麥克斯韋是繼法拉第之后，又一位集電磁學大成于一身的偉大科學家。他全面地總結(jié)了電磁學研究的全部成果，并在此基礎(chǔ)上提出了“感生電場”和“位移電流”的假說，建立了完整的電磁場理論體系，不僅科學地預(yù)言了電磁波的存在，而且揭示了光、電、磁現(xiàn)象的內(nèi)在聯(lián)系及統(tǒng)一性，完成了物理學的又一次大綜合。他的理論成果為現(xiàn)代無線電電子工業(yè)奠定了理論基礎(chǔ)。
本文以麥克斯韋三篇主要電磁學論文為依據(jù)，試圖探討他的電磁理論建立過程以及他的科學方法的特色，期望能回答以下幾個問題：麥克斯韋是怎樣用類比研究方法建立他的電磁場理論的？“感生電場”和“位移電流”的假設(shè)是怎樣提出來的？場的概念和麥克斯韋方程是怎樣建立的？
麥克斯韋(James Clark Maxwell，1831—1879)是英國物理學家，誕生于蘇格蘭的古都愛丁堡。他少年時就受到很好的教育，有良好的思維習慣。15歲時寫了一篇題為“論二次曲線的幾何作圖”的論文，發(fā)表在《愛丁堡皇家學會學報》上。16歲時考進了愛丁堡大學，專攻數(shù)學和物理。19歲時又進入劍橋大學。1854年，他在劍橋大學數(shù)學競賽中名列第二。1856年任蘇格蘭Marishal學院的自然哲學講座教授。 1860年至1868年任倫敦皇家學院和劍橋大學物理學教授。1870年創(chuàng)設(shè)并主持卡文迪什物理實驗室，并擔任劍橋大學首任實驗物理學教授。他是英國皇家學會會員。他的主要貢獻是建立了電磁場理論和氣體分子速度分布律。
(一)《論法拉第力線》——電緊張態(tài)的數(shù)學描述感生電場的提出
在大學期間，麥克斯韋就閱讀了法拉第的《電學實驗研究》，深深地被法拉第的電磁思想所吸引，他認識到“力線”概念的重要性，也看到法拉第定性表述方面的弱點，決心以數(shù)學手段彌補法拉第的不足，把法拉第的天才觀念用清晰準確的數(shù)學形式表示出來。
1856年2月，麥克斯韋的第一篇電磁學論文《論法拉第力線》(On Farday'sLinesofForce)在劍橋哲學學報上發(fā)表了。這篇文章不僅用數(shù)學形式解釋了法拉第的力線圖象，而且包藏著他后來一切新思想乃至麥克斯韋方程的胚胎。因此，法拉第從一開始就對它加以贊揚。在他給麥克斯韋的信中有這樣一段話：“我親愛的先生，接到你的論文，深表謝意。并不是說，我感謝你是因為你談?wù)摿肆€，而是因為我知道你已經(jīng)在哲學真理的意義上處理了它。你的工作使我感到愉快，并鼓勵我去作進一步的思考。但當我知道你要構(gòu)造一種數(shù)學形式來針對這樣的主題時，起初我?guī)缀跏菄槈牧?。然后我才驚訝地看到這個主題居然處理得如此之好！”[1]法拉第認為這位年青人是真正理解他的物理思想的人，并鼓勵他要繼續(xù)探索，有所突破。
論文一開始，麥克斯韋就環(huán)顧了電磁學研究的現(xiàn)狀，指出已經(jīng)建立了很多實驗定律和數(shù)學理論，但未能揭示各種電磁現(xiàn)象之間的聯(lián)系。他寫道：“電科學的現(xiàn)狀看來特別不便于思索。”他認為“有效的科學研究的第一步必須把已有的研究成果簡化和歸納成一種思維易于領(lǐng)會的形式”，“尋找一些在思維發(fā)展的每一步保持清晰物理概念的研究方法”。[2]他認為“物理類比”就是這一研究方法。
麥克斯韋指出：“物理類比(physical analogy)的意思是利用
THE
SCIENTIFIC PAPERS
OF
JAMES CLERK MAXWELL
M.A,LL.D. EDIN, D.C.L, F.R.SS. LONDON AND EDINBCRGB,
HONORARY FELLW OF TRINITY COLLEGE,
CAVENDISH PROFESSOR OF EXPERMENTAL PHYSICS IN THE UNIVERSITY
OF CAMBRIDCE
EDITED BY
W.D. NIVEN, M.A,, F.R.S.,
DIRECTOR OF STUDIES AT THE ROYAL NAVAL COLLEGE, GREENWICH;
FORMERLY FELLOW OF TRINITY COLLEGE.
VOL.I.
PARIS
LIBBAIBIE SCIENTIFOQCE J. HEBMANN
圖8—1
一種科學定律和另一種科學定律之間的部分類似性，用它們中的一個去說明另一個。”“類比是建立在兩類定律在數(shù)學形式上相似的基礎(chǔ)上。”[2]類比可以構(gòu)通不同領(lǐng)域的研究方法，可以在解析的抽象形式和假設(shè)之間提供媒介，還可以啟發(fā)新的物理思想，幫助人們?nèi)フJ識和發(fā)現(xiàn)一些尚待研究的物理過程和規(guī)律。
在這方面，W·湯姆孫的研究給麥克斯韋以很大的啟示。1842年，當湯姆孫還是劍橋大學的學生時，就把包含帶電導體的區(qū)域內(nèi)的靜電力分布與無限固體中的熱流相比較，指出前一種情形下的等勢面與后一種情形下的等溫面相對應(yīng)，前者的電荷與后者的熱源相對應(yīng)；與距離成平方反比的吸引力方程與均勻媒質(zhì)中的均勻熱流方程相對應(yīng)。[3]由于熱傳導是通過連續(xù)媒質(zhì)中相鄰粒子之間的相互作用進行的，這就啟發(fā)人們思索是否可以把電作用看作是經(jīng)某種連續(xù)媒質(zhì)傳遞的呢？
1846年，湯姆孫獲得了劍橋大學學位后，研究了電現(xiàn)象和彈性現(xiàn)象的類似性。他考察了處于應(yīng)力狀態(tài)的不可壓縮彈性固體的平衡方程，指出表示彈性位移的矢量分布可與靜電系統(tǒng)的電力分布相比擬。而且，彈性位移還可以同樣好地與一個通過B由Curlα=B定義的矢量α相一致。這里α是與紐曼，韋伯等人在電流感應(yīng)論文中引用的矢勢(vector potential)等價。但湯姆孫是在不知道這一等同性時，經(jīng)過不同途徑，獨立得到的。[3]
麥克斯韋的《論法拉第力線》采用一種幾何學的觀點，為法拉第的力線概念作出了數(shù)學描述。他在描述這些力線的構(gòu)成時說：“如果我們從任意一點開始畫一條線，并且當我們沿這條線走時，線上任意一點的方向，總是和該點合力的方向重合，那么這條曲線就表示它所通過的各點的合力的方向，在這個意義上才稱為力線。用同樣的方式我們可以畫出其它的力線，直到曲線充滿整個空間以表示任一指定點力的方向。”[2]
這篇論文可分為兩部分。第一部分闡述了力線和不可壓縮流體之間的類比。為了對法拉第的觀念作出精密的數(shù)學處理，把這一個物理圖象表示為清晰的幾何圖象，麥克斯韋采用了類比的思考方法。他把力線和不可壓縮流體的流線加以比較，因為流體的速度方向與流線的切線方向相同且反比于流管的截面積，所以力的強度也反比于力管的截面積，這就獲得了一種既表示力的強度又表示力的方向的幾何模型。
麥克斯韋著重分析了不可壓縮流體通過有阻力介質(zhì)的運動。這個阻力取決于介質(zhì)的性質(zhì)，與運動方向相反，與速度大小成正比。如果用v表示速度大小，K表示阻力系數(shù)，則作用在單位流體體積上的阻力為Kv。因此，為了保持這一速度，在流體的后一部分必須比它的前一部分保持較大的壓強，這一壓強差可以抵消阻力的效應(yīng)。顯然，壓強相等的面必定垂直于流線。
考慮一個單位立方體，讓流體在垂直于它的兩個面的方向上流動。在這個運動方向上單位長度上的壓強差為Kv，如果長度為h，則壓強差為Kvh。在單位流管上取兩個壓強差為1的等壓面，如果這兩個等壓面間沿流線的長度為h，則Kvh=1。據(jù)單位流管的定義vS=1，由此我們得出S=Kh。他把截面積為S長為h的單位流管稱為單位元(unit cell)。在每個單位元中，在單位時間內(nèi)通過單位流體體積時壓強從p降到p-1，因此克服阻力所消耗的功在每個單位時間，每個單位元中是一個單位。
麥克斯韋把流線的開始處稱為源(Source)，流線的終止處稱為穴(Sink)。他討論了一塊中間嵌有一個單位流體元的各向同性的無限大的均勻介質(zhì)，以此流體源為球心，在單位時間內(nèi)從任意一個球面流出一個單
麥克斯韋把流體源產(chǎn)生的流線與點電荷產(chǎn)生的力線加以類比。因為點電荷之間的作用力與距離的平方成反比，所以點電荷產(chǎn)生的電場強度與流體源在流體中產(chǎn)生的速度相對應(yīng)，從而得出：流體中的壓強與靜電電勢相對應(yīng)；流體中的壓力梯度與電勢梯度相對應(yīng)。
麥克斯韋把流體運動的理論應(yīng)用到電流的情形。設(shè)在導體環(huán)路中有一個均勻流動的電流，由于導體中電阻的存在，為了克服阻力，導體環(huán)路中必須有電動力存在。流體中的壓強相應(yīng)于導體環(huán)路中電的張力(electrical tension)，物理上等同于靜電電勢。流體中某方向的壓力減少率，相應(yīng)于沿該方向該點的電動力。他明確指出為了在一閉合回路中產(chǎn)生穩(wěn)恒電流，除了靜電力外還必須有其它作用力存在，他把這個力稱為環(huán)路的電動力(即現(xiàn)代所說的電動勢)。
當不可壓縮流體由一種介質(zhì)進入另一種不同阻力的介質(zhì)時，流動是連續(xù)的，從一種介質(zhì)中流出的流量等于在另一種介質(zhì)中流入的流量。但是通過介質(zhì)的界面后，兩旁存在的壓強是不同的，而在兩種介質(zhì)的邊界面上法向速度是相同的，因此壓強的減少率正比于阻力。如果在介質(zhì)的邊界面上在一個單位流管進入介質(zhì)處用一個單位源代替，在一個單位流管流出處用一個單位穴代替，則介質(zhì)中流體的運動將和以前一樣。他用這種在邊界面上引入源和穴的形式，獲得了在兩種介質(zhì)中壓強的分布。
接著，他把流體通過邊界面的理論應(yīng)用到電介質(zhì)中，對于不同的介質(zhì)，阻力是不同的，如果這個阻力較小，就使我們獲得一種類似于更容易傳導力線的性質(zhì)。顯然，在這種情形下介質(zhì)的表面上總是有一個明顯的電的分布。在力線進入的地方有負電荷分布，在力線出來的地方有正電荷分布。在流體的情形下，在界面上沒有真實的源，我們使用它們只是為了計算的目的。在介質(zhì)內(nèi)可能沒有電荷存在，但是由于表面極化電荷的存在，有明顯的電作用存在。
麥克斯韋在描述流線與力線時，涉及到“量”(quantity)和“強度”(intensity)的術(shù)語。他在把流體運動和電流加以類比時，著重指出區(qū)別這兩個術(shù)語是很有必要的。對于流體的情形，前者表示“流量”(fluxes)，后者表示克服阻力的“力”(forces)。對于電流的情形，電流的量指的是在單位時間內(nèi)通過一個截面的電量。電流的強度指的是電動力，即克服阻力的能力(Power)。對于磁的情形，在一個磁體內(nèi)任何截面上的磁化量用穿過該面的磁力線條數(shù)來表示，磁化強度取決于穿過該面的力線數(shù)和阻力。在把力學量與電學量類比的基礎(chǔ)上，麥克斯韋對矢量場的量和強度進一步從數(shù)學上予以區(qū)分，場中的“量”，即力線的通量，可以通過面積分求出，場中的“強度”可以通過線積分求出。
論文的第二部分主要是討論了電磁感應(yīng)現(xiàn)象。在第一部分的基礎(chǔ)上，他對法拉第的力線觀念作出了精密的數(shù)學處理，確立了各電磁量之間的相互聯(lián)系，建立了對于電緊張態(tài)的數(shù)學描述，提出了感生電場的概念。
首先，麥克斯韋全面地闡述了法拉第的電磁感應(yīng)定律。他寫道：“當導體在電流或磁鐵附近運動時，或者當電流或磁鐵在導體附近運動時，或者在電流強度變化或磁場強度改變時，在導體中就產(chǎn)生了一個電動力(electromotive forces，即現(xiàn)在所說的電動勢)。”麥克斯韋注釋：“必須把電動力與電磁力(electromagneticforces)加以區(qū)別，電磁力趨向于產(chǎn)生導體的運動，電動力趨向于產(chǎn)生電流。如果導體環(huán)路是閉合的，就有連續(xù)的電流產(chǎn)生；如果導體環(huán)路是開放的，在它的端部就產(chǎn)生電的張力(tension，即現(xiàn)在所說的電壓)。如果在閉合導體橫切磁感應(yīng)線的運動中，通過環(huán)路的力線數(shù)不變，整個環(huán)路的電動力就為零。”“無論用什么方法，只要使得通過環(huán)路的力線數(shù)改變，環(huán)路中就有電動力產(chǎn)生，而感應(yīng)電流所產(chǎn)生的磁力線總是反抗磁力線的變化。”[2]
接著麥克斯韋探討了法拉第電緊張態(tài)的起源，闡述了法拉第把電磁感應(yīng)現(xiàn)象與狀態(tài)概念聯(lián)系起來的思索過程。他寫道：“導體環(huán)路內(nèi)的感應(yīng)電流只是由于它周圍的電的或磁的現(xiàn)象的改變而產(chǎn)生的，只要這些不變，在導體中就沒有任何效應(yīng)產(chǎn)生。當導體接近電流或磁鐵，以及遠離它的影響時是處在不同的狀態(tài)中。”他指出，法拉第關(guān)于取決于力線數(shù)改變的電動力是由于狀態(tài)的改變產(chǎn)生的，該狀態(tài)由力線數(shù)目來確定。在磁場中，一個閉合導體處在由磁作用引起的一定的狀態(tài)中，只要這種狀態(tài)不變，就沒有效應(yīng)發(fā)生，但是當這個狀態(tài)改變時，電動力就產(chǎn)生了，它的強度與方向取決于狀態(tài)的改變。這一狀態(tài)就是法拉第所說的“電緊張態(tài)”。但是這些概念和想法還沒有作為數(shù)學研究的課題。麥克斯韋強調(diào)：“電緊張態(tài)是電磁場的運動性質(zhì)，它具有確定的量，數(shù)學家應(yīng)當把它作為一個物理真理接受下來，從它出發(fā)得出可通過實驗檢驗的定律。”〔2〕
接著麥克斯韋討論了電流的量與強度的關(guān)系即電流密度與電動力的關(guān)系，在定義了電流密度概念后，他引進了某一點的電動力的概念。他寫道：“導體中任何一點的電流是由于作用在那個點的電動力產(chǎn)生的。這些電動力可能是外部的，也可能是內(nèi)部的。外部的電動力或者是由于電流和磁鐵的相對運動引起，或者是來自它們的強度的改變，或者是來自于其它的原因。內(nèi)部的電動力是由于導體中相鄰點之間的電張力之差引起的。
令P2表示任意點的電張力；X2、Y2、Z2表示該點電動力在坐標軸X、Y、Z上的分量；α2、β2、γ2表示該點有效電動力的分量。它們有如下的關(guān)系
如果用a2、b2、c2分別表示沿坐標軸X、Y、Z方向上的電流密度，K2表示均勻各向同性介質(zhì)的阻力，則有
α2=K2a2，β2=K[1]b2，γ2=K2c2 (8.1.2)
α2、β2、γ2可以認為是坐標軸X、Y、Z方向上的電作用強度。沿任一線元dσ測量出的強度由下式給出
E=lα+mβ+nγ (8.1.3)
式中l、m、n是這一線元的方向余弦。 
合曲線，它就表示在這條閉合曲線中電動力的總強度°將方程(8.1.1)中的α、β、γ值代入式(8.1.3)，等式兩端取積分可得
對于閉合曲線
由此得出在一條閉合曲線內(nèi)有效電動力的總強度等于從外部施加的電動力的總強度。 
這個積分在給定的面上是有效的。當這個面是一個閉合面的時候，我們可以通過各部分的積分求出
如果我們令
在這里方程右邊對e的面積分等于在這個面包圍的空間內(nèi)對4πρ的體積分。在包括均勻電流情形的一大類現(xiàn)象中，量ρ為零。
接著麥克斯韋討論了磁場強度和電流的量的關(guān)系。他在電張力狀態(tài)理論總結(jié)定律三中寫道：“繞著任一曲面邊界的總磁場強度
圖8—2
量度了通過該表面的電流量。”即現(xiàn)在所講的安培環(huán)路定律
麥克斯韋認為據(jù)此定律可以求出穿過一個環(huán)路的電流量。
把上述定律應(yīng)用于面積元dy dz，設(shè)面元中心的坐標為 x、y、z，該點的磁化力強度(inten-sity of magnetizing force即磁場強度)沿坐標軸X、Y、Z方向的分量為α1、β1、γ1，于是圍繞這四個邊測量的總的磁化力強度分別為
通過面元dydz傳導電流的量為a2dydz。因此如果我們用一個圍繞著閉合曲線的總磁化力強度來量度電流的量，我們就有
因此只要我們知道磁場強度(magnetic intensities) α、β、γ的值，我們就能求出電流的分布。我們看到通過對上述方程的微分可以得到
這就是閉合電路的連續(xù)方程。
接著麥克斯韋作了一系列論證。他證明了如果a1、b1、c1是磁感應(yīng)量的三個分量，ρ1是磁密度，滿足
可以找到三個函數(shù)α0、β0、γ0和第四個函數(shù)V使其滿足
如果a1、b1、c1表示磁感應(yīng)強度B的三個分量，α0、β0、γ0就是法拉第電緊張態(tài)函數(shù)α的三個分量，據(jù)矢量分析中旋度和梯度的定義可得
B=curla+gradV (8.1.8)
當不存在磁極時，此式右邊第二項可被變量的適當變換略去，可以得到
B=curla (8.1.9)
這是與麥克斯韋在這篇論文的電緊張態(tài)的理論總結(jié)中的敘述完全等效的。他在該總結(jié)的定律一中指出：“繞著一個面邊界的整個電緊張強度等于通過那個面的磁感應(yīng)量，或者換句話說，通過那個面的磁力線的數(shù)量。”用現(xiàn)代的形式表示就是
式中φ表示磁力線的數(shù)量。
麥克斯韋在定律五中寫道：“一個閉合電流總的電磁勢(即總能量)是由電流的量(即電流密度)與同方向繞該環(huán)路的電緊張強度的乘積所量度。”用現(xiàn)代的形式表示即為
麥克斯韋在定律六中寫道：“任何導體元上的電動力，無論是在大小還是在方向上由在那個元上電緊張強度的瞬時變化率來量度。這里所說的電動力就是變化磁場引起的感生電場。”用現(xiàn)代形式表示即為
對感生電場在一個閉合回路上進行積分就得到感生電動勢。所以麥克斯韋寫道：
“在一個閉合導體上的電動力(即電動勢)是由繞著這個環(huán)路的整個電緊張強度對時間的變化率來量度。雖然產(chǎn)生的電流是隨電阻而改變，但是電動力不依賴于導體的性質(zhì)；而且，無論用什么方式使得電緊張強度改變，或者是由于導體的運動，或者是由于外部環(huán)境的改變，產(chǎn)生的電動力都是相同的。”[2]
(二)《論物理力線》——磁力及磁場能量感生電場與變化磁場的關(guān)系位移電流概念的提出
1862年，麥克斯韋發(fā)表了《論物理力線》(OnPhysicallinesof force)這篇重要論文。他覺得要更好地體現(xiàn)法拉第的力線思想，僅僅從幾何學方面討論力線是不夠的，還應(yīng)該對已經(jīng)確立的電學量和磁學量之間的關(guān)系給以物理解釋，為此目的他設(shè)計了電磁作用的力學模型，試圖用力學觀點解釋這些現(xiàn)象。他寫道：“在這篇文章中，我的目的是研究介質(zhì)中的張力和運動的某些狀態(tài)的力學結(jié)果，并將它與觀察到的磁和電的現(xiàn)象加以比較，來澄清這方面的思考。”[4]
在論文的第一部分，應(yīng)用于磁現(xiàn)象的分子渦旋理論中，麥克斯韋通過他所提出的分子渦旋假設(shè)討論了磁場作用在磁極上，作用在磁感應(yīng)物質(zhì)上以及作用在電流上的力。
在這以前，“以太旋渦”的思想早已有了。1856年，湯姆孫從研究光的偏振面在磁場中的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)得出磁具有旋轉(zhuǎn)的特征。認為可以把磁致旋光效應(yīng)歸結(jié)為以太振動和分子旋轉(zhuǎn)運動之間的耦合，這給麥克斯韋以很大的啟發(fā)，使他認識到磁是一種旋轉(zhuǎn)的效應(yīng)。他寫道：“對于由電流引起的電離質(zhì)在一定方向上的傳送和由磁力引起的偏振光在—定方向上的轉(zhuǎn)動這一事實的思考，導致我把磁認為是一種旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。”[3]
麥克斯韋把磁旋轉(zhuǎn)這一概念與法拉第的力線思想相聯(lián)系。按照法拉第的力線思想，力管傾向于縱向收縮和橫向膨脹。他想，如果假設(shè)每個力管所包含的流體是處在繞它的管軸的轉(zhuǎn)動中，這樣一種傾向就可以歸因于離心力。于是他設(shè)想了一個“分子渦旋”(molecularvortex)模型，假設(shè)渦旋繞磁力線旋轉(zhuǎn)，即從S極到N極沿磁力線看去，渦旋在順時針方向旋轉(zhuǎn)，由于旋轉(zhuǎn)引起的離心力使每個渦旋在橫向擴張，從而縱向收縮，因而磁力線在縱向表現(xiàn)為張力，就象繩上的拉力一樣。橫向表現(xiàn)為壓力。
圖8—3
麥克斯韋假設(shè)在場中任何一部分的所有渦旋是圍繞幾乎平行的軸在相同的方向上以相同的角速度轉(zhuǎn)動。磁的影響是作為介質(zhì)中的壓力或張力形式而存在。這種壓強不同于通常流體的壓強，在介質(zhì)中每一點在不同方向上的壓強是不同的，在垂直于軸線方向上的壓強是相等的，且具有最大值；最小的壓強在平行于軸線的方向上。如果設(shè)軸上的壓強是p0，在渦旋圓周
的線速度。p1的方向垂直于軸線。在平行于軸線的方向上，平均壓強為
麥克斯韋認為實際應(yīng)力可以分解成作用在所有方向上的簡單的流體壓
X、Y、Z軸的方向余弦是l、m、n，則平行于三條軸的法向應(yīng)力pxx，pyy，pzz和在三個坐標面上的切向應(yīng)力pyz、pzx、pxy應(yīng)為
如果我們令α=vl，β=vm，γ=vn，則有
由于內(nèi)部應(yīng)力的改變，在體積元內(nèi)將引起一個合力，麥克斯韋根據(jù)應(yīng)力的平衡定律得出每單位體積在X軸方向的力為
代入以上數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得
接著麥克斯韋對上式中每一項進行物理解釋。他假設(shè)α、β、γ是磁場強度，即磁場對單位北磁極的作用力在坐標軸X、Y、Z方向的分量，它們與渦旋周圍的速度成正比。μ表示介質(zhì)中任何一點的磁導率，與渦旋的密度成正比。μα、μβ、μγ表示通過垂直于 X、 Y、 Z軸的單位面積上的磁感應(yīng)強度。
通過圍繞著一個磁極的閉合面的磁感應(yīng)總量完全取決于閉合面內(nèi)的磁物質(zhì)的量。所以如果dxdydz是一個體積元，m是磁極強度，即單位體積中北極磁物質(zhì)的量，則有
因此X值的第一項
可以寫為 αm (8.2.4)
這一項的物理解釋是，在X軸正方向推動磁北極的力是在X軸方向上的磁場強度和磁極強度的乘積。
然后麥克斯韋按照分子渦旋假設(shè)對磁場作用于磁極上的力進
圖8—4
行力學解釋，給出了定性的物理圖象。他假設(shè)有一組磁力線是從左向右的平行線。放置在磁場中的磁北極N向外發(fā)出力線，在N極的右邊與原磁場方向一致，使磁場得到加強；在N極的左邊與原磁場方向相反，使磁場受到削弱。因此這個場的渦旋的轉(zhuǎn)速在N極的右邊將加快，在N極的左邊將減慢。從而使N極右邊的張力將比左邊的張力大，所似磁北極將沿著場的方向被拉向右邊。在同樣的意義上，南極將被拉向左邊。
X值的第二項是
在這里α2+β2+γ2是場中任意一點的磁場強度的平方，μ是同一地方的磁導率。這一項的物理意義是在X軸方向上磁場作用在磁感應(yīng)物質(zhì)上的力。對于磁導率μ是正的物體將被推向強磁場的地方。
X值的第三項是
在這里μβ是通過垂直于Y軸的單位面積上的磁感應(yīng)量，即磁感應(yīng)強 通過垂直于X軸的單位面積上的電流強度。如果我們令通過垂直于X、Y、Z軸的電流密度分別為p、q、r，則有
第三項的物理解釋是Y軸方向的磁感應(yīng)強度μβ對Z軸方向的電流密度r的作用力沿X軸負方向。
圖8—5
麥克斯韋繼續(xù)用分子渦旋假設(shè)對磁場作用在電流上的力給以力學解釋。他假設(shè)一垂直于紙面的長直電流放在一垂直向上的均勻磁場中，由電流產(chǎn)生的磁力線使它右邊的磁場加強，而使左邊的磁場削弱。因此在導線右邊的渦旋轉(zhuǎn)速加快，給導線向左的壓力加大；在導線左邊，渦旋轉(zhuǎn)速減慢，給導線向右的壓力減小，其結(jié)果將把導線推向左邊。
X值的第四項是
這一項的物理解釋是Z軸方向的磁感應(yīng)強度μγ對Y軸方向的電流密度q的作用力沿X軸正方向。它與第三項一樣都是指的磁場對電流的作用力。
現(xiàn)在我們可以寫出磁場作用在單位體積介質(zhì)元上的合力的分量的表示式為
每個表示式中，第一項表示磁場作用在磁極上的力；第二項是作用在磁感應(yīng)物質(zhì)上的力；第三項和第四項是作用在電流上的力；第五項是簡單的壓力效應(yīng)。
對于電流不存在，即p、q、r為零的情形，據(jù)式(5)有
據(jù)式(3)有
如果在我們所考慮的空間無磁極物質(zhì)，即m=0，則
在μ是均勻的而且沒有電流的空間中，磁力線必定是來自于磁物質(zhì)。如果設(shè)想在與我們所考慮的空間點距離r處有一磁極m，則上式唯一的解是
單位北磁極在r處受到的排斥力是
這就是磁庫侖定律。
在論文的第二部分，應(yīng)用于電流的分子渦旋理論中，討論了電磁感應(yīng)現(xiàn)象。這就要求對電流與分子渦旋的物理聯(lián)系有所理解。而它又引起了另一個問題，由于相鄰渦旋的表面在空間任意一點運動方向相反，這兩個相鄰的渦旋如何在相同的方向上自由轉(zhuǎn)動呢？麥克斯韋想到在機械齒輪機構(gòu)中有一種惰輪(idlewheel)，它們與兩邊的齒輪相互嚙合，可以保證兩邊的齒輪在相同的方向上旋轉(zhuǎn)。這個惰輪的中心是可以運動的，其中心的運動是兩邊齒輪周邊運動之和的一半。麥克斯韋設(shè)想每個渦旋同它相鄰的渦旋被一層細微的粒子隔開，這些細微的粒子起著齒輪系列中可動惰輪的作用，這些粒子遠比渦旋的線度小，它們的質(zhì)量與渦旋相比微不足道。由于磁體的磁力線可長期保持而不消耗，因此粒子作無滑動的滾動。粒子與渦旋的作用沿切線方向。麥克斯韋通過計算得到這些粒子的運動與電流相對應(yīng)，穿過單位面積的粒子數(shù)等于流過單位面積的電量。因此，電流由這些穿插在相鄰渦旋之間的粒子的移動來表示。粒子的滾動帶動渦旋旋轉(zhuǎn)，好象齒條帶動齒輪。這就是電流產(chǎn)生磁力線的類比機制。
然后麥克斯韋計算了介質(zhì)中渦旋運動引起的能量。他假設(shè)單位體積中渦旋的實際能量正比于密度和速度的平方，即
式中C是待確定的常數(shù)。在磁場中沒有電流的情形下，據(jù)式(7)有
令j=j1+j2據(jù)式(8)有
j1表示磁極m1在空間任何點產(chǎn)生的勢，j2是磁極m2產(chǎn)生的勢。所有渦旋的實際能量是E式對整個空間進行積分
E=ΣCμ(α2+β2+r2)dV
通過分部積分可以證明
j1E=-4πCΣ(j1m1+j2m2+j1m2+j2m1)dV
又因Σj1m2dV=Σj2m1dV
則 E=-4πCΣ(j1m1+j2m2+2j1m2)dV (8.2.12)
現(xiàn)在令磁場m1處于靜止狀態(tài)，m2通過空間δx的距離，因為j1只取決于m1，它仍然與以前一樣，所以j1m1是常數(shù)。因為j2只取決于m2，在m2的周圍j2的分布仍然是相同的，所以j1m1仍然與以前一樣。由于m2的位移
際的能量變化為
根據(jù)能量守恒有δE+δW=0，即磁場對運動磁鐵所作的功等于渦旋能量的減少。所以，
所以單位體積中渦旋的能量為
向力所作的功，或者來自渦旋形狀的改變。
接著，麥克斯韋根據(jù)粒子層的切向力對渦旋作的功應(yīng)等于渦旋能量的改變，推導出了重要的磁場狀態(tài)的改變和感生電場的關(guān)系式。
令P、Q、R是在坐標軸X、Y、Z方向上作用在單個粒子上的力。因為每個粒子的端部接觸了兩個渦旋，所以單個粒子對渦旋的反作用力分
現(xiàn)在令dS為渦旋的面積元，它的法線的方向余弦為l、m、n，它的坐標是x、y，z。它在坐標軸X、Y、Z方向的分速度為u、v、w。于是粒子層作用在dS面上的力所作的功為
讓我們從第一項開始，P可以寫為
u=nβ-mγ
因為渦旋表面是一個閉合面，所以
ΣldS=ΣmdS=ΣndS=0
ΣnxdS=ΣmxdS=ΣnydS=ΣmzdS=0
且 ΣmydS=ΣnzdS=V
式中V為該閉合面所包圍的體積。由此得到
在單位時間內(nèi)對渦旋作的總功為
據(jù)式(14)，對體積為V的渦旋其能量為
因為粒子對渦旋作的功應(yīng)等于渦旋能量的改變，所以由此可得
這個方程對α、β和γ的任何值都是成立的。
首先令β=γ=0，并用α除等式兩端，然后分別令α=γ=0、α=β=0，并相應(yīng)除以β、γ，就得到一組公式
之間的關(guān)系。按照前面的假設(shè)，這就是磁場強度H的改變和感生電場E之間的關(guān)系。用現(xiàn)代的形式表示，即為
麥克斯韋將這一公式與他在第一篇論文中得到的磁場強度和電緊張態(tài)
上的力就是感應(yīng)電動力，也就是描述“電緊張狀態(tài)”變化率的物理量。
圖8—6
接著麥克斯韋按照他的分子渦旋假設(shè)對上述關(guān)系式進行力學解釋。如圖(8－6)所示，六角形空白代表渦旋，分開渦旋的小圓圈代表帶電粒子。當電流從左到右通過AB時，AB上面的一排渦旋gh按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如果KL排渦旋仍然處于靜止狀態(tài)，則這兩排渦旋之間的粒子將在順時針方向上轉(zhuǎn)動，粒子層pq由右到左運動，即產(chǎn)生與AB電流方向相反的感應(yīng)電流。當電流穩(wěn)定時，空間渦旋運動都已達到平衡，它們之間相互沒有影響。如果AB中電流突然停止，則gh排渦旋將受到阻礙，而KL排渦旋仍然在反時針方向上快速轉(zhuǎn)動，這就使pq層中的粒子從左向右運動，即產(chǎn)生與AB電流方向相同的感應(yīng)電流。因此感應(yīng)電流的現(xiàn)象是渦旋的轉(zhuǎn)速改變時發(fā)生的作用力的一種效應(yīng)。
麥克斯韋在論文的這部分還討論了電流或磁鐵運動時產(chǎn)生的感應(yīng)現(xiàn)象，以及導體運動時產(chǎn)生的感應(yīng)現(xiàn)象，并用分子渦旋假設(shè)對動生電動勢的產(chǎn)生作了力學解釋。
在論文的第三部分，應(yīng)用于靜電的分子渦旋理論中，麥克斯韋引進了“位移電流”的概念。為了計算渦旋運動從場中的一部分傳到另一部分，他假設(shè)渦旋物質(zhì)具有彈性。當分子渦旋之間的粒子層受到電力而位移時，運動粒子給渦旋切向力使之變形，而形變渦旋給該粒子以大小相等、方向相反的彈性力，當激發(fā)粒子的電力撤銷時，渦旋恢復原來的形狀，粒子也回復原來的位置。
麥克斯韋根據(jù)物理圖象的分析，對比了在電場作用下導體內(nèi)和電解質(zhì)內(nèi)所發(fā)生的過程。他把導體比作多孔的膜，允許電流通過。把介質(zhì)比作一個流體通不過的彈性膜，能把流體的壓力從一邊傳到另一邊。他指出：“雖然電流通不過介質(zhì)，但是電的效應(yīng)可以通過介質(zhì)傳播。”他肯定在變化電場的作用下，電解質(zhì)中也會有一種能夠產(chǎn)生磁效應(yīng)的特殊的“電流”。他寫道：
“只要有電動力作用在導體上，它就產(chǎn)生一個電流……。作用在電介質(zhì)上的電動力使它的組成部分產(chǎn)生一種極化狀態(tài)，猶如鐵的顆粒在磁體的影響下的極性分布一樣……在受到感應(yīng)的電介質(zhì)中，可以想象每個分子中的電是這樣移動的，使得一端為正，另一端為負，但是這些電仍然完全同分子聯(lián)系在一起，而不從一個分子跑到另一個分子上去。這種作用對于整個電介質(zhì)的影響是引起電在一定方向上的一個總位移。這一位移并不構(gòu)成電流，因為當它達到某一定值時就保持不變了。不過當電位移不斷變化時，隨著電位移的增大或減少，就會形成一種沿著正方向或負方向的電流。”[4]
麥克斯韋就是這樣表述了位移電流的概念。所以位移電流出現(xiàn)在任何電場強度有變化的電介質(zhì)中，傳導電流與位移電流一起，保證了電流的連續(xù)性；位移電流和傳導電流一樣地在它的周圍產(chǎn)生磁場。麥克斯韋按照他的分子渦旋模型，根據(jù)力的平衡條件，得出了電動力R與電位移h(指的是穿過垂直于運動方向上的單位面積的電量)成正比的結(jié)論，即Rah。
最后，麥克斯韋討論了在渦旋物質(zhì)中波的傳播速度。對于密度為ρ和
用于具有彈性結(jié)構(gòu)的渦旋物質(zhì)。渦旋介質(zhì)的密度ρ與介質(zhì)的磁導率μ有
位和靜電單位的比值。1856年韋伯和柯爾勞斯(R.Kohlrausch，1809—1858)得出這一值為 3.1074×103m/s，這正是μ=1的渦旋介質(zhì)中波的傳播速度。這個值與斐索(Fizeau)在1849年測定的光在空氣中的速度3.14858×103m/s符合得很好。這一驚人的結(jié)果進一步揭示了電磁現(xiàn)象和光現(xiàn)象之間的聯(lián)系。麥克斯韋在論文中著重指出：“我們不可避免地推論，光是介質(zhì)中起源于電磁現(xiàn)象的橫波。”[4]
(三)《電磁場的動力學理論》——場的概念的確立位移電流的定量表示電磁場方程組的建立
1865年，麥克斯韋發(fā)表了電磁場理論的第三篇重要論文《電磁場的動力學理論》(ADynamicalTheoryoftheElectromag-netic Field)。在這篇論文里，他不再采用以前論文中的力學模型，因為他認識到那里的分子渦旋運動只是一種力學運動，用它去解釋復雜的電磁現(xiàn)象是不夠的，從而放棄了這類假設(shè)。他寫道：“在前一工作(指他的‘論物理力線’)中，我曾試圖描述一種特殊的運動和一種特殊的應(yīng)力，用以說明電磁現(xiàn)象。在本文中，我避免任何這類假設(shè)，而使用與電流感應(yīng)和介質(zhì)極化這些熟知現(xiàn)象有關(guān)的電動量和電彈性這樣一些詞匯，我僅希望指點讀者想到一些力學現(xiàn)象，它們將幫助讀者理解電現(xiàn)象。本文所有這些用語都應(yīng)看作是說明性的，而不是解釋性的。”[5]
在這篇論文的第一部分引言中，麥克斯韋最早明確地提出了電磁場的概念。他在評價韋伯和紐曼的超距作用的電磁理論時寫道：“然而，在依賴于粒子速度的力超距作用在另一些粒子上的假設(shè)中包含著力學上的困難，阻止我認為這一理論是最終的理論。”“所以，我寧愿從另一方面去尋找對這一事實的解釋，假設(shè)它們是被周圍介質(zhì)以及在激發(fā)物體中所發(fā)生的作用而產(chǎn)生，而不需要假定在相當距離上直接作用的力存在就可以解釋遠距離物體之間的作用。”“所以，我提出的理論可以稱為電磁場理論，因為它與帶電體或磁體附近的空間有關(guān)；它也可以稱為動力學理論，因為它假定在該空間中有運動的物質(zhì)，從而產(chǎn)生了我們所觀察到的電磁現(xiàn)象。”[5]
麥克斯韋認為電磁場既可在物體內(nèi)存在，也可在真空中存在。他寫道：“電磁場是包括和環(huán)繞那些處于電或磁狀態(tài)的物體的那一部分空間，它可以被任何種物質(zhì)所充滿，也可以抽成沒有任何宏觀物質(zhì)的空間，就象在蓋斯勒管或其它稱為真空的情形下一樣。”他假定以太物質(zhì)是電磁場的物質(zhì)承擔者。他指出：“從光和熱的現(xiàn)象看來，我們有理由相信，有一種以太介質(zhì)充滿空間和滲入物體；它能運動并將該運動從一部分傳到另一部分；它能將該運動傳到宏觀物體，使其加熱，并以各種方式影響它。”[5]
在物理學發(fā)展史上，麥克斯韋第一個表述了能量局域性的概念。這就是說對于帶電物體或磁性物體，能量并非只存在于這些物體內(nèi)部，而且也存留在該物體周圍的空間中。他寫道：“一切能量，不論它以運動的形式存在，或以彈性的形式存在，還是以任何其它形式存在，都是和機械能一樣的。……剩下的問題僅僅是：它存留在什么地方？……按照舊的理論，它存在于帶電物體、導體環(huán)流以及磁鐵的內(nèi)部……按照我們的理論，它存在于電磁場中，存在于帶電體的周圍空間和這些物體內(nèi)部。它以兩種不同的形式表現(xiàn)出來，這兩種形式就是電極化和磁極化；或者按照一種可能的假設(shè)，把它們看成是同一介質(zhì)的運動和應(yīng)力。”[5]麥克斯韋對電磁場的能量還作了定量計算，推導出了電磁場能量密度公式和總能量方程。
在論文的第三部分麥克斯韋建立了電磁場的普遍方程，它與我們今天所熟悉的麥克斯韋方程組已經(jīng)非常接近，一共有八組方程，他把前六組矢量方程寫成直角坐標分量式，所以這是一組包括20個變量的由20個方程構(gòu)成的方程組。在這篇文章中，麥克斯韋直接根據(jù)電磁學的實驗事實和普遍原理給出這些方程。下面我們用今天使用的術(shù)語和符號，把這些方程表示如下。
A.全電流方程
的變化率，即位移電流密度。這個方程是麥克斯韋電磁理論的核心，它把麥克斯韋關(guān)于位移電流的思想定量化了。
B.磁力方程
μH=Curlα
式中H為磁場強度，μ為磁導率，μH即磁感應(yīng)強度B。α為電磁動
緊張態(tài)相同的量”。上式表明了在磁場中沿任意閉合回路的電磁動量的總和等于穿過回路的磁力線數(shù)。對此式兩邊取散度，即得現(xiàn)代形式的方程 divB=0。
C.電流方程
CurlH=4πj’
根據(jù)實驗可知，當磁極在磁場中移動的閉合回路未繞過電流時不產(chǎn)生功，而磁極沿繞過電流的回路移動時所產(chǎn)生的功與繞過的電流有關(guān)，由此
1873年，麥克斯韋在他的《電學和磁學通論》(TreatiseonElectricity and Magnetism)這部經(jīng)典著作中，敘述了引入位移電流概念這一思想過程。他在該書的第607條中作出這一評述：“只有很少的實驗證明介質(zhì)中位移電流的改變與電流的電磁作用相聯(lián)系。但是協(xié)調(diào)電磁定律與不閉合電流存在的極大困難使我們必須接受瞬變電流的存在是由于位移變化產(chǎn)生的。這是許多理由中的一個理由。”[6]
對安培環(huán)路定律的微分形式有
這就要求divj=0
也就是說該定律只能在閉合回路中成立。在閉合環(huán)路中的任何點上沒有電荷的累積。在開路的情形下，例如在電容器充電時，我們有
ρ是單位體積中所包含的電荷量。這時在電容器的極板上有電荷累積，j的散度不為零，這就表明在不穩(wěn)定電流的情形下，安培環(huán)路定律不成立。為了克服這一困難，麥克斯韋引進了全電流思想。
D.電動力方程
式中E為電動力，即電場強度。第一項表示導體本身運動產(chǎn)生的電動力。麥克斯韋指出這個電動力與運動方向和力線垂直。如果以速度ν和磁感應(yīng)強度μH為平行四邊形的兩個鄰邊，則這個力的大小等于平行四邊形的面積，力的方向垂直平行四邊形的平面。第二項表示在場中由于磁體或電流強度的改變，或位置的變化而引起的電動力。第三項表示電勢j引起
E.電彈性方程
E=KD
電動力作用于電介質(zhì)，使它的每一部分極化，它的相對的面上出現(xiàn)相反的電荷，這個電量取決于電動力和電介質(zhì)的性質(zhì)。對各向同性的電介質(zhì)電動力E與電位移D方向相同，其大小成正比，比例系數(shù)為K。寫成現(xiàn)代形式的方程為D=εE。
F.電阻方程
E=-ρj
電動力作用在導體上產(chǎn)生通過導體的電流。式中ρ為單位體積導體中的電阻，寫成現(xiàn)代形式為j=σE，σ為電導率。
G.自由電荷方程
e+divD=0
式中e是單位體積內(nèi)的正的自由電荷量。寫成現(xiàn)代形式的方程 divD=4πρ。
麥克斯韋在《電學和磁學通論》一書的第60條中對上式說明如下：“如果電荷e均勻地分布在一個球面上，在介質(zhì)中與球心距離r處的任何點的
半徑為r的同心球面，通過這個面的總電位移將正比于e，而與r無關(guān)。如果 U1和U2分別是內(nèi)球面和外球面的電勢，則增加電位移dE所作的功將為(U1-U2)dE。如果取外球面在無限遠，則U1成為帶電球的勢，而U2就變?yōu)榱?，于是這個功就為UdE。但是這個功也是Ude，在這里de是球的電荷的增加。如果我們承認電能存在于介質(zhì)中，則dE=de，即穿過任何同心球面的電位移等于球上的電荷。由此得出結(jié)論：位移電流給任何其它有限長的電流提供了一個連續(xù)的，等同于閉合環(huán)路中的電流。”[6]
H.連續(xù)性方程
這就是電荷守恒定律。
以上八個方程就是麥克斯韋最早提出的電磁場方程組。這是一套完備的電磁場方程組，只要知道問題的條件，方程中的變量是完全可以確定的。這個方程組概括了各個電磁學的實驗規(guī)律，是能夠完整和充分地反映電磁場客觀運動規(guī)律的理論。
方程組最簡單的完美對稱形式是1890年由赫茲寫出的，它包括四個方程，其現(xiàn)代形式為
divD=4πρ0
divB=0
其中第一個方程即電學的高斯定理，D為電位移矢量，ρ0是自由電荷體密度。第二個方程即磁學的高斯定理，說明磁場是渦旋場。第三個方程即麥克斯韋推廣了的安培環(huán)路定理。H為磁場強度，j0是傳導電流密度，
個方程即電場的環(huán)路定理，說明變化的磁場產(chǎn)生感應(yīng)電場。
麥克斯韋的電磁場理論從超距作用過渡到以場作為基本變量，實現(xiàn)了科學認識的一個革命性變革。在《物理學的進化》一書中，愛因斯坦和英費爾德評論說：“這些方程的提出是牛頓時代以來物理學上一個最重要的事件，這不僅是因為它的內(nèi)容豐富，并且還因為它構(gòu)成了一種新型定律的典范。”
