【編者按】實(shí)驗(yàn)是科學(xué)研究的基本方法之一，數(shù)學(xué)也不例外。不能設(shè)想，所有的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法都可以離開(kāi)實(shí)驗(yàn)而僅僅通過(guò)計(jì)算或推理得到。但是，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)常常把數(shù)學(xué)過(guò)分形式化，忽視探索重要數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程的實(shí)踐活動(dòng)。目前，這一觀念正在轉(zhuǎn)變，并且，信息技術(shù)為學(xué)生在教師指導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了極好的條件和便利。下面兩篇文章的作者分別介紹了自己對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的認(rèn)識(shí)和嘗試，讀者也許能得到某些啟發(fā)。
一、問(wèn)題的提出
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指在典型的環(huán)境或特定的條件下所進(jìn)行的一種發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)理論的探索活動(dòng)。這種活動(dòng)的特征是通過(guò)實(shí)際嘗試，產(chǎn)生假設(shè)或猜想，進(jìn)行驗(yàn)證，最終形成有待于進(jìn)行嚴(yán)密論證的數(shù)學(xué)命題，或形成解決問(wèn)題的思路。
?。?#183;波利亞指出：數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個(gè)方面看，數(shù)學(xué)像是一門(mén)系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)看起來(lái)都像一門(mén)試驗(yàn)性的歸納科學(xué)。大數(shù)學(xué)家歐拉說(shuō)：數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn)。然而，由于學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)都是前人發(fā)現(xiàn)并經(jīng)過(guò)嚴(yán)格論證的真理，因此，過(guò)去學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)大多表現(xiàn)為以歸納和演繹為特征的思維活動(dòng)，簡(jiǎn)約了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。這制約了學(xué)生的發(fā)展。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是再現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程的有效途徑，它為學(xué)生提供了主體參與、積極探索、大膽實(shí)踐、勇于創(chuàng)新的學(xué)習(xí)環(huán)境，提供了一條解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的全新思路。信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合，更為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)開(kāi)辟了無(wú)限廣泛的前景。
二、開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的理論依據(jù)
1.建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀和教學(xué)觀
建構(gòu)主義認(rèn)為認(rèn)識(shí)不是主體對(duì)客觀實(shí)在的簡(jiǎn)單、被動(dòng)的反應(yīng)，而是主體以自己已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為依托所進(jìn)行的積極主動(dòng)的建構(gòu)過(guò)程。因此，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，主體已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和對(duì)建構(gòu)過(guò)程的積極參與是非常重要的。學(xué)生在已有知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對(duì)信息進(jìn)行主動(dòng)選擇、加工和處理，不斷地同化和順應(yīng)，從而構(gòu)建新的知識(shí)結(jié)構(gòu)。建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀清楚地闡明了學(xué)習(xí)者積極參與、主動(dòng)探求對(duì)新知識(shí)構(gòu)建的重要作用。
2.主體教育的理論
主體教育理論認(rèn)為，教育應(yīng)該注重培養(yǎng)和發(fā)展人的主體性，應(yīng)該為學(xué)生主體性的發(fā)展提供適當(dāng)?shù)沫h(huán)境和一切便利的條件，充分調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)和自我發(fā)展的主動(dòng)性。“活動(dòng)”是主體性的具體體現(xiàn)，只有在活動(dòng)中，人的個(gè)性才得以形成和發(fā)展，人格的各種要素才得以產(chǎn)生并結(jié)合成一個(gè)整體。人的活動(dòng)越豐富，人的發(fā)展就越充分、越全面；人的活動(dòng)越深入，人的研究意識(shí)就越強(qiáng)，越有創(chuàng)造力。
三、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的模式舉例
1.傳統(tǒng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式
該教學(xué)模式是通過(guò)對(duì)一些工具、模型的動(dòng)手操作，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探索數(shù)學(xué)知識(shí)，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論（或假設(shè)）的教學(xué)活動(dòng)。它由以下５個(gè)環(huán)節(jié)組成：準(zhǔn)備——設(shè)計(jì)方案——實(shí)驗(yàn)操作——觀察猜想——?dú)w納結(jié)論。
【案例】“線面垂直的判定”的引入
每位同學(xué)事先準(zhǔn)備一張頂點(diǎn)分別為Ａ，Ｂ，Ｃ的三角形紙片，進(jìn)行下述實(shí)驗(yàn)：
?、龠^(guò)頂點(diǎn)Ａ折疊紙片得到折痕ＡＤ，如圖１，再將折疊后的紙片放置在水平的桌面上，如圖２，請(qǐng)觀察：折痕ＡＤ與桌面垂直嗎？
?、谘芯浚喝绾握郫B紙片，能使折痕ＡＤ與桌面垂直？如圖３。
?、墼趫D３的情況下，若將折紙展平并讓它豎起來(lái)，如圖４，這張紙還能穩(wěn)穩(wěn)地豎立在桌面上嗎？即ＡＤ仍與桌面垂直嗎？ 
在動(dòng)手操作中，同學(xué)們很容易發(fā)現(xiàn)：僅當(dāng)折痕ＡＤ是ＢＣ上的高線時(shí)，ＡＤ可能與桌面垂直。此時(shí)，ＡＤ⊥ＢＤ，ＡＤ⊥ＤＣ。引發(fā)學(xué)生思考：當(dāng)ＡＤ⊥ＢＤ，ＡＤ⊥ＤＣ時(shí)，要使ＡＤ⊥面ＢＤＣ，還需要補(bǔ)充什么條件？從而進(jìn)入理論證明。
經(jīng)過(guò)這樣處理，一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)定理就直觀地展示在我們面前。實(shí)驗(yàn)活動(dòng)不僅能幫助學(xué)生快速感知、記憶這個(gè)定理，而且能讓學(xué)生更加深刻地感知線面垂直的條件。
2.現(xiàn)代信息技術(shù)條件下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式這種教學(xué)模式是借助于計(jì)算機(jī)（包括圖形計(jì)算器）的快速運(yùn)算功能和圖形處理能力，模擬再現(xiàn)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)知識(shí)、檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論（或假設(shè)）的教學(xué)活動(dòng)。它包括以下５個(gè)環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境——實(shí)驗(yàn)探究——提出猜想——驗(yàn)證猜想——問(wèn)題拓展。
【案例】 網(wǎng)絡(luò)教室中一人一機(jī)環(huán)境下對(duì)直線與雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的探究
（１）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境
①已知雙曲線ｘ２－ｙ２＝４和過(guò)定點(diǎn)Ｐ（０，２）的直線Ｌ，問(wèn)直線Ｌ何時(shí)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)？
②在計(jì)算機(jī)上觀察四條所求出的直線的位置特征。
③問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)Ｐ在平面內(nèi)的其它位置時(shí)，過(guò)該點(diǎn)且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條？
（２）實(shí)驗(yàn)探究
學(xué)生借助教師制作的課件（或積件），在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行自主探究或協(xié)作探究實(shí)驗(yàn)。學(xué)生在計(jì)算機(jī)上繞定點(diǎn)Ｐ（０，２）旋轉(zhuǎn)直線，發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線Ｌ與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線Ｌ與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)。這個(gè)規(guī)律是否有普遍性？從而引出新問(wèn)題：若點(diǎn)Ｐ在平面內(nèi)的其他位置，過(guò)該點(diǎn)并且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條？實(shí)驗(yàn)繼續(xù)進(jìn)行。
（３）提出猜想
通過(guò)實(shí)驗(yàn)探索，學(xué)生大膽猜想：只要直線Ｌ與雙曲線的漸近線平行，那么直線Ｌ與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)。
（４）驗(yàn)證猜想
提出猜想之后，通過(guò)演繹推理來(lái)驗(yàn)證猜想，或通過(guò)反例來(lái)否定猜想，是獲得正確結(jié)論的關(guān)鍵步驟。
（５）問(wèn)題的拓展
①給定雙曲線和一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)這個(gè)定點(diǎn)與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的直線有幾條？
②把雙曲線改為其它圓錐曲線，情況又如何？
四、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的功用和價(jià)值
1.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)了良好的教學(xué)情境，使學(xué)生有興趣、有信心地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)
創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)環(huán)境可從兩方面進(jìn)行。其一是創(chuàng)設(shè)寬松和諧的教學(xué)氛圍，倡導(dǎo)教學(xué)民主，從而使學(xué)生能夠有信心地參與教學(xué)活動(dòng)。其二是創(chuàng)設(shè)有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題情景，吸引學(xué)生積極參與知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程。教學(xué)實(shí)踐表明，運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)建立數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)，是一種能夠引起態(tài)度和個(gè)性情緒變化的學(xué)習(xí)方式。
2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為學(xué)生提供了探究學(xué)習(xí)的平臺(tái)，使學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)改變被動(dòng)學(xué)習(xí)方式的關(guān)鍵是教師教學(xué)方式的變革。在“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的活動(dòng)中，教師設(shè)置實(shí)驗(yàn)題目，組織學(xué)生小組學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行歸納證明。教師變成教學(xué)的組織者和學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、合作者，學(xué)生則通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作進(jìn)行觀察、分析、探索、猜想和歸納，從而親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，由接受性學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)樘剿餍詫W(xué)習(xí)。
3.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)拓展了學(xué)生探究問(wèn)題的空間，使學(xué)生富有創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的活動(dòng)中，學(xué)生們模擬數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的活動(dòng)，積極觀察、比較、分析、猜想、歸納、論證，再現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程。在這一過(guò)程中，學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力得到了有效的培養(yǎng)。
五、對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)存在問(wèn)題和解決方法的思考
1.轉(zhuǎn)變觀念，正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的意義盡管絕大多數(shù)數(shù)學(xué)教師認(rèn)為做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是非常必要的，但在教學(xué)中卻做得很少，甚至不做。這是因?yàn)?#8220;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”是一種過(guò)程教學(xué)，盡管能有效地培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力，但是在短期內(nèi)難以提高學(xué)生的成績(jī)，就應(yīng)試效果來(lái)說(shuō)，比不上傳統(tǒng)的講解模式和大容量、高強(qiáng)度、多復(fù)習(xí)的課堂訓(xùn)練。教師們面對(duì)升學(xué)壓力，舍不得在這上面多花費(fèi)時(shí)間和精力。
其實(shí)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芤饘W(xué)習(xí)興趣、激發(fā)學(xué)習(xí)熱情、增加知識(shí)的深度和廣度，有利于分析和解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)。他們通過(guò)實(shí)驗(yàn)形成的數(shù)學(xué)素質(zhì)，日后將逐漸顯露出來(lái)。事實(shí)上，當(dāng)前正在進(jìn)行的課程改革對(duì)這一方面已比較重視。因此，數(shù)學(xué)教師必須轉(zhuǎn)變觀念，自覺(jué)加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)。
2.重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Φ呐囵B(yǎng)
學(xué)生初次進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)嘗試，往往會(huì)不知所措。他們的主要困難是難以設(shè)計(jì)完整的實(shí)驗(yàn)方案，在實(shí)驗(yàn)中提不出問(wèn)題，不善于歸納和形成猜想。針對(duì)這些問(wèn)題，教師要循序漸進(jìn)，從操作、交流開(kāi)始，逐漸增加提問(wèn)、猜想和評(píng)估，直到實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，逐步提高要求。開(kāi)始時(shí)要突出數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)思想，并要演示操作過(guò)程，指導(dǎo)觀察和記錄，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證和歸納，有意識(shí)地讓學(xué)生提高參與的程度。
3.重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的軟硬件建設(shè)
硬件是指計(jì)算機(jī)（包括圖形計(jì)算器）、測(cè)量工具等。目前不少學(xué)校計(jì)算機(jī)房只是供計(jì)算機(jī)課使用，輪不到數(shù)學(xué)課，因而利用計(jì)算機(jī)或網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)難以開(kāi)展。軟件就更加缺乏，教材中缺少實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容，教學(xué)雜志上關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的信息也很少，教師缺乏設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。這就要求加大數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)所需要的軟硬件的投入力度，確保數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的正常開(kāi)展。
六、結(jié)束語(yǔ)
在提倡素質(zhì)教育多年的今天，我們要審視傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，深刻理解課程改革的理念，積極探索，使我們的數(shù)學(xué)教學(xué)水平和效益上一個(gè)臺(tái)階。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是一種迫切需要。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該充分挖掘?qū)嶒?yàn)素材，利用好《幾何畫(huà)板》、Ｚ＋Ｚ智能教育平臺(tái)、圖形計(jì)算器等優(yōu)秀軟件平臺(tái)，為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)良好的環(huán)境。
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