眾所周知，聲音有四大要素：音高、強(qiáng)弱、長短、音色。
前三種，非常容易理解：
音高：就是振動的頻率不同導(dǎo)致的區(qū)別。
強(qiáng)弱：就是振動的振幅不同導(dǎo)致的區(qū)別。
長短：就是振動持續(xù)時間的不同導(dǎo)致的區(qū)別。
而音色，相對而言較難理解一些。
對于振動（也就是聲音）來說，最純粹最基本的是正弦波的震動。然而，在電子時代到來之前，人類完全沒有聽過這種純粹的震動。而現(xiàn)在則很容易，你只要提起電話，就能聽到頻率為440赫茲的正弦波的聲音——平心而論，這種聲音實在算不上美妙。
Fig 1 正弦振動
但是，自然界中存在很多非常不同的聲音，他們的振動，幾乎全都不是正弦的震動。
Fig 2 非正弦振動的一個例子
這樣的震動，對人聽覺所產(chǎn)生的作用，是完全不同的，那這種不同，就是音色的不同。
但是，傅立葉從數(shù)學(xué)上證明了，任何的一種非正弦的振動，都可以分解為若干個不同頻率的正弦波的疊加。而這一系列的正弦波的頻率，都是原來波的頻率的整數(shù)倍。但是，頻率越高，所分配到的能量則越少。
Fig 3 波的傅立葉變換
而波的頻率，從某種程度上來說，正對應(yīng)了參與振動的弦的長度。假設(shè)頻率是基音的3倍，那參與振動的弦的長度就是原弦的1/3，呈倒數(shù)關(guān)系。
（對于管樂的情況，則可以考慮參與震動的空氣柱的長度，最終結(jié)果是一樣的。）
而泛音，實際上就是基音被分解后所產(chǎn)生的一系列振動——所以有的書上也說，是“部分弦長的振動”。
因此，除了正弦波本身是不存在泛音的，任何其他的振動（或音），都存在無窮多個泛音——我們實際在音樂演奏中無法聽到那么多泛音，正是由于頻率越高，分配到的能量越少，因此無法實際使用的原因。
現(xiàn)在，我們可以給音色下一個定義了：音色的區(qū)別是由于各種振動，其總能量在泛音各音級上能量分配不同而造成的。
而在實際演奏中，所謂“演奏泛音”本質(zhì)上其實是“如何將一個單獨的泛音，從
同時存在的基音和泛音列中單獨提取出來”的問題。
Fig 4 這里顯示了用一個手指在琴弦的3/2處虛按的情況
很明顯的，除了基音的3倍、6倍、9倍……等頻率之外的震動，全部被抑制掉了。而這寫幸存的震動，則合成了一個新的音。這個音是原來基準(zhǔn)音頻率的3倍。（如果基準(zhǔn)音是c的話，那這個音就將是g1）
Fig 5 則顯示了一個手指在琴弦的一半處虛按的情況。當(dāng)然因此，除了2倍頻率，極其倍數(shù)的頻率之外，別的振動都被抑制了。因此，這樣演奏出來的音，將是基準(zhǔn)頻率的一倍。（如果基準(zhǔn)音是c的話，那這個音就將是c1）
通過這種方法，我們可以很簡單的發(fā)現(xiàn)，在琴弦的1/2，1/3，2/3，1/4，3/4，1/5，2/5，3/5，4/5……等等許多地方都可以演奏出泛音。而從理論上說，由于泛音列是無限的，因此在任何一個位置，都可以演奏出泛音。但是實際上，由于泛音的音級越高，分配到的能量就越少，實際上在5倍頻率的情況下，已經(jīng)很難演奏出泛音了。（銅管的情形要稍微好一些，但是也很少會超過10級以上的泛音）。
而人工泛音，實際上原理沒有任何區(qū)別，只是人為的用一個手指按弦，改變基準(zhǔn)音的音高，而用另一個手指虛按琴弦的某個特定的位置，來獲得需要的泛音而已。
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（考慮到這里大多不是學(xué)理工的，所以我盡量不把公式牽扯進(jìn)來。傅立葉變換的公式我就不列出來了，不過這個問題的解釋，還是需要一些簡單的公式，所以還請大家原諒；同時也要請理工的同學(xué)原諒我做了一些簡化。）
這里，假設(shè)發(fā)出的聲音是F。頻率是ω。那我們記這個波形為：F(ω)
那么，實際上，我們可以把這個波形分解成若干個正弦波的疊加。
F(ω)= A1f(ω) + A2f(2ω) + A3f(3ω) + A4f(4ω) + A5f(5ω) + A6f(6ω)……
這里，f(n ω)代表各種正弦波。而之前的數(shù)字，則代表這個正弦波的頻率，是原先那個音頻率的幾倍。而A1 A2.....則代表這個頻率的正弦波的振幅，或者說強(qiáng)弱。
實際上，F(xiàn)(ω)就是小提琴拉出的那個音（當(dāng)然，也可以是任何一個別的樂器或者東西發(fā)出的音）。那A1f(ω)就是基音，這個頻率ω，就是基頻。
而A2f(2ω) + A3f(3ω) + A4f(4ω) + A5f(5ω) + A6f(6ω)……這一堆，就是各色泛音。A2f(2ω)就是第一級泛音。A3f(3ω)就是第二級泛音。……
現(xiàn)在可以開始解釋一些問題了：
1、同樣頻率的音，為什么音色會不同？
答：頻率一樣，實際上就是說，基頻是一樣的。但是，再經(jīng)過傅立葉變換之后，A1 A2 A3...這一系列參數(shù)會不一樣。這也就是說，能量在不同頻率上的分布不同。假設(shè)一個小提琴，發(fā)出的音A1 A2 A3……分別是0.3, 0.1, 0.005……那么，任何一個別的聲音只要符合這個比例的分布（或者近似符合），我們都可以認(rèn)為是同一把小提琴發(fā)出的聲音。（實際上鑒定錄音是否某個人的聲音，也是用同樣的方式）。不同的聲色，這個頻率分布是完全不同的。這也就是為什么有音色區(qū)別的根本原因。
2、為什么音叉沒有泛音？
答：這個說法是個很不嚴(yán)密的說法。不能說沒有泛音，只能說，由于音叉的聲學(xué)特性很特殊，它的聲音經(jīng)過傅立葉變換之后，A1很大，A2 A3 A4……都非常非常小。一直要到很高的泛音級，才會在出現(xiàn)一個稍大一點的項。因此，聽起來“就像沒有泛音一樣”。
3、這個解釋是否適用于所有的弦樂器？
答：這個解釋適用于所有的聲音。而不僅僅是弦樂器。
4、為什么鋼琴演奏出來的是泛音列？而小提琴是演奏泛音？
答：上面的解釋可以看到，任何聲音，都可以分解成泛音列。所以鋼琴演奏的時候，也包含了一系列的泛音（如同小提琴、長笛、長號……一樣）。而小提琴、吉他等樂器演奏的泛音，只是通過特殊的方法，把其中某幾項分量“取出來”單獨被你聽見而已。所以，從物理的意義上來講，不是小提琴演奏出了泛音，而是小提琴特意不演奏出一些泛音。
