已知P(1,1)、Q(2,1)，求解以下有關(guān)問題。
(1)求線段PQ中點坐標(biāo)P1。
(2)求線段PQ中間某點P2的坐標(biāo)，使得1PP2=2P2Q。
(3)求線段PQ延長線上，且在Q點右邊的點P3坐標(biāo)，使得PQ:QP3=1:2。
(4)計算PQ兩點的距離。
(5)求PQ所在直線的方程L1及直線的斜率k1，以及經(jīng)過點P1垂直PQ的直線方程L2。
(6)求以P,Q兩點長軸為焦點，離心率e=1/2時的橢圓方程。
(7)求以P,Q兩點長軸為頂點，離心率e=1/2時的橢圓方程。
(8)求以P,Q兩點為實軸焦點，離心率e=3/2時的雙曲線方程。
(9)求以P,Q兩點為實軸頂點，離心率e=3/2時的雙曲線方程。
(10)求以P為焦點，Q為頂點的拋物線方程。
(1)求線段PQ中點坐標(biāo)P1。
解：設(shè)中點P1的橫坐標(biāo)為x0，縱坐標(biāo)為y0，
根據(jù)題意，有：
x0=(1+2)/2=3/2;
y0=(1+1)/2=1.
即中點P1的坐標(biāo)為P1(3/2, 1).
(2)求線段PQ中間某點P2的坐標(biāo)，使得1PP2=2P2Q。
解：介紹兩種方法來求P2點坐標(biāo)。
思路一：兩點間距離公式法。
設(shè)P2(x2,y2),由兩點間距離公式有：
|PP2|=√[(1-x2)^2+(1-y2)^2];
|P2Q|=√[(2-x2)^2+(1-y2)^2].
1^2[(1-x2)^2+(1-y2)^2]=2^2[(2-x2)^2+(1-y2)^2]
1-2x2+x2^2+1-2y2+y2^2=16-16x2+4x2^2+4-8y2+4y2^2
3x2^2+3y2^2-14x2-6y2+18=0.
又因為點P2和P,Q在一條直線上，P2P與PQ的斜率相等，則：
(y2-1)/(x2-1)=0,
即：y2-1=0
y2=1,代入距離關(guān)系式方程有：
3x2^2+3*1-14x2-6*1+18=0
化簡得：3x2^2-14x2+15=0,即：
(3x-5)(x-3)=0,由于1<x2<2,
求出x2=5/3，進一步代入求出y2=1.
思路二：定比分點法。
因為PP2/p2Q=2/1，所以定比分點λ1= 2.
則所求P2的橫坐標(biāo)x2=(1+2λ1)/(1+λ1)
同理，坐標(biāo)軸y2=(1+1λ1)/(1+λ1)。
即可求出x2=5/3，y2=1。
所以所求點的坐標(biāo)P2(5/3，1).
(3)求線段PQ延長線上，且在Q點右邊的點P3坐標(biāo)，使得PQ:QP3=1: 2。
解：用定比分點法求解。
因為PQ:QP3=1: 2，所以定比分點λ2=-3/2;
則所求P3的橫坐標(biāo)x3=(1+ 2λ2)/(1+λ2)
同理，坐標(biāo)軸y3=(1+1λ2)/(1+λ2)。
即可求出x3=4，y3=1。
所以所求點的坐標(biāo)P2(4，1).
(4)計算P、Q兩點的距離。
解：根據(jù)兩點間距離公式有：
d=|PQ|=√[(1-2)^2+(1-1)^2]
=√(1+0)=1.
即P、Q兩點的距離為1。
(5) 求PQ所在直線的方程L1及直線的斜率k1，以及經(jīng)過點P1垂直PQ的直線方程L2。
解：由P(1,1)、Q(2,1)知P,Q兩點所在直線的斜率k1為：
k1=(1-1)/(2-1)=0.
則P,Q的直線方程L1的方程為：
y-1=0，即y=1.
由題意知，直線L2的斜率k2不存在，
即可求出所求的直線L2的方程為：x=3/2。
(6)求以P,Q兩點為長軸焦點，離心率e=1/2時的橢圓方程。
解：根據(jù)題意設(shè)橢圓的半焦距為c，則有
2c=|PQ|=1；
即c=1/2，此時c^2=1/4;
又因為離心率e=1/2=c/a，則:
a=1，此時a^2=1;
此時b^2=a^2-c^2=1-1/4
=3/4,
故此時橢圓方程為：
(x-3/2)^2+(y-2/2)^2/(3/4)=1.
(7)求以P,Q兩點為長軸頂點，離心率e=1/2時的橢圓方程。
解：根據(jù)題意設(shè)橢圓的半焦距為c，長半軸為a，則有：
2a=|PQ|=1，此時a=1/2，
進一步得a^2=1/4.
由離心率e=1/2=c/a,則：
c=1/4，此時c^2=16;
由b^2=a^2-c^2=1/4-1/16
=3/16，
故此時橢圓方程為：
(x-3/2)^2/(1/4)+(y-2/2)^2/(3/16)=1.
(8)求以P,Q兩點為實軸焦點，離心率e=3/2時的雙曲線方程。
解：根據(jù)題意設(shè)雙曲線的半焦距為c，則有
2c=|PQ|=1，
即c=1/2，此時c^2=1/4;
由離心率e=3/2=c/a,則：
a=1/3，此時a^2=1/9;
由a^2+b^2=c^2得：
b^2=c^2-a^2=1/4-1/9
=5/36,
故此時雙曲線的方程為：
(x-3/2)^2/(1/9)-(y-2/2)^2/(5/36)=1.
(9)求以P,Q兩點為實軸頂點，離心率e=3/2時的雙曲線方程。
解：根據(jù)題意設(shè)雙曲線的半焦距為c，長半軸為a，則有：
2a=|PQ|=1，此時a=1/2，
進一步得a^2=1/4.
由離心率e=3/2=c/a,則：
c=3/4，此時c^2=9/16;
由a^2+b^2=c^2得：
b^2=c^2-a^2=9/16-1/4,
=5/16，
故此時雙曲線方程為：
(x-3/2)^2/(1/4)-(y-2/2)^2/(5/16)=1.
(10)求以P為焦點，Q為頂點的拋物線方程。
解：以P(1, 1)為頂點，Q(2, 1)為頂點則有：
p/2=|PQ|=1,
則2p=4,此時拋物線的方程為：
(y-1)^2=-4 (x-2)。
