第7講 奇偶性（一）
整數(shù)按照能不能被2整除，可以分為兩類：
?。?）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如
0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，…
?。?）不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個(gè)整數(shù)大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因?yàn)榕紨?shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的形式，其中n為整數(shù)；因?yàn)槠鏀?shù)不能被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+1的形式，其中n為整數(shù)。
每一個(gè)整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個(gè)屬性叫做這個(gè)數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：
?。?）兩個(gè)奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個(gè)奇偶性不同的數(shù)的和（或差）一定是奇數(shù)。反過來，兩個(gè)數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個(gè)數(shù)奇偶性相同；兩個(gè)數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，這兩個(gè)數(shù)肯定是一奇一偶。
?。?）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個(gè)偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。
?。?）兩個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。
?。?）若干個(gè)數(shù)相乘，如果其中有一個(gè)因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過來，如果若干個(gè)數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；如果若干個(gè)數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。
?。?）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。
?。?）偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。
因?yàn)椋?n）2=4n2=4×n2，所以（2n）2能被4整除；
因?yàn)椋?n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。
?。?）相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。
?。?）如果一個(gè)整數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)（包括1和這個(gè)數(shù)本身），那么這個(gè)數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個(gè)整數(shù)有偶數(shù)個(gè)約數(shù)，那么這個(gè)數(shù)一定不是平方數(shù)。
整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶性有關(guān)的問題。有些問題表面看來似乎與奇偶性一點(diǎn)關(guān)系也沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想辦法編上號(hào)碼，成為整數(shù)問題，便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。
例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？
1+2+3+4+…+1997+1998。
分析與解：本題當(dāng)然可以先求出算式的和，再來判斷這個(gè)和的奇偶性。但如果能不計(jì)算，直接分析判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡潔。根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)（2），和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，與加數(shù)中的偶數(shù)無關(guān)。1～1998中共有999個(gè)奇數(shù)，999是奇數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)。所以，本題要求的和是奇數(shù)。
例2 能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？
1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。
分析與解：等號(hào)左端共有9個(gè)數(shù)參加加、減運(yùn)算，其中有5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)。5個(gè)奇數(shù)的和或差仍是奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因?yàn)?#8220;奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”，所以題目的要求做不到。
例3 任意給出一個(gè)五位數(shù)，將組成這個(gè)五位數(shù)的5個(gè)數(shù)碼的順序任意改變，得到一個(gè)新的五位數(shù)。那么，這兩個(gè)五位數(shù)的和能不能等于99999？
分析與解：假設(shè)這兩個(gè)五位數(shù)的和等于99999，則有下式：
其中組成兩個(gè)加數(shù)的5個(gè)數(shù)碼完全相同。因?yàn)閮蓚€(gè)個(gè)位數(shù)相加，和不會(huì)大于 9+9=18，豎式中和的個(gè)位數(shù)是9，所以個(gè)位相加沒有向上進(jìn)位，即兩個(gè)個(gè)位數(shù)之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬位數(shù)字的和也都等于9。所以組成兩個(gè)加數(shù)的10個(gè)數(shù)碼之和等于 9+9+9+9+9=45，是奇數(shù)。
另一方面，因?yàn)榻M成兩個(gè)加數(shù)的5個(gè)數(shù)碼完全相同，所以組成兩個(gè)加數(shù)的10個(gè)數(shù)碼之和，等于組成第一個(gè)加數(shù)的5個(gè)數(shù)碼之和的2倍，是偶數(shù)。
奇數(shù)≠偶數(shù)，矛盾的產(chǎn)生在于假設(shè)這兩個(gè)五位數(shù)的和等于99999，所以假設(shè)不成立，即這兩個(gè)數(shù)的和不能等于99999。
例4 在一次校友聚會(huì)上，久別重逢的老同學(xué)互相頻頻握手。請問：握過奇數(shù)次手的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？請說明理由。
分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對于甲是握手1次，對于乙也是握手1次，兩人握手次數(shù)的和是2。所以一群人握手，不論人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，握手的總次數(shù)一定是偶數(shù)。
把聚會(huì)的人分成兩類：A類是握手次數(shù)是偶數(shù)的人，B類是握手次數(shù)是奇數(shù)的人。
A類中每人握手的次數(shù)都是偶數(shù)，所以A類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。又因?yàn)樗腥宋帐值目偞螖?shù)也是偶數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)，所以B類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。
握奇數(shù)次手的那部分人即B類人的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？如果是奇數(shù)，那么因?yàn)?#8220;奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)”，所以得到B類人握手的總次數(shù)是奇數(shù)，與前面得到的結(jié)論矛盾，所以B類人即握過奇數(shù)次手的人數(shù)是偶數(shù)。
例5 五（2）班部分學(xué)生參加鎮(zhèn)里舉辦的數(shù)學(xué)競賽，每張試卷有50道試題。評分標(biāo)準(zhǔn)是：答對一道給3分，不答的題，每道給1分，答錯(cuò)一道扣1分。試問：這部分學(xué)生得分的總和能不能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？
分析與解：本題要求出這部分學(xué)生的總成績是不可能的，所以應(yīng)從每個(gè)人得分的情況入手分析。因?yàn)槊康李}無論答對、不答或答錯(cuò)，得分或扣分都是奇數(shù)，共有50道題，50個(gè)奇數(shù)相加減，結(jié)果是偶數(shù)，所以每個(gè)人的得分都是偶數(shù)。因?yàn)槿我鈧€(gè)偶數(shù)之和是偶數(shù)，所以這部分學(xué)生的總分必是偶數(shù)。
1.能否從四個(gè)3、三個(gè)5、兩個(gè)7中選出5個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)的和等于22？
2.任意交換一個(gè)三位數(shù)的數(shù)字，得一個(gè)新的三位數(shù)，一位同學(xué)將原三位數(shù)與新的三位數(shù)相加，和是999。這位同學(xué)的計(jì)算有沒有錯(cuò)？
3.甲、乙兩人做游戲。任意指定七個(gè)整數(shù)（允許有相同數(shù)），甲將這七個(gè)整數(shù)以任意的順序填在下圖第一行的方格內(nèi)，乙將這七個(gè)整數(shù)以任意的順序填在圖中的第二行方格里，然后計(jì)算出所有同一列的兩個(gè)數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)），再將這七個(gè)差相乘。游戲規(guī)則是：若積是偶數(shù)，則甲勝；若積是奇數(shù)，則乙勝。請說明誰將獲勝。
4.某班學(xué)生畢業(yè)后相約彼此通信，每兩人間的通信量相等，即甲給乙寫幾封信，乙也要給甲寫幾封信。問：寫了奇數(shù)封信的畢業(yè)生人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？
5.A市舉辦五年級小學(xué)生“春暉杯”數(shù)學(xué)競賽，競賽題30道，記分方法是：底分15分，每答對一道加5分，不答的題，每道加1分，答錯(cuò)一道扣1分。如果有333名學(xué)生參賽，那么他們的總得分是奇數(shù)還是偶數(shù)？
6.把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍(lán)色。是否有可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？試講出理由。
7.紅星影院有1999個(gè)座位，上、下午各放映一場電影。有兩所學(xué)校各有1999名學(xué)生包場看這兩場電影，那么一定有這樣的座位，上、下午在這個(gè)座位上坐的是兩所不同學(xué)校的學(xué)生，為什么？
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