如果要列出數(shù)學(xué)中一個(gè)最讓人印象深刻且特別的數(shù)，恐怕圓周率π會(huì)當(dāng)仁不讓地排在第一位。這個(gè)來(lái)自于圓并且最終擴(kuò)散到各個(gè)學(xué)科公式中的數(shù)字，被人們研究了幾千年，仍然熱度不減。π已經(jīng)不僅僅是數(shù)字了，更像是一種數(shù)學(xué)文化。
我們都知道π是個(gè)無(wú)理數(shù)，π不能用整數(shù)分?jǐn)?shù)來(lái)表示的一個(gè)數(shù)字，這一點(diǎn)上它就遠(yuǎn)比一般的有理數(shù)更加高冷。再比如，π還是一個(gè)超越數(shù)，何為超越數(shù)呢？就是π不可能是任何整數(shù)系數(shù)有理多項(xiàng)式方程的解，好像有點(diǎn)繞口。我們見(jiàn)過(guò)許許多多復(fù)雜的多項(xiàng)式方程，可能次數(shù)不定。但是只要這個(gè)多項(xiàng)式方程的系數(shù)都是整數(shù)，那么無(wú)論你用什么方法來(lái)求解。當(dāng)然高于或等于五次以上的有理數(shù)方程是沒(méi)有根式解的，沒(méi)有根式解，實(shí)際上并不影響我們用別的方法來(lái)求最終的解。就算我們有了強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)求解工具，π始終不會(huì)是這樣的方程的一個(gè)根。這就更加顯得神秘莫測(cè)了。總之，一句話，π不是尋常的數(shù)字。
人們知道了這個(gè)著名且神秘的數(shù)字，自然是要對(duì)它窮追猛打，企圖發(fā)掘出這個(gè)數(shù)字背后的全部奧秘。所以，探求一個(gè)數(shù)字的精義，首先你得求出這個(gè)數(shù)字是多少，然后才能再做打算把。你這么想，事實(shí)上，人們的研究道路也正是這樣進(jìn)行的。
現(xiàn)在已經(jīng)沒(méi)法確定哪個(gè)文明，或者哪個(gè)人第一個(gè)發(fā)現(xiàn)圓周率π了。不過(guò)這不重要，根據(jù)現(xiàn)在殘存為數(shù)不多的數(shù)學(xué)典籍，在古巴比倫發(fā)現(xiàn)的一塊公元前1600年的泥板上記錄著當(dāng)時(shí)把25/8（3.125）作為圓周率。當(dāng)然這個(gè)數(shù)字的誤差比較大，不過(guò)考慮到當(dāng)時(shí)處于人類的遠(yuǎn)古時(shí)代，這樣的圓周率數(shù)值也是可以滿足需求的了。再后來(lái)，埃及人，古希臘人也都開(kāi)始意識(shí)到了圓周率這個(gè)常數(shù)了。
古巴比倫人在泥板上記錄π
不過(guò)說(shuō)到，世界上第一個(gè)完善系統(tǒng)的求圓周率算法還是要數(shù)中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”了。劉徽，中國(guó)三國(guó)時(shí)代著名數(shù)學(xué)家，大約生活在公元2到3世紀(jì)。劉徽以給《九章算術(shù)》做注而聞名于世，其實(shí)，他還有一項(xiàng)更加出色的工作，那就是通過(guò)割圓術(shù)來(lái)求圓周率π。
中國(guó)古代最杰出的數(shù)學(xué)家 劉徽
其實(shí)割圓術(shù)，不算是劉徽的首創(chuàng)，比他更早的古希臘大神阿基米德曾經(jīng)也提出過(guò)類似的方法。阿基米德采用內(nèi)切正多邊形和外接正多邊形來(lái)逼近真實(shí)圓的情況，原理上當(dāng)然是正確的，但是操作起來(lái)并不十分方便，計(jì)算起來(lái)也比劉徽的方法更加復(fù)雜。這里就不提阿基米德，只說(shuō)劉徽的割圓術(shù)。
遠(yuǎn)古大神 阿基米德
劉徽的方法，其實(shí)思想上容易理解。我們把一個(gè)正多邊形，不斷增加邊數(shù)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)越來(lái)越像是一個(gè)圓。這是一種天然的極限逼近，給一個(gè)任何數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的人來(lái)解釋，他也可以很好地理解。高斯曾經(jīng)讓人在自己墓碑上刻上一個(gè)正十七邊形以此來(lái)紀(jì)念自己數(shù)學(xué)生涯的輝煌成就，可后人在刻碑的時(shí)候發(fā)現(xiàn)這個(gè)正十七邊形跟圓實(shí)在太像了，于是刻了一個(gè)十七角形放上面。
哥廷根大學(xué) 高斯墓碑
直觀印象每個(gè)人都是容易獲得的，但是想把這樣的印象打磨成一個(gè)數(shù)學(xué)方法可就不是那么容易了。
劉徽與阿基米德一樣，從正六邊形出發(fā)。
割圓術(shù)初始步驟，正6邊形
劉徽敏銳地發(fā)現(xiàn)，這里從正6邊形，擴(kuò)展到正12邊形，再到正24邊形，正48邊形的面積關(guān)系。比如正12邊形的面積是正6邊形一邊的長(zhǎng)度乘以圓半徑，再乘3；正24邊形的面積是正12邊形的邊長(zhǎng)乘圓半徑，再乘6。。。這個(gè)計(jì)算方式有點(diǎn)繞腦袋，如果猛的一看，可能不會(huì)立馬就驗(yàn)證通過(guò)，但是要是結(jié)合圖形的話，這是顯而易見(jiàn)的。
《九章算術(shù)》剪影
我們來(lái)具體分析一下從正6邊形開(kāi)始的多邊形面積計(jì)算方法：
在正6邊形外圍作一個(gè)外接圓，很明顯，由于這是割圓術(shù)的第一步，這個(gè)正6邊形的面積與外接圓的面積相差不少，大概要差到五分之一左右。按照?qǐng)D中的方式，在6邊形每條邊對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)上取中點(diǎn)，并且將圓上所有點(diǎn)連接，就作出了正12邊形。于是，
正12邊形面積=正6邊形面積+6個(gè)藍(lán)色三角形面積。這里朝著圓的方向邁進(jìn)了一步，我們?cè)俳釉賲?，使用同樣方法作出?4邊形。于是，
正24邊形面積=正12邊形面積+6個(gè)藍(lán)色三角形面積+12個(gè)黃色三角形面積。又前進(jìn)了一步，至此，我們已經(jīng)掌握了割圓術(shù)的實(shí)際操作方法。倘若我們不辭辛苦，一直下去，我們就將獲得一個(gè)無(wú)限接近真實(shí)圓面積的計(jì)算公式。
我們重新用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述一下那個(gè)令人印象深刻的直觀感受。
正12邊形面積<正24邊形面積<正48邊形面積<正96邊形<正6×2N<...<圓。
仔細(xì)看這個(gè)思路不就是極限思想的具體形式么，只不過(guò)這里只是從左邊靠近，尚且不算嚴(yán)謹(jǐn)，因此還必須給這個(gè)正多邊形面積找一個(gè)右極限，這里劉徽又給出了很好的方法。
劉徽 割圓術(shù)中圓的右極限多邊形
依然從正6邊形開(kāi)始，劉徽給正6邊形的邊向下作了一個(gè)高度為d的矩形，這里的d劉徽命名為“余徑”。把這個(gè)矩形的邊首尾連接，就會(huì)成為一個(gè)更大的正多邊形，顯然，這個(gè)更大的正多邊形面積始終比圓的面積大。如果我們計(jì)算到了正N邊形的話，N很大時(shí)，這個(gè)外接矩形ABCD的面積就會(huì)越來(lái)越小，而這個(gè)外接大多邊形的面積也就會(huì)越來(lái)越接近圓。
外接正N邊形的面積=正6×2N邊形+6×2N×d×L
右極限也確定了，于是完整的逼近公式也就出爐了。
這里還用到了一個(gè)在極限里很重要的定理，“夾逼定理”,好像聽(tīng)起來(lái)不是很動(dòng)聽(tīng)。如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)值的左右極限相等，那么這個(gè)函數(shù)值就等于左右極限值。
有了這個(gè)理論依據(jù)，下面就可以真正開(kāi)干了。先別急著動(dòng)手，我們可以想象一下這樣的工作量有多大，在那個(gè)開(kāi)方運(yùn)算都要算半天的古代，從正6邊形擴(kuò)展到正12邊形，計(jì)算量就恐怖起來(lái)。計(jì)算力空前匱乏，這也是古代數(shù)學(xué)跟現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)根本性區(qū)別。劉徽自己計(jì)算到了正192邊形，得出了圓周率的上下限在3.141024 與 3.142704之間，并且以157/50=3.1416來(lái)作為圓周率的常用值。雖然這個(gè)值不甚精確，但是劉徽的工作重在起割圓術(shù)的創(chuàng)造上。
祖沖之大神 計(jì)算圓周率
我國(guó)古代有一個(gè)數(shù)學(xué)家是跟圓周率緊緊連在一起的，那就是祖沖之。祖沖之，通過(guò)超級(jí)不懈的努力，計(jì)算到了12288邊形得出了一個(gè)空前精確的圓周率值，3.14159126和3.1415927之間。因?yàn)檫@項(xiàng)工作的確在世界上領(lǐng)先了一千多年，所以祖沖之格外受到追捧。殊不知，祖沖之并沒(méi)有創(chuàng)造出新的東西來(lái)，他是沿用了劉徽的割圓術(shù)，一步步深耕下去，用無(wú)窮無(wú)盡的計(jì)算力來(lái)得到這個(gè)巔峰的成果。劉徽給出了算法，祖沖之很好地依照著算法執(zhí)行得出了一個(gè)很好的結(jié)果。從這點(diǎn)來(lái)看，劉徽的工作顯然要重要的多，他用真實(shí)可行的方法，逼迫神秘的圓周率現(xiàn)身。
拉馬努金創(chuàng)造過(guò)很多求π公式
在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間里，割圓術(shù)都是求圓周率的不二法門。由于古代數(shù)學(xué)的限制，人們?cè)谇蠼鈭A周率的時(shí)候，始終沒(méi)能夠逃脫圓的束縛。所以求解過(guò)程計(jì)算反復(fù)，且效率極低。一直到近代微積分和概率論的發(fā)展，才將π真正釋放開(kāi)來(lái)。離開(kāi)了圓的限制，π開(kāi)始在更廣闊的數(shù)學(xué)海洋里翻江倒海。人們可以用無(wú)窮級(jí)數(shù)，三角函數(shù)，甚至概率論的方法來(lái)計(jì)算圓周率了。
人們也發(fā)現(xiàn)了收斂速度極快的求π公式，甚至一步計(jì)算就可以獲得十幾位精確數(shù)值。
對(duì)于圓周率π的研究，割圓術(shù)只是一個(gè)開(kāi)始。
