SCIbird 博士數(shù)學論壇原創(chuàng)
論壇上朋友們的請求,說說我自己的數(shù)分學習經(jīng)歷和心得,以供大家參考.
首先聲明:世上沒有萬能的方法,任何一種方法都有其局限性和適用范圍,所以對SCIbird
說的話要辯證的看,取其精華.類似的,如果你在某本書里看到類似"放之四海皆真理的話"
那么你基本可以考慮把這本書扔到垃圾桶里了.
正如題目所寫的,本文講述的是"如何提高自身數(shù)學分析水平"也就是說,本文是針對已經(jīng)學過數(shù)分,但苦于數(shù)分水平提高緩慢的朋友們的.一點個人心得,希望能給需要幫助的人指引下方向.說是對數(shù)分的,但其實對其它數(shù)學科目也有參考意義.只是我對分析比較熟悉,故舉的例子多是分析方面的.
首先,我們要端正一個態(tài)度,即對于一個定理或一個問題,我們不應該用做考試題的態(tài)度來對待,而應該用研究數(shù)學問題的態(tài)度來對待.盡量挖掘出新的東西,而不局限于問題中的結論本身.具體說來,如下:
研究問題,籠統(tǒng)說多是關于存在性,唯一性,條件充不充分,必不必要,有無充要條件等等.
這些泛泛的說法大家也許都知道,也有道理,不過就是不知道具體該怎樣做.下面我就詳細說下這些年自己的心得體會,以供參考.
1.以幾何直觀做啟發(fā),大膽想象,嚴密論證.
分析界目前有這種不好的傾向,認為幾何直觀不嚴密,于是排斥幾何直觀而代之以抽象的分析論證,有的書上甚至一張圖都沒有.誠然,大學數(shù)學的一個特點是高度抽象性,而且?guī)缀沃庇^確實不能代替嚴密的證明.但一味的強調抽象性,容易迷失方向,尤其是初學者,往往一頭霧水,不知所云.其實,幾何直觀對許多分析定理有啟發(fā)作用.很多定理可以從幾何直觀中觀察出來,加以提煉,最后嚴格證明而上升為定理.舉個例子:考慮費馬引理,即可導函數(shù)的極值點處導數(shù)值為0.幾何直觀上,一個可導函數(shù)在極值點處的切線應該是水平的,而且似乎不一定要求導函數(shù)連續(xù),然后通過分析嚴格證明我們的猜想.
但是,問題就結束了嗎? 我們能不能走的遠點,上面說可導函數(shù)極值點導數(shù)為0,那么我們可以問導數(shù)為0是否就是極值點?什么時候有極值點? 前一個問題是否定的,導數(shù)為0點未必就是極值點. 至于后一個問題,條件可能不止一個.其中有一個比較特殊,我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值.而對于非常數(shù)函數(shù),如果最值在區(qū)間內部取得,它也是極值,如果f可導,則f'(x0)=0.于是我們轉到什么時候可以有內部最值(也是極值).一個條件是非常數(shù)可導函數(shù)的兩端點相等,則區(qū)間內部必有最值點,因而有內點x0滿足f'(x0)=0,于是就有了羅爾定理.我們又問了,這個條件必要嗎?可以舉出反例,這說明羅爾定理的條件只是充分條件. 類似的幾何直觀還很多,比如把圖象旋轉一下,羅爾定理就變成了拉格朗日定理,如果用參數(shù)形式表示拉格朗日定理,則就變成了柯西定理.當然,以上只是從幾何直觀做出的猜想,接下來必須嚴格的給予證明.
2.可以從多角度思考問題.
我們解決了一個好的問題后,不必立刻走開.可以再挖掘一下,看有沒有新的發(fā)現(xiàn)比如我把條件和結論對調一下,結論還成立嗎?原題條件是P1,我換個條件P2,結論還成立嗎? 或者說,若不滿足條件P1,結論還成立嗎?
原問題條件太苛刻了,我削弱一下條件,結論成立否.原問題是3維的,換成n維情況還成立嗎? 原問題要求函數(shù)f連續(xù),我換成Riemann可積后,結論如何? 或者說原問題是與三角函數(shù)(涉及周期性)有關,我換成一般的周期函數(shù)后,結論如何? 或者說原命題是否有推廣的可能.
舉兩個例子,比如關于積分號下取極限(or積分運算與極限過程互換),通常要求是一致收斂.但一致收斂這個條件太強了,能否換成更一般的條件.于是阿爾澤拉定理就出現(xiàn)了,其用一致有界和點態(tài)收斂條件來替換一致收斂.(可參考南開數(shù)學分析or謝惠民的書or微積分學教程)
所謂阿爾澤拉定理(也稱為Riemann積分理論中的控制收斂定理)是如下形式:
所謂一致有界,即存在正數(shù)M>0,使得任取n,x∈[a,b]有|fn(x)|<=M.阿爾澤拉定理斷言只需要可積函數(shù)列fn(x)點點收斂,即fn(x)→f(x),和一致有界,
及f(x)Riemann可積,便能推出 lim ∫[a,b]fn(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx (極限運算與積分運算交順序)
熟悉Lebesgue積分的朋友們會發(fā)現(xiàn),此定理就是實變中Lebesgue控制收斂定理的特例.相比之下多出的條件是要求"f(x)Riemann可積",這是因為極限函數(shù)未必是Riemann可積的.這一要求在Lebesgue積分理論中可以去掉,因為可測函數(shù)的極限也是可測函數(shù).(這從某個角度表現(xiàn)了L積分相對于R積分的優(yōu)越性).
其實從實變角度考察數(shù)分會有新的收獲的,比如:揭示點態(tài)收斂與一致收斂之間關系的葉果洛夫定理.
另一個例子,我想舉下傅立葉級數(shù)理論中的Riemann引理,即傅立葉系數(shù)趨于0的推廣形式, 為
∫f(x)sin(λx)dx=0,當λ→∞時. 我們可以猜想,如果我們用更一般的周期函數(shù)g(x)來代替sinx,結果如何,
即∫[a,b]f(x)g(λx)dx → 1/T ∫[0,T]g(λx)dx∫[a,b]f(x)dx (T為g(x)的周期)
這就是后來稱為Riemann-Lebesgue引理的東西.08年北大的第9題考察的就是這個推廣后的Riemann-Lebesgue引理.(簡單情況可以取λ=n)
其實,傅立葉級數(shù)有許多精彩的理論,大家可以嘗試用一般的周期函數(shù)代替三角函數(shù)推廣下.(這種推廣不一定都行的通,只是提供一種可能的思路)
我這個帖子是談如何提高數(shù)學修為的,而不是針對考研的(雖然考研的朋友們可以借鑒),這個帖子只是給考研人一個參考而已.坦白說,研究數(shù)學與考研經(jīng)常是矛盾的,這也是不少高手或老師不屑考研的一個原因.關于考研,我在局外人看北大那個帖子里談了我的看法(那個是針對考研的).
另外,提高數(shù)學水平確實費時間,數(shù)學王國無皇家大道.除非你在數(shù)學方面天賦異稟,否則還是自己多花些功夫為好.我自己覺得我在微積分方面是個數(shù)分先天者了,但我今天的數(shù)學修為也是苦修來的.比如說,我經(jīng)?？吹接械娜吮г箯堉蠋煂懙?lt;數(shù)學分析新講>太難了,后來我都懶的回帖爭論了.我大二買的"新講",前后反反復復看了能有20遍,雖然不是每次都仔細研讀吧,但有幾人像我這樣.我對新講中的定理具體在哪塊(甚至頁碼)已經(jīng)十分熟悉了,就差把這套書背下來了.我覺得任何人只要把一本數(shù)分書看上20遍,就不怕水平不提高.
我的信條是:重復是記憶的最佳方法,熟能生巧.
倘若不是我把新講看上20遍,現(xiàn)在的SCIbird的數(shù)分水平仍然是個半吊子,看北大的題仍然覺得是看天書. 我是自學數(shù)分的,從沒受過哪個人指導,與數(shù)學系出身的相比是走了不少冤枉路,浪費了不少時間.但我從不后悔看新講那20遍,沒那20遍我就不能打下扎實的基礎,就不可能在2個月內利用業(yè)余時間自學完了實變函數(shù).看過我寫過的試題證明的朋友們,會覺得我寫的筆墨比較多,但還算比較通俗,而且使用的方法也很樸素(以致于被一些朋友認為方法俗套,sigh!).這是因為"新講"對我的風格影響很大,說實話,以前的我風格與現(xiàn)在完全相反.
講一段真實的故事:
高中時代的我搞過奧賽,那時的我崇尚證明的華麗和玄乎,喜歡玩技巧!-----我稱之為浪漫主義風格.對一些很樸實的方法,反到認為羅唆和水平低.常以擅長華麗的技巧和高深的理論(相對高中來說,主要是競賽方面)而自居,重證明,輕計算.其直接后果是高考數(shù)學考的一塌糊涂.上了大學后,尤其是看了張筑生老師的<新講>后我的認識有了改變:證明簡潔不代表深刻, 證明技巧性很強因而短,不代表具有一般性.寫的少,未必就是一個好的證明. 而現(xiàn)在的我有點"重劍無鋒"的味道了,呵呵,這與新講的風格很相近.
至于挖掘新東西費時間,這是正常的,等你念研究生就能深刻體會到了.屬于自己的東西才能理解的更深刻.發(fā)現(xiàn)的結果與前人撞車不要緊,可以這樣YY:當年Newton,Gauss,Euler也發(fā)現(xiàn)過,我和他們當年一樣......
而且一段時間以后發(fā)覺自己連親自發(fā)掘的東西都記不清了的時候，真是好郁悶-----你缺乏總結, 很多人不喜歡歸納總結甚至鄙視歸納總結,這是不對的.當你歸納總結知識(不論是別人的還是自己的)后,你會有一個整體的認識.一味的做題而不總結,每一次都是局部的,只見樹木不見森林,久而久之,反倒迷失了方向.
最后,祝你和其他朋友們金榜題名!Bless All!
越來越感到張筑生老師生前的話了,寫數(shù)學書不容易啊(寫數(shù)學文章何嘗不是呢).寫深了點兒,有的人覺得難;寫淺了點兒,有人覺得太簡單;寫專業(yè)點兒,版上有不少和我一樣本身不是數(shù)學專業(yè)的,看不懂;寫多了,有人覺得羅唆;寫少了,有人往往不知所云.要照顧到不同層次讀者真是一件很困難的事情,確實,讓別人明白自己在說啥是個難題!
畢竟咱不是大師,不可能三言兩語就把問題說清楚,因此多說還是比少說不說好些.至于,舉例子,采取這樣的方式,我一般舉兩個例子,一個難的,一個簡單的.簡單的我盡量限制在數(shù)分范圍內,而且盡量舉比較容易理解的例子.由于例子是現(xiàn)想的,可能不是最恰當?shù)?
3.勤動手算,勤動手推導,在算例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.
目前有一個糟糕的現(xiàn)象,工科的生偏愛計算,見到證明題就頭大;數(shù)學系的偏愛證明,對計算不屑.其結果是走兩個極端,工科的證明水平比較低,數(shù)學系的計算能力比較差.記得上研究生數(shù)值分析A時,身邊一個mm抱怨老師"講那么多理論干嘛,只要告訴我怎么算就行了",而且很理直氣壯,很強大.(聽的我直冒汗) . 又驚聞某實驗班學數(shù)學分析,結果有的學生算個定積分做不出來.我覺得十分有必要扭轉這種不好的現(xiàn)象.證明和計算是統(tǒng)一的,而不應該人為的割裂開.
很多數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)或者證明確實是算出來的,即便將來打算搞基礎數(shù)學,適當加強自己計算能力也是有好處的.有些東西你不親自動手算算,你是看不出規(guī)律的.你不積累,如何爆發(fā)!
回顧歷史,許多大數(shù)學家都是擅長計算的,比如偶的偶像Gauss吧,后半輩子在搞天文.那時沒計算機,基本靠手算.天文數(shù)字,很好算嗎? 不過后人整理Gauss的手稿時,發(fā)現(xiàn)他很少有算錯的.Gauss自己說過他當初如何發(fā)現(xiàn)被后人稱為"素數(shù)定理"的東西,他說他當時計算了3000000以內(好像是這個數(shù),記不清了)的所有素數(shù),然后猜出來的結果.
素數(shù)定理:記π(x)表示不超過x的素數(shù)的個數(shù),Gauss猜想 lim π(x) / (x/ ln x) = 1.
這個定理是漸進(x→+∞)意義下的,近似程度不是很高(不實用).我們一方面驚嘆Gauss驚人的洞察力的同時,還需要看到:如果不是Gauss事先計算了大量的素數(shù),他也不可能發(fā)現(xiàn)觀察出素數(shù)分布頻率來.
再舉個大家熟悉的例子,比如微分學中兩個函數(shù)乘積的n階導數(shù)的萊布尼茨公式.這個公式證明不是很復雜,結論也不是很難記.不知大家有沒有算過?
對uv求n階導數(shù)(uv)^(n):首先,我們知道 (uv)'=u'v+uv',反復應用這個公式就能求出任意階導數(shù).如果你有耐心,計算次數(shù)比較多(如3次,4次,5次.....),合并結果中的同類項后,你會發(fā)現(xiàn)兩個規(guī)律.(1)各項系數(shù)是二項式系數(shù)(or楊輝三角);(2)u,v導數(shù)階數(shù)之和都為n. 如果你記憶力足夠好或高中學的扎實,你會立刻發(fā)現(xiàn)這很像二項式展開式.so 你可以大膽的猜想結果是 (uv)^(n)= ∑C_n^k u^(k)v^(n-k), C_n^k為二項式系數(shù). 這就是后來的萊布尼茨的公式.然后你可以嘗試用數(shù)學歸納法嚴格證明它.
并不是所有的數(shù)學定理都隱藏的很深,很難發(fā)現(xiàn)規(guī)律.數(shù)學有時候也很簡單.
"我覺得跟你看張筑生的書關系不大，主要還是你的數(shù)學水平提高了。"-----呵呵,竟然有比我自己還了解自己的. 事實上,肯定與我自身水平提高有關,因為我說過數(shù)學是一個整體.新講對我的影響太大了,已經(jīng)滲透到我的方法,思想,甚至精神當中了!!因此我說新講對我的水平影響最大不為過.
至于兩個月自學實變,是這樣的.我實變是奧運期間自學的,學的不是特別深,也沒怎么做題.
這里多說兩句,分享一些心得.
當初主要感覺從傳統(tǒng)角度學數(shù)分遇到了瓶頸,聽說實變從一種新的角度看微積分,而且很本質.當時清華這邊有實變函數(shù)學實變之說,所以還是很小心的看的.也不指望一遍能看懂,因為我對積分論那部分更感興趣,測度論簡單看看,記了下主要性質就過去了.
我多次在文章中說過,數(shù)學是一個整體的,不同學科是相通的.
就測度這塊吧,為啥研究它.最初是為了研究積分而自然提出的,∫[a,b]f(x)dx = ?
結果是多少先不管,首先這個積分得有意義.從幾何上看積分的幾何直觀就是曲線與x軸所圍成的"曲邊梯形"的面積.于是就提出什么時候"有面積"? 于是我們必須先澄清"面積"這個概念,推廣面積就得到了測度.如果你數(shù)分學的比較好,應該學過約當測度,它初步探討了面積.
在我看來,約當測度是一種外測度和內測度,Lebesgue測度的思想可以看成是約當測度的推廣.既然是測度是面積的一種推廣,它就應該有兼容性,即常見的規(guī)則圖形長度,面積,體積結果都成立.比如:區(qū)間[0,1]長度為1,長方形面積為S=ab等等.
Lebesgue要建立自己的理論,就要推廣約當測度.我想最初大致思路是這樣的:1)承認外測度和內側度仍然有效;2)推廣外測度的可加性,由有限可加性到無限可加性,這種推廣為啥只到可數(shù)可加性呢? 這樣想,首先單點集的測度為0,若是不可數(shù)可加性,你就得到區(qū)間[a,b]的測度也為0,這與最初設計測度的兼容性想法相矛盾!于是無限只能到可數(shù)可加性為止.
但這樣就OK了嗎? 如果你學數(shù)學時多留心的話,你發(fā)現(xiàn)有的概念定義很怪,有的條件貌似很煩人.這多半是為了排除一些bt的反例而人為加上的.我們記約當測度為J測度,Lebesgue測度為L測度.
J測度是用外壓和內擠來定義的(外測度=內測度),很類似達布上和與下和,這實際上是逼近的思想(數(shù)分的核心思想).但有一個問題,有的圖形它沒有內部,你無法從內部逼近.那只考慮外測度行不? 不行,因為有反例:存在兩個不交的集合A,B.其并集的外測度不等于外測度之和,這與我們通常的認識相違. 于是,退而求其次,即"改造"內測度.我們定義點集E(含于區(qū)間[a,b]內)的外側度,考慮其覆蓋(一堆區(qū)間)面積的下確界,外測度記為m(E),這無論E有無內部都能做到.在考慮E的相對補集E^c = [a,b]-E的外測度,內測度定義為n(E) = (b-a)-m(E^c).當m(E) = n(E)時,就稱E為Lebesgue可測的,其測度為公共值m(E).這說明內測度是用外測度誘導出來的(間接調用外測度),一舉兩得.
上面的關于外測度和內測度引入思想還是比較自然的,關于lebesgue測度的那些基本性質也很顯然.但是這些基本性質的證明卻很晦澀.我采取的方式是承認這些測度的基本性質(會用),以后再補上證明.相當于某種程度上避開了令初學者恐懼的測度論.
接著說點Lebesgue積分理論心得吧.
<可測函數(shù)>
我們的目標是研究積分,當然要研究那些能"圍出"面積(測度)的積分了,這樣就自然走到了可測函數(shù)這塊.其實,實變并不那么玄乎,關鍵在于你能否抓住主線.英國著名數(shù)學家Littlewood曾經(jīng)提出了實變函數(shù)論中有名的"小木頭三原理", 直觀上,大致內容如下:
1).測度與有限個區(qū)間的并集相差不多;(外測度定義,L測度是外測度的子集)
2).可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)相差不多;(魯津定理)
3).一致收斂與點點收斂相差不多.(葉果洛夫定理)
注意,上面的三原理中"與"字右邊的都是數(shù)分中我們熟悉的東西.如果我們承認這三個基本原理,確實實變中不少結論可由"小木頭三原理"推出來.其中最有用的恐怕要屬葉果洛夫定理了,因為數(shù)分中關于一致收斂有很多結論的,而葉果洛夫定理中那個測度任意小的集合(不一致收斂的點的集合)在積分理論中可以控制(積分值可以任意小).
當然可測函數(shù)這里還有其他的定理,就不多說了.
<Lebesgue積分>
這才是我最感興趣的地方.熟悉Riemann積分的知道,Riemann積分研究的函數(shù)變化不能太劇烈,連續(xù)性得比較好.我們研究Riemann積分是分定義域,而Lebesgue積分是分值域(以克服函數(shù)變化劇烈造成的困難).可是后者我們在效仿Riemann和時會發(fā)現(xiàn)y_i到y(tǒng)_{i+1}對應的x的集合,可能不是一些區(qū)間,可能是一些點集,可能很復雜.幸虧我們有測度(可測集可以為一些點集),以前我們只能在區(qū)間上積分(or約當可測集上),現(xiàn)在我們可以在L可測集上積分.當然可能會有一些很bt的積分出現(xiàn),這是數(shù)分中沒有的.Lebesgue積分的一個很NB的性質是它與Riemann積分兼容,即凡是Riemann可積函數(shù)必Lebesgue可積,而且積分值相等.
Lebesgue積分的好處不僅僅是擴大了可積函數(shù)范圍,它放寬了許多極限條件.這可從Lebesgue控制收斂定理,列維定理,法圖定理等看出.
有意思的是:
Lebesgue控制收斂定理 對應著數(shù)分中的 阿爾澤拉定理
列維定理 對應著數(shù)分中的 迪尼定理
通過對比,即方便記憶,又加深了理解.
至于后面的微分與不定積分可看作是數(shù)分的深化:
我們常見的函數(shù)多數(shù)都能寫成分段單調形式,從實變角度通過對單調函數(shù)的研究,得到了許多深刻的結論.而對有界變差函數(shù)和絕對連續(xù)函數(shù)的研究在某種程度上解決了許多微積分上的基本問題.如曲線可求長,NL公式的應用等等.
而L^2理論可以與數(shù)分中Fourier級數(shù)理論緊密聯(lián)系,進而有許多深刻的結論,如:L^2中的Fourier級數(shù)幾乎處處收斂等,進而連續(xù)函數(shù)的Fourier級數(shù)幾乎處處收斂.
4.注重一題多解.
與前面不同的是,這里我們不是從老問題中挖掘出新問題,而是考慮使用多種不同的方法來證明問題,或者說一題多解.在我看來:一種觀點,一個概念,一種方法等,這都是數(shù)學思想.不同的方法體現(xiàn)了不同的數(shù)學思想.我們每看到一種新的方法,都要學會從中吸收對自己有用的東西.這里我特別要提醒大家的是,對于一個問題,不要只看簡潔的方法,而方法長了,繁瑣了,就不看了.要知道簡潔不代表深刻,有的方法很長,但可能是更一般或典型的方法,有的方法很短,但也許只針對這道題有效(有的競賽題就是這樣),不具有一般性.
大數(shù)學家Gauss就特別重視一題多解,他一生中給出了代數(shù)基本定理的4個不同的證明,這四個證明風格不同很有特色.我在論壇上發(fā)過"SCIbird搜集的分析中的幾個大問題"那帖子里給出了其中的兩個.古語有云"溫故而知新",學數(shù)學不是模特走秀,一味的追求最新,趕時髦,弄不好就把自己變成空中樓閣.想想"大躍進"的慘痛教訓!數(shù)學中一些寶貴的思想是有傳承性的,她不會隨著時間而磨滅.一時的新穎,時髦,有可能如煙花一般,短暫的絢麗過后,便是消亡.
這里我想說下"維爾斯特拉斯"的那個有名的逼近定理:即閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可由多項式一致逼近.這一定理十分重要而有用,一般數(shù)分教材上都有,多數(shù)書上都轉引伯恩斯坦那個初等證明,他構造了一個叫伯恩斯坦多項式的東西,然后證明它一致收斂于連續(xù)函數(shù).這一構造性的證明十分巧妙,堪稱神來之筆!至于是如何想出來的,可參看托德的<函數(shù)構造論導引>,或者是"SCIbird搜集的分析中的幾個大問題"這個帖子.
不過<數(shù)學分析新講>第三冊里給出的另外兩個證明,也很巧妙!而且更深刻!其中一個證明思路是這樣的:先證明y=|x|可由多項式一致逼近,再證明折線函數(shù)(|x|的某種變形和組合)可由多項式一致逼近,最后證明連續(xù)函數(shù)可由折線函數(shù)一致逼近,進而證明了閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可由多項式一致逼近. 思路清晰自然,而且體現(xiàn)了分析中的核心思想-----逼近思想.事實上,分析中的許多定理,都是用簡單情形來逼近復雜情形這種思路來證明的.
新講中還給出了,另外的一種證明-----核函數(shù)法.看過Fourier級數(shù)收斂性證明的人應該對于核函數(shù)法不陌生,那里討論Fourier級數(shù)前n項和時,出現(xiàn)了一個叫狄利克雷核的東西(Dn(t)),然后把Fourier級數(shù)前n項和化成一個積分,對收斂性只需討論n趨近于無窮時積分的變化.后面討論費歇求和法時還出現(xiàn)了費歇核.學過數(shù)理方程的人也許還記得再求解Laplace方程時,出現(xiàn)了泊松積分(泊松核).總之與核函數(shù)有關的積分核是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要思想.
上面說的可能深了點兒, 再說個簡單的一題多解的例子吧.
求極限!想想求極限的各種不同的方法.羅必達法則,施烏茲定理,泰勒展開,視作某冪級數(shù)的系數(shù)等等.這些方法每個都有其特點,可以說是百家爭鳴!這些內容初學數(shù)分的人未必都能再同一時間內碰到,但你學完數(shù)分之后卻需要把這些零散的求極限方法整理歸納下,你會有一個全新的整體的認識.
5.重視練習自己的舉反例能力,平時多看些數(shù)學上有名的反例.
為什么提出這一點呢? 因為這是數(shù)學的一個重要組成部分.真正做研究時,你碰到一個數(shù)學問題,你就要考慮是證明它,還是構造一個反例否定它.坦白說,舉反例是中國數(shù)學教學的一個薄弱環(huán)節(jié),有的學生幾乎都沒有舉反例這個概念.因為我們平常都是做別人設計好的問題,而不是自己發(fā)現(xiàn)問題,解決問題.當你證明一個問題百思不得其解時,你就應該考慮是不是造一個反例否定它.不要以為這題是來自XX書后習題,或是XX大學真題,就一定正確.數(shù)學是拿證明說話的,不是看你是哪來的.關鍵時刻要膽子大些,數(shù)學證明才是終極法官!
中國傳統(tǒng)的教育模式導致學生思維特點是方向單一,大家總愛從正面考慮問題,而構造反例所采用的思維一般比較怪異.受傳統(tǒng)影響我們總覺得怪異的東西不好,甚至排擠它.但數(shù)學是不以我們的意志為轉移的,不論你覺得它怪異與否,它確實是客觀存在的.寫到這我想把話題寫遠一些,談談數(shù)學中的"怪招"!
如果我們仔細分析過一些天才數(shù)學大師的證明,看過關于他們的一些成長故事,你會發(fā)現(xiàn)大師們的思維有一個特點,那就是所謂的"不走尋常路!" 有一個關于Gauss的傳說,說他小時候上小學,有一天老師不知什么原因很生氣,后果很嚴重.這位老師出了一道比較bt的算術題,
1+2+3+……+99+100 = ? 這題如果不限時間的話,不是很難,就是數(shù)太多,而且中間容易算錯.
一般人做此題就是,一項挨一項的硬算.如果你計算能力強,還很有耐心,那么堅持到底還是有希望的.但Gauss就獨辟蹊徑,他觀察到(就是倒排相加法)
1 2 3 4 ...... 99 100
100 99 98 97 ...... 2 1
同一列之和都是101
101 101 101 101 ..... 101 101
總共有100個,而且倒排后和不變, 這樣1+2+3+……+99+100 = 101×100÷2 = 5050.
這種后來被稱之為"倒排相加法"的方法是求等差數(shù)列和的典型方法.
我們還可以思維再發(fā)散下,用幾何方法來求解上面的算術問題.考慮下面的"階梯圖形",用"×"表示單位正方形.
×
××
×××
××××
..........
×××......××
其中第k層恰有k個單位正方形"×",共100層.容易看出1+2+3+……+99+100 = "×"的個數(shù) = 階梯圖形的面積. 從階梯圖形的左上角到右下角連一條主對角線,剛好把圖形分成一個大的等腰直角三角形和100個小的等腰直角三角形,而我們是知道等腰直角三角形的面積公式的,于是因為原圖形被分割成了一個100×100的大等腰直角三角形,和100個1×1小等腰直角三角形.
所以 1+2+3+……+99+100 = 階梯圖形面積 = 100×100÷2 + 1×1÷2×100 = 5050 !
當然,如果如果把階梯圖形看成一個殘缺的圖形,而假設把它的另一半補全(拼成一個矩形).這與Gauss那個倒排相加法本質一樣.
類似的思維方式還是很多的,比如"逆向思維",如司馬光砸缸的故事;"聯(lián)想思維",如上面那個階梯圖形的例子.要想學好數(shù)學必須使自己的思維活躍起來,這樣才能提高創(chuàng)造性.但切忌:不要把自己變成"詭辯論者"或"常有理".學數(shù)學不能圖一時口舌之快,那樣最終吃虧的還是你自己.
上面說了半天似乎有點跑題了,還是回到反例上來吧.其實反例能幫我們澄清許多似是而非的事情,加深我們對概念的理解,也從某種程度上促進數(shù)學的完善.我為什么建議數(shù)學上有名的反例,因為這些反例不好想,而且我們在分析反例的過程中會學到新的思想,也多學一招.
歷史上反例的一個經(jīng)典代表例子是維爾斯特拉斯構造的那個處處連續(xù)處處不可導的函數(shù),此前大多數(shù)數(shù)學家相信連續(xù)函數(shù)在絕大部分點是可導的.后來人們利用泛函分析中的貝爾綱定理證明了處處連續(xù)處處不可導的函數(shù)(第二綱集)比可導函數(shù)多的多,這又是一個令人驚奇的事情.數(shù)學總是充滿著驚奇!我們在驚訝的同時別忘了把他們的證明方法學來.
順便說下,處處連續(xù)處處不可導的函數(shù)f(x)也是一個無處單調的連續(xù)函數(shù).證明很簡單,反證法假設f(x)在一個小區(qū)間上單調,而由實變函數(shù)中的Lebesgue定理知"單調函數(shù)是幾乎處處可導的",這就產(chǎn)生了矛盾! 事實上,有人估計人們之所以認為續(xù)函數(shù)在絕大部分點是可導的,多半受直觀的誤導,因為人們通常想象的函數(shù)都是分段單調的.在分形幾何中有一種很漂亮的曲線叫"雪花曲線"(也稱科赫曲線),這條曲線也是處處連續(xù)處處不可導的.有興趣的人可以在網(wǎng)上搜一搜.
6.見多識廣,博覽百家之長!
我見過這樣一些人學數(shù)學,他們認為學數(shù)學就是玩技巧和拼智商.如果被某個問題卡住了,就認為自己腦子不好使,沒想到"那個技巧"(真的是技巧的原因嗎?).從來不肯承認(包括潛意識的)問題不會可能因為自己知識的"貧乏".這樣的人學數(shù)學,多半是閉門造車就著一本書不放手,其它參考書不去看.結果可能這樣,例如:我在我們學校數(shù)分考了90+(百分制),做北大題怎么連題都看不懂啊,150分最多也就能得到50分.于是類似北大題技巧性太強了這樣的抽象難度論就出現(xiàn)了.
數(shù)學考試與數(shù)學研究的區(qū)別是,前者限制時間,比的是思維的敏捷.后者一般不限制時間,而且允許你查閱文獻,比的是深刻!搞數(shù)學早已進入"現(xiàn)代"了,不是武俠中那種不管外事,閉門修煉,單打獨斗的時代了.名校里講課,好的老師一般會挑一本適當?shù)臅鳛榻滩?然后指定了若干本同類參考書,并且告訴你如果想學好這一門課,只看教材是遠遠不夠的.對每個人來說時間都是有限的,誰也不可能把每門課都精通了,能精通兩三門就不錯了.大家仔細觀察一下會發(fā)現(xiàn),數(shù)學高手的一個特點是見多識廣,不少大師都在數(shù)學的好幾個分支里有建樹,可謂全能型高手.學數(shù)學此路不通,可另尋別路.但前提是你知道的知識要多,比如你只會數(shù)學分析,那么你被一道分析難題卡住了,你就只能繼續(xù)用分析的方法試.對于高手,他可能會考慮代數(shù),幾何,拓撲等方法.在數(shù)學中,許多著名定理的解決往往是不同分支共同作用的結果.這里我想舉的20世紀數(shù)學中的一個大名鼎鼎的定理------Atiyah-Singer指標定理.
關于Atiyah-Singer指標定理,用白話說是:解析指標 = 拓撲指標.
現(xiàn)在,定理本身有許多種表現(xiàn)形式,而且做了推廣.我所知道的一種比較原始的簡單形式如下:
dim kerD - dim cokerD = ∫_{T^*M}Ch(σ(D))∧Td(M)----- (*)
這里M是一個緊致光滑的可定向黎曼流形, D是橢圓微分算子.(*)式左邊是解析指標(學過泛函的應該不會陌生,在Fredholm理論里定義過);
(*)式右邊是拓撲指標,用上同調形式給出,很復雜.大意是說陳類與托德類作用,然后在余切從上做積分.
Atiyah-Singer指標定理把解析量與拓撲量這兩個看起來毫不相干的東西聯(lián)系起來,而且該定理還能把其它的一些NB定理統(tǒng)一起來,做為它的特例.
實際上Atiyah-Singer指標定理,告訴我們兩件事:1)解析指標(與D有關)是一個拓撲不變量;2)如何計算出解析指標.熟悉指標定理的人可能知道,關于
dim kerD - dim cokerD 與D的選取無關這一事實早就被蓋爾芳德所發(fā)現(xiàn),dim kerD 和 dim cokerD 單拿出來都與D有關,但它們的差卻與D無關,是一個拓撲不變量!這是一個驚人的結論!可是dim kerD 和 dim cokerD 形式上雖然簡單,但對一般的D卻很難算出來.蓋爾芳德雖然知道了dim kerD - dim cokerD 是一個拓撲不變量,但卻不知道具體怎么算出來.
分析的道路看來是走不通了,那么是否可以從其它道路來解決呢?可以!Atiyah后來給出了如何計算拓撲指標的方法(一種情形可參看(*)式),證明了Atiyah-Singer指標定理.
回頭再看看(*)式,解析指標雖然簡單,卻很難求出;拓撲指標雖然復雜,卻能夠算出來.這也從哲學上引發(fā)我們的沉思.(當然復雜是相對的,對數(shù)學家來講,計算拓撲指標不是難事.)
這件事給我們的啟迪是,要解決一個領域內的難題,僅有本領域的知識是不夠的,見多識廣,才能獨辟蹊徑,柳暗花明!
關于指標定理有一個兒童版的特殊形式,比較容易理解.
設V,W是兩個有限維的線性空間,D:V ---> W是線性算子,則指標定理可以寫成:
dim kerD - dim cokerD = dimV - dimW
7. 學數(shù)學應該包括數(shù)學發(fā)現(xiàn)和數(shù)學證明兩部分!
如標題所言,這是我長久以來我的一貫觀點.這也是我在各種場合強烈推薦張筑生老師的<數(shù)學分析新講>的緣由. 我不指望數(shù)學書能把所有定理如何發(fā)現(xiàn)都寫出來,但至少應該盡可能多些一些吧.因為數(shù)學發(fā)現(xiàn)也是數(shù)學的重要組成部分!
我個人認為學數(shù)學其實應該包括兩部分,即數(shù)學發(fā)現(xiàn)＋數(shù)學證明. 不過可惜的是目前的教材多以嚴密性為理由,把數(shù)學的發(fā)現(xiàn)給丟掉了.其結果是教材很可能寫成這個樣子:定義1,定義2,證明1,證明2,例題1,定義3,定義4,……,我稱之為字典式寫法.這樣寫從數(shù)學邏輯上講沒問題,很嚴密. 但是,寫書面向的對象是人,多數(shù)是初學者,字典式的形式化寫法后果多半是一頭霧水,看了半天不知所云.結果很可能對數(shù)學產(chǎn)生恐懼,反感,甚至厭惡.眾所周知,學習數(shù)學到了大學階段,如果一個人對數(shù)學沒有興趣甚至排斥數(shù)學,那么他幾乎是不可能學好數(shù)學的.很多人學了很多人數(shù)學,卻發(fā)現(xiàn)自己只會做別人設計好的題.到了自己研究數(shù)學時,不會發(fā)現(xiàn)問題,感到很迷茫.沒思路,沒方向,沒靈感等等. 結果多半慨嘆自己數(shù)學天資太差,IQ太低.
說實話,除了極少數(shù)天才外,人與人的智商真的差距那么大嗎? 同一個家族,彼此之間血緣很近,智商應該差不多吧.可數(shù)學水平差距可不是一個量級的.就SCIbird自己來說吧,在現(xiàn)在他的家族中,他不是最聰明的.但我父親那邊和我母親那邊的親戚中沒有一個人數(shù)學水平及的上我的.而且我從初中在數(shù)學上就確立了遙遙領先的優(yōu)勢.我從來不認為這個數(shù)學優(yōu)勢是天生的.
我總結了自己的經(jīng)驗:勤奮+態(tài)度+方法.
首先是勤奮,如果說是天才是天生的,我們無法改變.那么勤奮卻可以改變.
其次是態(tài)度,低調,虛心,進取.不要貪一時口舌之快,而自命不凡.學數(shù)學想提高水平,"自命不凡"要不得.與其在口舌上討便宜,不如坐下來多看看書.
方法,那可能話就長了.我只說一條:學數(shù)學應該包括數(shù)學發(fā)現(xiàn)和數(shù)學證明兩部分.
下面我就談談數(shù)學的發(fā)現(xiàn):
見過一些數(shù)學系的和非數(shù)學系的人,他們的一些想法很讓我費解.證明寫的長了,計算多了,他就認為"不專業(yè)",似乎他假定一定存在一個簡單的證明方法(如何證明存在性?).誰都想得到一個簡單優(yōu)美的方法,但是一來無法證明這種"簡單優(yōu)美"的方法一定存在;二來獲得一個簡單優(yōu)美方法不容易.我們要做的是先證明出來,再去尋找有沒有更好的方法.
了解數(shù)學史的人都知道,數(shù)學講究首創(chuàng)性!但是數(shù)學定理的第一個嚴格證明往往既不那么簡單通俗,也不那么優(yōu)美.簡潔優(yōu)美的證明往往是后來人給出的,收錄進教科書的那些經(jīng)典的證明方法,多數(shù)不是第一個證明方法,那很可能是經(jīng)過n多人之手加工的.甚至與最初的證明相比,可能面目全非.
數(shù)學的發(fā)現(xiàn)往往也不像很多人想象那樣很優(yōu)美.進行使用發(fā)現(xiàn)的方法可能很費解,枯燥,不嚴密,甚至很暴力!但創(chuàng)造就是這樣,不拘常理,不受約束,甚至天馬行空亦可!解決問題才是首要的,至于嚴密,專業(yè),優(yōu)美等可稍后去解決.我想這方面最好的例子恐怕算是Fourier級數(shù)是如何發(fā)現(xiàn)的:
一般工科對數(shù)學要求高的專業(yè)都會開數(shù)理方程這門課程,也就是講偏微分方程了.里面有個經(jīng)典的解法叫分離變量法.但是大家可能沒想到的是名震千古的Fourier級數(shù)就是當年傅立葉在用分離變量法硬解熱傳導方程過程中發(fā)現(xiàn)的!!
下面我講簡要說下大致發(fā)現(xiàn)過程,至于求解熱傳導方程的細節(jié)可參考任何一本數(shù)理方程教材.
采用TeX語言的下標記法,用u_{x} = u_{x}(x,t), 表示函數(shù)u(x,t)對x的偏導數(shù),二階偏導數(shù)記為u_{xx}.考慮熱傳導方程如下:
熱方程: u_{xx} = u_{t} (0<x<π,t>0)
初值條件:u(x,0) = f(x)
邊值條件:u(0,t) = u(π,t)=0
傅立葉硬假設u(x,t)能分離變量, 即 u(x,t) = U(x)T(t)
代入熱方程,得U"(x)T(t) = U(x)T'(t)
所以 U"(x)/U(x) = T'(t)/T(t) = const := -λ
因此可化為兩個常微分方程
U"(x) + λU(x) = 0
U(0) = U(\pi)=0
和 T'(t) + λT(t) = 0
通過討論,得知 λ>0
解上面的方程再把解疊加到一起(細節(jié)參考數(shù)理方程教材)
得到級數(shù)解 u(x,t) = ∑bn*(exp{Wn*t})*sin(nx)
再由u(x,0) = f(x),得到 f(x) = ∑bn*sin(nx) -----(*)
這似乎意味著f(x)能展開成三角級數(shù).注意到(*)右邊每一項都是奇函數(shù)(矛盾了嗎?)
同樣的程序,能導出 f(x) = a0/2 + ∑an*cos(nx)
如果我們一開始,把x的定義域取為關于原點對稱的,再考慮到任何一個函數(shù)都能拆成"一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和(Why?)".于是傅立葉大膽猜測,對于一般的函數(shù)應該有.
f(x) = a0/2 + ∑an*cos(nx)+bn*sin(nx)
這就是名震千古的Fourier級數(shù).傅立葉也找出了系數(shù){an}與{bn}的表達式,就是現(xiàn)在教材上的那個表達式.
當然之后的問題還很多,諸如何時可以展開,收斂性如何,收斂到f(x)自身嗎等等,問題一堆.不過這是后話了.我這里只想說的是,數(shù)學發(fā)現(xiàn)需要大膽, 過分的強調嚴密反而容易壓制創(chuàng)造."大膽猜測,嚴格證明!"------這才是學數(shù)學的正確方法!!
8.注重不同分支之間的聯(lián)系.
學數(shù)學想提高修為不但要修身,練得一身好本領,也要修心,提高思想境界!何為思想境界,這里指看問題要看的長遠,不但能看出本分支的內容,更能看到不同分支之間的聯(lián)系,相互促進.
這方面的典型代表要首推幾何!回憶起我們高中學習歐幾里得的經(jīng)典平面幾何,那些問題和證明方法十分優(yōu)美,可以說比較好的體現(xiàn)了數(shù)學美! 但若我們仔細觀察就會發(fā)現(xiàn),其絕大部分內容都于圓有關,若走出圓外似乎方法就不多了. 但即使限制到與圓有關的平幾問題,證明也是很困難的,最典型的代表是連輔助線,相當技巧!后來解析幾何的引入才打破了這種技巧性的局面,而且確實提供了一般的程序化通用方法.也許平面解析幾何優(yōu)勢不那么顯然,那么用空間解析幾何(含空間向量)來解決立體幾何問題絕對是一個實質性的進步,我相信很多人都有這種體會.也許有人會說,解析幾何很難看很暴力,破壞了幾何美.我覺得大可不比這樣抱怨,因為解析的方法并不排斥傳統(tǒng)的方法,兩種方法都可以使用,而且有時解決問題可能比數(shù)學美更重要.所以,兩者都有存在的意義.
在一個分支的基礎上引入其它分支的工具往往能開辟出新的天地,把解析方法引入幾何創(chuàng)造了解析幾何,把微積分搬到幾何上出了微分幾何,進而發(fā)展出了微分流形等等類似例子很多.
歷史上許多著名問題的解決,也依賴其它分支的方法.比如"最速降線"的最簡單解法,應用了光的折射定律.不同分支也存在內在聯(lián)系,如微分形式中的"恰當形式",其物理原型是"有勢場".分析中的上同調與拓撲中同調的對偶性,de Rham定理.我們在研究問題時,不能局限于這個問題本身,而要有氣魄,看的盡可能遠些.要看到不同分支的聯(lián)系,要從相似中看到相似.
下面這篇文章是我本科時整理的,也在論壇貼出來過(可能沉入數(shù)據(jù)之海了)當時主要是為了解決中值定理的輔助函數(shù)構造問題.(試圖尋找比較一般化的方法)
眾所周知,微分中值定理是一塊很難啃的骨頭,技巧性是相當強.對多數(shù)問題,最困難的地方在于輔助函數(shù)的構造,往往一旦構造出了輔助函數(shù),問題就解決了一半.可惜,很少有教材仔細講過如何構造輔助函數(shù),很多人感覺輔助函數(shù)是通過觀察or湊出來的.
微分中值定理與微分方程看起來不太相干,但倘若你將構造輔助函數(shù)過程看作是"解方程"的話,它們之間的聯(lián)系還是很微妙的.請仔細讀讀下面的文章,也許你會有所感悟!
先考慮一個典型的中值定理難題!
已知，f,g在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內二階可導且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b)
證明：存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)-f(ξ)=g"(ξ)-g(ξ).
我來說下關于本題的想法吧，一般涉及二階中值定理的問題都需要某函數(shù)的3個零點作為過渡，比如本題。我曾經(jīng)考慮過如下形式：
f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內2階可導，f(a)=f(b)=f©=0,a<c<b
證明：存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)+pf'(ξ)+qf(ξ)=0,其中p,q為常數(shù)且（△=p^2-4q≥0-----這是后加的條件，以下都默認這一條件）. 我試圖找出該問題更一般的的證明方法（自然，流暢），但最后都失敗了。直到一次偶然翻到張筑生老師的《數(shù)學分析新講》（我最愛的數(shù)分書）第一冊高階常系數(shù)微分方程部分，受到啟發(fā)從而找到了一般的解法。
傳統(tǒng)的高數(shù)（不是高中數(shù)學---HAHA！）中在二階常微分方程y"+py'+qy=0（*）部分，通過觀察指數(shù)函數(shù)exp(λx)的求導性質來推斷它是（*）的解，從而得到一般解的表達公式。但這更象逆解法，要求高
了點。能否直接通過直接積分來求解呢？-----當然可以。
對于一階線性方程已經(jīng)獲解，對于2階常系數(shù)微分方程：
記 r^2+pr+q=0的兩個根為λ1，λ2。引入微分算子D=d/dx,則（*）等價于(D^2+pD+q)y=0,
由此得到(D-λ1)(D-λ2)y=0,令L=(D-λ2)y -----(1),則(D-λ1)L=0 -----(2),
從（2）可以解出L，再代入（1）可求出y.
*****中值定理與微分方程關系緊密，比如1階形式 f'(ξ)+N(ξ)f(ξ)=0－－－－(3).
可化為微分方程f'(x)+N(x)f(x)=0,
分離變量，再積分得,f(x)=exp[-∫N(x)dx]
移項得 f(x)exp[∫N(x)dx]=1－－－－－(4),對(4)求導可以得到(3),對于多數(shù)情況可以直接設輔助函數(shù) F(x)=f(x)exp[∫N(x)dx]－－－－－（5），一般只需在驗證f(x)有2個零點即可。
下面回到原問題 (D-λ1)(D-λ2)f=0中來,f有3個零點，這暗示可能用兩次公式（5）。
令L=(D-λ2)f,應用（5）可以證明L有2個零點。
證：設F(x)=f(x)exp[-λ2x],可推出L有2個零點；
再設φ(x)=L(x)exp[-λ1x],可以推出 存在ξ∈(a,b),使得
f"(ξ)+pf'(ξ)+qf(ξ)=0,對于更高次項也可以用類似的方法。
推廣：n 次多項式Pn(x)有n個相異實根,引入微分算子D=d/dx,Pn(D)為算子多項式,函數(shù)f(x)在[a,b]上n階可導且有n+1個不同的零點。
證明：存在ξ∈(a,b)，使得Pn(D)f(ξ)=0.
例如：P2(x)=x^2+5x+1,則P2(D)f=f"+5f'+f
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