如果問數(shù)學界近幾十年最重要的成果是什么，那依我看，非費馬大定理獲證不可。在費馬提出這個問題三百多年后的1994年，來自英國的數(shù)學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）一錘定音，最終徹底解決了該問題。能見證這樣的盛事，可謂我輩之幸。
業(yè)余數(shù)學之王—費馬
費馬(1601-1665)出生于法國西南的一個小鎮(zhèn)，父親是當?shù)馗辉５钠じ锷倘?。?yōu)越的家庭條件使得費馬從小便接受了良好的教育，但和牛頓一樣，少年時代的費馬并未顯露出有什么數(shù)學天賦。之后迫于父親的要求，費馬走上了仕途，當了一名政府文官，而且還成為了一位成功的律師。
在費馬的時代，數(shù)學家不是什么“正經(jīng)”職業(yè)，或者說不是專門的職業(yè)，絕大部分數(shù)學家都是業(yè)余的，他們同時也或多或少干著其他的工作，研究數(shù)學只是業(yè)余的愛好。而費馬就是其中一個最為突出的業(yè)余數(shù)學狂熱愛好者。從來沒有記載指出費馬到底受了當時哪些數(shù)學家的影響，但可以肯定的是，丟番圖的《算術(shù)》一書必定對費馬的數(shù)學研究產(chǎn)生了深刻影響。
1637年左右，在研究《算術(shù)》第二卷的時候，費馬被畢達哥拉斯方程(我國俗稱的勾股方程:x^2 y^2＝z^2)有無窮多個整數(shù)解這個現(xiàn)象所吸引，但雄心勃勃的費馬決心搞點比古希臘人高明的東西出來，于是他把方程的冪提高到3，一番苦苦思索之后，費馬并沒有得到整數(shù)解，而他還不滿足于此，繼續(xù)思考如果冪次更高是否也無解呢？費馬把他思考的結(jié)果寫在了這本書靠近第八個問題的空白處:
“不可能將一個立方數(shù)寫出兩個立方數(shù)之和；或者將一個4次冪寫出兩個4次冪之和；或者，總的來說，不可能將一個高于2次的冪寫成兩個同樣次冪的和”。
用數(shù)學語言描述出來就是:
方程x^n y^n＝z^n當n≥3且為整數(shù)時無整數(shù)解。
費馬還不滿足于此，他還在自己的結(jié)論旁邊加了一句:我有一個對這個命題的十分美妙的證明，這里空白太小，寫不下！到底費馬是真的有了證明還是惡作劇已經(jīng)無從考證，但以現(xiàn)在數(shù)學家的眼光來看，費馬吹牛的可能性更大。
由于費馬與當時歐洲大陸的數(shù)學中心-巴黎老死不相往來，他的著作也不為人知，所謂的“費馬大定理”也從未公開發(fā)表過。所幸，費馬有一位好兒子，若不是因為費馬兒子的努力，費馬的發(fā)現(xiàn)恐怕將永遠石沉大海。費馬的長子，塞繆爾決心不讓父親的研究失去應(yīng)有的價值，他花了5年時間來仔細整理父親的各種筆記信件，最終將費馬的各種著作結(jié)集出版。于是，一個困擾了整個人類三百多年的巨大難題便出現(xiàn)在了我們眼前。
希望還是絕望？
歐拉(1707-1783)是第一個在費馬之后認真思考過這個問題的大數(shù)學家。費馬本人利用“無窮遞降法”曾給出了這個問題在n＝4時無解的證明，歐拉思考過后給出了n＝3時的證明。由于可以使用同樣的方法，實際上這也自動證明了n為所有3或4點倍數(shù)時的證明。歐拉也指出，由于所有整數(shù)都可以表示成一些素數(shù)的乘積，所以只需要證明n為素數(shù)的情形即可。一時間數(shù)學界為之振奮，似乎問題的解決已經(jīng)指日可待。然而直至歐拉逝世，對這個問題的解決也毫無進展。一時間，數(shù)學家對費馬大定理的熱情又沉寂了下來。
到19世紀初，費馬大定理毫無懸念地已經(jīng)成為了數(shù)論中最出名的問題。而再次使得這個問題活躍起來的確實著名的“索菲·熱爾曼”(1776-1831）。熱爾曼出生于動亂時期法國的一個商人家庭，阿基米德的故事讓她對數(shù)學產(chǎn)生了濃厚的興趣，于是自學起了微積分和數(shù)論。越學越沉迷，不就之后她便不分晝夜全身心投入到了數(shù)學之中。
1794年，巴黎綜合工科大學拔地而起。熱爾曼為實現(xiàn)自己的數(shù)學理想找到了一個合適的地方，然而學校卻不招收女學生。然而她卻毫無退縮之意，竟然冒充一位已經(jīng)逃學的名叫“勒布朗”的男學生然后偷偷摸摸地在學校學習。不久之后，她在習題中所表現(xiàn)出來的卓越才華已經(jīng)和之前真正的勒布朗槽糕透頂?shù)臄?shù)學能力一樣出名。作為課程的老師，拉格朗日(1736-1813)早已按捺不住心中的興奮和激動，親自找到了這位“勒布朗先生”。得知了熱爾曼的真實身份，拉格朗日更加激動，從此之后非常熱情地指導起了這位得意門生。
對數(shù)學學習越來越有信心的熱爾曼逐漸把注意力轉(zhuǎn)移到了數(shù)論上，精力十分旺盛的她還找到了高斯(1777-1855)進行討論。對于費馬大定理的解決，熱爾曼提出了新的策略:一次就驗證一類數(shù)的情形，也就那些使得(2p＋1)也為素數(shù)的素數(shù)p。她向高斯展示了自己的“大概”計算，但并沒有證明，但這種想法卻極大地激發(fā)了數(shù)學家門的靈感，數(shù)學界對費馬大定理又重新燃起了激情。
1825年，狄利克雷(1805-1859)和勒讓德(1752-1833)在熱爾曼工作的基礎(chǔ)上，得到了n為5時的證明。14之后，法國數(shù)學家拉梅(1795-1870)在一番改進之后，又證明了n為7的情形。當然，這些工作都是在熱爾曼的基礎(chǔ)上完成的。在那個女性并不受科學界待見的年代，熱爾曼憑借頑強的毅力和驚人的才華讓我們看到了女性也可以在科學探索上占有一席之地，十分令人贊嘆和尊敬！
不久后，法國科學院以金質(zhì)獎?wù)潞?000法郎懸賞費馬大定理的證明。拉梅和柯西(1789-1857)在此期間明爭暗斗，相繼發(fā)表了自己的證明，然而均含糊不清，但眾人又難以說出有什么問題。眾人還意猶未盡之后的一個月后，劉維爾(1809-1882)突然宣讀了德國數(shù)學家?guī)炷瑺?1810-1893)的來信，可謂一石激起千層浪。
拿破侖政府的入侵給年幼的庫默爾造成了極大的心理創(chuàng)傷，大學畢業(yè)后的他決心研究軍事科學，不再讓自己的祖國再遭受磨難。但同時，庫默爾也積極地研究自己熱愛的數(shù)學。
庫默爾雖遠在德國，但對法國科學院最近有關(guān)費馬大定理的爭論打聽得一清二楚，也仔細讀了拉梅和柯西的證明。最為當時最卓越的數(shù)論學家，他馬上就看出了問題所在。拉梅和柯西二人的證明都依賴于算術(shù)基本定理:自然數(shù)都可以表示為一些素數(shù)的乘積，如果不計次序，這樣的分解還是唯一的。分解的唯一性正是二人證明的關(guān)鍵。然而證明并不完全是限制在實數(shù)域內(nèi)進行的，因此唯一性便也不再成立，例如12＝(1 √-11)(1-√-11)＝(2 √-10)(2-√-10)。庫默爾的來信一下子使眾人泄了氣，希望再次成了絕望。庫默爾不僅打擊了當時的數(shù)學家，也使得后來者望而卻步，之后長達兩個世紀之內(nèi)，費馬大定理被塵封了起來。
曙光:谷山-志村猜想
戰(zhàn)后的日本滿目瘡痍，但有兩位年輕人卻仍執(zhí)著地沉迷于數(shù)學之中，他們就是志村五郎(1930-)和谷山豐(1927-1958)。1954年，兩人因共同探討一篇論文而結(jié)識，誰也沒想到，當時名不見經(jīng)傳的二人將會在費馬大定理上留下濃墨重彩的一筆。
模形式是數(shù)學中非常復雜而深刻的內(nèi)容，簡單來說，它研究的是在特定的變換之下保持某些性質(zhì)不變的解析函數(shù)。1955年，一場國際學術(shù)研討會在東京舉辦，會上，志村五郎和谷山豐提出了猜想:橢圓方程的E-序列對應(yīng)于一個特定的模形式的M-序列并完全相等，也就是說，每一個橢圓非常都對應(yīng)一個模形式。如果猜想成立，那看似毫無關(guān)系的兩個東西都產(chǎn)生了深刻的聯(lián)系。然而當時的數(shù)學界卻似乎沒有意識到它的重要性。
而頑強的二人決意繼續(xù)將研究進行下去。1957年，志村應(yīng)邀前往普林斯頓進行為期兩年的客座教授之旅，并打算回來之后繼續(xù)與谷山合作研究。然而噩耗突至:谷山在1958年11月17日自殺身亡，隨他前去的還有他的未婚妻。由于事發(fā)突然，沒有人知道期間的具體真實原因，留下的只有無盡的遺憾和惋惜。
直到當時的領(lǐng)袖級數(shù)學家韋依肯定這個猜想之后，谷山-志村猜想才進入主流數(shù)學家的視野中。
轉(zhuǎn)機和突破出現(xiàn)在1984年。一場在德國舉辦的研討會上，F(xiàn)rey提出論斷:如果谷山-志村猜想成立，那么費馬大定理就成立！但他本人的證明卻并不完整。一石激起千層浪，在場的聽眾全都發(fā)了瘋一樣的沖向打印室，迫不及待地要獲得一份Frey的報告，好回去之后仔細探究以便能彌補他的不足。
差不多兩年之后，來自加州伯克利的里貝特已經(jīng)完成了證明，但他自己卻還沒意識到。在梅修爾的提醒之下，他才意識到自己已經(jīng)完成了證明！然而費馬大定理的證明似乎還遙遙無期，因為谷山-志村猜想還橫亙在數(shù)學家面前。
“我想我就在這里結(jié)束”—懷爾斯
懷爾斯1953年出生于英國劍橋，父親是一名工程學教授。10歲的時候，他偶然在一本書中了解到了費馬大定理的奧妙，并悄然在心中埋下了探索的種子。1974年本科畢業(yè)于牛津大學后，來到劍橋大學開始他的研究生學習，在導師的指導下進行橢圓方程和曲線研究，博士畢業(yè)后來到普林斯頓工作。
1986年聽聞里貝特證明了Frey的猜想以后，改變懷爾斯一生的時刻到來了，實現(xiàn)他兒時夢想的機會來了，他已下定決心，所必須做的一切就是要證明谷山-志村猜想。但包括他導師在內(nèi)的眾多數(shù)學家都相信這將無功而返，但懷爾斯卻堅持去追求自己的夢想。
懷爾斯拋棄了一切和證明費馬大定理無直接關(guān)系的事情，就這樣將自己關(guān)在普林斯頓的閣樓中，全身心投入了探索之中，除了他的妻子之外，沒有人知道他的這個秘密。
1988年，日本數(shù)學家宮岡洋一宣稱已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了費馬大定理的解法，這對懷爾斯來說是個不小的打擊。幾經(jīng)周折，這個證明及其改進被發(fā)現(xiàn)都是錯誤的，懷爾斯終于松了一口氣。
經(jīng)過三年的艱苦探索，懷爾斯已經(jīng)證明:每個橢圓方程拆解成無窮多項后的第一項必定是某個模形式的第一項。對于高高在上的谷山-志村猜想來說，這已經(jīng)是邁出的一大步了。接下來，他開始研究分析橢圓方程的巖澤理論。然而到了1991年，他覺得自己對這種方法的改進失敗了。
隱居五年之后，他來到波士頓參加一個橢圓方程的會議。這時他原來的導師柯茨告訴他，一個名叫弗萊切的學生正在寫一篇分析橢圓方程的精彩文章，用的是新進由科利瓦金提出的方法。懷爾斯突然意識到，這正是自己所需的東西！回到普林斯頓之后，懷爾斯開始了改進這種方法的艱巨任務(wù)，但似乎已經(jīng)勝利在望。
1993年，懷爾斯再也按捺不住自己心中的秘密，向同事凱茲透露了自己心中壓抑已久的秘密。之后他便再次投入了研究之中。5月的一天，全神貫注的懷爾斯甚至忘記了吃午飯，但當他放下手中的筆時，激動人心的時刻到來了，懷爾斯已確信自己證明了谷山-志村猜想，從而證明了費馬大定理！
懷爾斯決心在劍橋舉辦的會議上報告他的成果。數(shù)學界關(guān)于他要宣讀大成果的傳聞不脛而走，數(shù)學家門蜂擁而至，擠滿了報告廳，剩下的人仍不放棄，擠在走廊上也要聽。由于內(nèi)容太多，懷爾斯做了三次報告才講完。他宣布自己完成了證明時，他說:“我想我就在這里結(jié)束”，迎接這一歷史性時刻的是經(jīng)久不絕而雷鳴般的掌聲。
插曲和終章
懷爾斯的世紀證明很快交由專家組驗證，但晴天霹靂也隨之而來，懷爾斯的第一位聽眾凱茲發(fā)現(xiàn)了一個嚴重的錯誤，但此時全世界早已鋪天蓋地地報道懷爾斯已經(jīng)證明了費馬大定理，這給他帶來了巨大的壓力。專家組決心給他保守秘密，留出改正的時間。然而證明中的錯誤被發(fā)現(xiàn)越來越多，秘密也守不住了，懷爾斯很可能會上演幾年之前宮岡的悲劇。但輿論的壓力不能使懷爾斯屈服，他斷然拒絕公開自己的手稿，這可是七年日復一日思考的成果！
懷爾斯找來了自己的學生泰勒，決定要殊死一搏，改正證明中的錯誤。又經(jīng)過艱苦卓絕的工作，他們發(fā)現(xiàn)之前懷爾斯已經(jīng)放棄的巖澤理論恰恰可以彌補證明中的錯誤！1994年9月19日，8年來所有的辛苦在這一天得到了它應(yīng)有的回報。他們將成果寫成了兩篇總共130頁的論文，并且經(jīng)受住了嚴苛的驗證，于1995年5月發(fā)表在數(shù)學四大期刊之一的《數(shù)學年刊》上。懷爾斯也因此榮獲菲爾茲特別獎(由于年齡已超40，遺憾未或菲爾茲將)和沃爾夫以及阿貝爾獎。
自此，長達三個多世紀的對費馬大定理的探索畫上了圓滿的句號。這份無上榮耀屬于每一個為此付出過努力的數(shù)學家！
