先連接BA1，圖中出現(xiàn)了3個(gè)不同的三角形，再連接BA2，圖中便有6個(gè)不同的三角形…
（1）完成下表：
連接個(gè)數(shù)
出現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)
（2）若出現(xiàn)了45個(gè)三角形，則共連接了多少個(gè)點(diǎn)？
（3）若一直連接到An，則圖中共有
個(gè)三角形．
解 析 解：（1） 連接個(gè)數(shù) 1 2 3 4 5 6
出現(xiàn)三角形個(gè)數(shù) 3 6 10 15 21 28
（2）8個(gè)點(diǎn)；
（3）1+2+3+…+（n+1）= 1
2
（n+1）（n+2）．
（1）根據(jù)圖形，可以分析：數(shù)三角形的個(gè)數(shù)，其實(shí)就是數(shù)AC上線段的個(gè)數(shù)．所以當(dāng)上面有3個(gè)分點(diǎn)時(shí)，有6+4=10；4個(gè)分點(diǎn)時(shí)，有10+5=15；5個(gè)分點(diǎn)時(shí)，有15+6=21；6個(gè)分點(diǎn)時(shí)，有21+7=28；7個(gè)分點(diǎn)時(shí)，有28+8=36；
（2）若出現(xiàn)45個(gè)三角形，根據(jù)上述規(guī)律，則有8個(gè)分點(diǎn)；
（3）若有n個(gè)分點(diǎn)，則有1+2+3+…+n+1= 1
2
（n+1）（n+2）．
（2013?遂寧）釣魚島自古以來(lái)就是我國(guó)的神圣領(lǐng)土，為維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)利，我國(guó)海監(jiān)和漁政部門對(duì)釣魚島 海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖，某日在我國(guó)釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時(shí)刻兩海監(jiān)船同時(shí)測(cè)得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國(guó)漁政執(zhí)法船C，求此時(shí)船C與船B的距離是多少．（結(jié)果保留根號(hào)）
解 析 首先過點(diǎn)B作BD⊥AC于D，由題意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，則可求得∠ACB的度數(shù)，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)求解即可求得答案．
解 答 解：過點(diǎn)B作BD⊥AC于D．
由題意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°，
在Rt△ABD中，BD=AB?sin∠BAD=20×
2
2
=10
2
（海里），
在Rt△BCD中，BC= BD
sin∠BCD
= 10
2
1
2
=20
2
（海里）．
答：此時(shí)船C與船B的距離是20
2
海里．
http://www.ykw18.com/expaper/epdetail.html?st=2&ep=6964如圖，AB∥CD，AC與BD交于點(diǎn)O，則圖中面積相等的三角形有（ ）
A 、1對(duì)
B 、2對(duì)
C 、3對(duì)
D 、4對(duì)
解 析 解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于F．
∵AB∥CD，
∴AE=BF，
∵S△ACD= 1
2
CD?AE，S△BCD= 1
2
CD?BF，
∴S△ACD=S△BCD，
同理：S△ABD=S△ABC，
∵S△ACD-S△OCD=S△BCD-S△OCD，
∴S△AOD=S△BOC．
∴圖中面積相等的三角形有3對(duì)．
故選C．
首先過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于F，由AB∥CD，即可得AE=BF，然后由等高等底的兩三角形的面積相等，即可求得S △ACD=S△BCD與S△ABD=S△ABC，又由S△ACD-S△OCD=S△BCD-S△OCD，即可求得S△AOD=S△BOC，則可求得答案．
