話題：全等三角形證明題
全等三角形證明經(jīng)典50題(含答案)
1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求AD
B
D
解：延長(zhǎng)AD到E,使AD=DE
∵D是BC中點(diǎn)
∴BD=DC
在△ACD和△BDE中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE中
AB-BE＜AE＜AB+BE
∵AB=4
即4-2＜2AD＜4+2
1＜AD＜3
∴AD=2
2. 已知：D是AB中點(diǎn)，∠ACB=90°，求證：CD?
1AB 2
延長(zhǎng)CD與P，使D為CP中點(diǎn)。連接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB
∴ACBP為平行四邊形
又∠ACB=90
∴平行四邊形ACBP為矩形
∴AB=CP=1/2AB
3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，求證：∠1=∠2
證明：連接BF和EF
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(邊角邊)
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF
連接BE
在三角形BEF中,BF=EF
∴ ∠EBF=∠BEF。
∵ ∠ABC=∠AED。
∴ ∠ABE=∠AEB。
∴ AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求證：EF=AC
過(guò)C作CG∥EF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G
CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD
DE＝DC
∠FDE＝∠GDC（對(duì)頂角）
∴△EFD≌△CGD
EF＝CG
∠CGD＝∠EFD
又，EF∥AB
∴，∠EFD＝∠1
∠1=∠2
∴∠CGD＝∠2
∴△AGC為等腰三角形，
AC＝CG
又 EF＝CG
∴EF＝AC
5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求證：∠B=2∠C
A
證明：延長(zhǎng)AB取點(diǎn)E，使AE＝AC，連接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD＝∠CAD
∵AE＝AC，AD＝AD
∴△AED≌△ACD （SAS）
∴∠E＝∠C
∵AC＝AB+BD
∴AE＝AB+BD
∵AE＝AB+BE
∴BD＝BE
∴∠BDE＝∠E
∵∠ABC＝∠E+∠BDE
∴∠ABC＝2∠E
∴∠ABC＝2∠C
6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：
AE=AD+BE
證明：
在AE上取F，使EF＝EB，連接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB＝∠CEF＝90°
∵EB＝EF，CE＝CE，
∴△CEB≌△CEF
∴∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°
∴∠D＝∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC＝∠FAC
∵AC＝AC
∴△ADC≌△AFC（SAS）
∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE
7. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求AD
B
D 解：延長(zhǎng)AD到E,使AD=DE
∵D是BC中點(diǎn)
∴BD=DC
在△ACD和△BDE中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE中
AB-BE＜AE＜AB+BE
∵AB=4
即4-2＜2AD＜4+2
1＜AD＜3
∴AD=2
8. 已知：D是AB中點(diǎn)，∠ACB=90°，求證：CD?
1
AB
9. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，求證：∠1=∠2
證明：連接BF和EF。
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。
∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(邊角邊)。
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF。
連接BE。
在三角形BEF中,BF=EF。
∴ ∠EBF=∠BEF。
又∵ ∠ABC=∠AED。
∴ ∠ABE=∠AEB。
∴ AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中，
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。
∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
10. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求證：EF=AC
過(guò)C作CG∥EF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G
CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD
DE＝DC
∠FDE＝∠GDC（對(duì)頂角）
∴△EFD≌△CGD
EF＝CG
∠CGD＝∠EFD
又EF∥AB
∴∠EFD＝∠1
∠1=∠2
∴∠CGD＝∠2
∴△AGC為等腰三角形，
AC＝CG
又 EF＝CG
∴EF＝AC
11. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求證：∠B=2∠C
B
證明：延長(zhǎng)AB取點(diǎn)E，使AE＝AC，連接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD＝∠CAD
∵AE＝AC，AD＝AD
∴△AED≌△ACD （SAS）
∴∠E＝∠C
∵AC＝AB+BD
∴AE＝AB+BD
∵AE＝AB+BE
∴BD＝BE
∴∠BDE＝∠E
∵∠ABC＝∠E+∠BDE
∴∠ABC＝2∠E
∴∠ABC＝2∠C
12. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE
在AE上取F，使EF＝EB，連接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB＝∠CEF＝90°
∵EB＝EF，CE＝CE，
∴△CEB≌△CEF
∴∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°
∴∠D＝∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC＝∠FAC
又∵AC＝AC
∴△ADC≌△AFC（SAS）
∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE
12. 如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，且點(diǎn)E在AD上。求證：BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB，連接EF
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）
∴∠A=∠
BFE
∵AB//CD
∴∠A+∠D=180o
∵∠BFE+∠CFE=180o
∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE
CE平分∠BCD
CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求證：∠F=∠C
AB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度，
∵∠EAB=∠BDE，
∴∠AED=∠ABD，
∴四邊形ABDE是平行四邊形。
∴得：AE=BD，
∵AF=CD,EF=BC，
∴三角形AEF全等于三角形DBC，
∴∠F=∠C。
14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求證：∠B=∠C
證明：設(shè)線段AB,CD所在的直線交于E，（當(dāng)AD<BC時(shí)，E點(diǎn)是射線BA,CD的交點(diǎn)，當(dāng)AD>BC時(shí)，E點(diǎn)是射線AB,DC的交點(diǎn)）。則：
△AED是等腰三角形。
∴AE=DE
而AB=CD
∴BE=CE (等量加等量，或等量減等量）
∴△BEC是等腰三角形
∴∠B=∠C.
15. P是∠BAC平分線AD上一點(diǎn)，AC>AB，求證：PC-PB<AC-AB
A D
在AC上取點(diǎn)E，
使AE＝AB。
∵AE＝AB
AP＝AP
∠EAP＝∠BAE，
∴△EAP≌△BAP
∴PE＝PB。
PC＜EC＋PE
∴PC＜（AC－AE）＋PB
∴PC－PB＜AC－AB。
16. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求證：AC-AB=2BE
證明：
在AC上取一點(diǎn)D，使得角DBC=角C
∵∠ABC=3∠C
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;
∴AB=AD
∴AC – AB =AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分線，
∴AE垂直BD
∵BE⊥AE
∴點(diǎn)E一定在直線BD上，
在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD
∴點(diǎn)E也是BD的中點(diǎn)
∴BD=2BE
∵BD=CD=AC-AB
∴AC-AB=2BE
17. 已知，E是AB中點(diǎn)，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC
∵作AG∥BD交DE延長(zhǎng)線于G
∴AGE全等BDE
∴AG=BD=5
∴AGF∽CDF
AF=AG=5
∴DC=CF=2
18．如圖，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求證：AD⊥BC． 解：延長(zhǎng)AD至BC于點(diǎn)E,
∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形
∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等腰三角形
∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
｛AB=AC
∠1=∠2
BD=DC
∴△ABD和△ACD是全等三角形（邊角邊）
∴∠BAD=∠CAD
∴AE是△ABC的中垂線
∴AE⊥BC
∴AD⊥BC
19．如圖，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B為垂足，AB交OM于點(diǎn)N．
求證：∠OAB=∠OBA
證明：
∵OM平分∠POQ
∴∠POM＝∠QOM
∵M(jìn)A⊥OP，MB⊥OQ
∴∠MAO＝∠MBO＝90
∵OM＝OM
∴△AOM≌△BOM （AAS）
∴OA＝OB
∵ON＝ON
∴△AON≌△BON （SAS）
∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB＝180
∴∠ONA＝∠ONB＝90
∴OM⊥AB
20．（5分）如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．
P E
D
做
BE的延長(zhǎng)線，與AP相交于F點(diǎn)，
∵PA//BC BA∴∠
PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均為∠PAB和∠CBA
的角平分線
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB為直角三角形
在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE為∠FAB的角平分線
∴三角形FAB為等腰三角形，AB=AF,BE=EF
在三角形DEF與三角形BEC中，
∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，
∴三角形DEF與三角形BEC為全等三角形，∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
21．如圖，△ABC中，AD是∠CAB的平分線，且AB=AC+CD，求證：∠C=2∠B
A
CDB
延長(zhǎng)AC到E
使AE=AC 連接 ED
∵ AB=AC+CD
∴ CD=CE
可得∠B=∠E
△CDE為等腰
∠ACB=2∠B
22．（6分）如圖①，E、F分別為線段AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于點(diǎn)M．
（1）求證：MB=MD，ME=MF
（2）當(dāng)E、F兩點(diǎn)移動(dòng)到如圖②的位置時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立請(qǐng)給予證明；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．
（1）連接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），
∴DE=BF．
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
∴MB=MD，ME=MF；
（2）連接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），
∴DE=BF．
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
∴MB=MD，ME=MF．
23．已知：如圖，DC∥AB，且DC=AE，E為AB的中點(diǎn)，
（1）求證：△AED≌△EBC．
（2）觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除△EBC外，請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出兩個(gè)與△AED的面積相等的三角形．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不要求證明）： A
D
C
證明：
∵DC∥AB
∴∠CDE＝∠AED
∵DE＝DE，DC＝AE
∴△AED≌△EDC
∵E為AB中點(diǎn)
∴AE＝BE
∴BE＝DC
∵DC∥AB
∴∠DCE＝∠BEC
∵CE＝CE
∴△EBC≌△EDC
∴△AED≌△EBC
24．（7分）如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長(zhǎng)線垂直于過(guò)C點(diǎn)的直線于E，直線CE交BA的延長(zhǎng)線于F．
求證：BD=2CE．
F
AEB E
證明：
BC∵∠CEB=∠CAB=90°
∴ABCE四點(diǎn)共元
∵∠AB E=∠CB E
∴AE=CE
∴∠ECA=∠EAC
取線段BD的中點(diǎn)G，連接AG，則：AG=BG=DG
∴∠GAB=∠ABG
而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圓周角相等）
∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
而：AC=AB
∴△AEC≌△AGB
∴EC=BG=DG
∴BE=2CE
25、如圖：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求證：△AED≌△BFC。 DEFC
AB
證明：∵DF=CE，
∴DF-EF=CE-EF，
即DE=CF，
在△AED和△BFC中，
∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF
∴△AED≌△BFC（SAS）
26、（10分）如圖：AE、BC交于點(diǎn)M，F(xiàn)點(diǎn)在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求證：AM是△ABC的中線。
A
F
B
EMC
證明：
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中線.
27、（10分）如圖：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中點(diǎn)。求證：BD⊥AC。
A
D
BC
∵△ABD和△BCD的三條邊都相等
∴△ABD=△BCD
∴∠ADB=∠CD
∴∠ADB=∠CDB=90°
∴BD⊥AC
28、（10分）AB=AC，DB=DC，F(xiàn)是AD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)。求證：BF=CF
A
D
BC
F
在△ABD與△ACD中
AB=AC
BD=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF與△FDC中
BD=DC
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC
29、（12分）如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：AF=DE。
A
FB
E
CD
∵AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
∴△ABE=△CDF
∵∠DCB=∠ABF
AB=DC BF=CE
△ABF=△CDE
∴AF=DE
30.公園里有一條“Z”字形道路ABCD，如圖所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F(xiàn)，M，且BE＝CF，M在BC的中點(diǎn)，試說(shuō)明三只石凳E，F(xiàn)，M恰好在一條直線上
.
證明：連接EF
∵AB∥CD
∴∠B=∠C
∵M(jìn)是BC中點(diǎn)
∴BM=CM
在△BEM和△CFM中
BE=CF
∠B=∠C
BM=CM
∴△BEM≌△CFM（SAS）
∴CF=BE
31．已知：點(diǎn)A、F、E、C在同一條直線上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求證：△ABE≌△CDF．
∵AF=CE,FE=EF.
∴AE=CF.
∵DF//BE,
∴∠AEB=∠CFD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵BE=DF
∴：△ABE≌△CDF（SAS）
32.已知：如圖所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分別是DC、BC的中點(diǎn)，求證： AE＝AF。
連接BD；
∵AB=AD BC=D
∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠ABD;兩角相加，∠ADC=∠ABC；
∵BC=DC E\F是中點(diǎn)
∴DE=BF；
∵AB=AD DE=BF
∠ADC=∠ABC
∴AE=AF。 33．如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點(diǎn)，∠1=∠2，∠3=∠4，求證: ∠5=∠6．
AC
證明：
在△ADC，△ABC中
∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA
∴△ADC≌△ABC（兩角加一邊）
∵AB=AD，BC=CD
在△DEC與△BEC中
∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD
∴△DEC≌△BEC（兩邊夾一角）
∴∠DEC=∠BEC
34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，
C在AF上，且AD＝CF，求證：△ABC≌△DEF．
∵AD=DF
∴AC=DF
∵AB//DE
∴∠A=∠EDF
又∵BC//EF
∴∠F=∠BCA
∴△ABC≌△DEF（ASA）
35．已知：如圖，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點(diǎn)F，求證：BE=CD．
E
證明： A ∵BD⊥AC
∴∠BDC=90°
∵CE⊥AB
∴∠BEC=90°
∴∠BDC=∠BEC=90°
∵AB=AC
∴∠DCB=∠EBC
∴BC=BC
∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS)
∴BE=CD
36、如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 求證：DE=DF．
證明：
∵AD是∠BAC的平分線
∴∠EAD=∠FAD
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BFD=∠CFD=90°
∴∠AED與∠AFD=90°
在△AED與△AFD中
∠EAD=∠FAD
AD=AD
∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD（AAS）
∴AE=AF
在△AEO與△AFO中
∠EAO=∠FAO
AO=AO
AE=AF
∴△AEO≌△AFO（SAS）
∴∠AOE=∠AOF=90°
∴AD⊥EF
37.已知：如圖, AC?BC于C , DE?AC于E , AD?AB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的長(zhǎng)？
∵AD⊥AB
∴∠BAC=∠ADE 又∵
AC⊥BC于C，DE⊥AC于E
根據(jù)三角形角度之和等于180度
∴∠ABC=∠DAE
∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA）
∴AD=AB=5
38．如圖：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分別為E、F，ME=MF。求證：MB=MC
A
C
證明：
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵M(jìn)E⊥AB，MF⊥AC
∴∠BEM=∠CFM=90°
在△BME和△CMF中
∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF
∴△BME≌△CMF（AAS）
∴MB=MC．
39.如圖，給出五個(gè)等量關(guān)系：①AD?BC ②AC?BD ③CE?DE ④?D??C ⑤?DAB??CBA．請(qǐng)你以其中兩個(gè)為條件，另三個(gè)中的一個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正確的結(jié)論（只需寫(xiě)出一種情況），并加以證明．
已知：①AD=BC，⑤∠DAB=∠CBA
求證：△DAB≌△CBA
證明：∵AD=BC，∠DAB=∠CBA
又∵AB=AB
∴△DAB≌△CBA
40．在△ABC中，?ACB?90?，AC?BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD?MN于D，
求證： ①?ADC≌?CEB；BE?MN于E.(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，
②DE?AD?BE；
(2)當(dāng)直線MN
繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖
2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，說(shuō)明理由.
（1）
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．
∴∠CAD=∠BCE．
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB．
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE+CD=AD+BE．
（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE．
∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
41．如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求證：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
E C
（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC=BF；
（2）如圖，根據(jù)（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（對(duì)頂角相等），
∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，
∴EC⊥BF．
42．如圖：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求證：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
證明：
（1）
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC，CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
（2）
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
43．如圖,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC∥EF
在△ABF和△CDE中
,AB=DE
∠A=∠D
AF=CD
∴△ABF≡△CDE（邊角邊）
∴FB=CE
在四邊形BCEF中
FB=CE
BC=EF
∴四邊形BCEF是平行四邊形
∴BC‖EF
44．如圖,已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，則AB與AC+BD相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由
在AB上取點(diǎn)N ,使得AN=AC
∵∠CAE=∠EAN
∴AE為公共,
∴△CAE≌△EAN
∴∠ANE=∠ACE
又∵AC平行BD
∴∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
∴∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
∵BE為公共邊
∴△EBN≌△EBD
∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD
45、（10分） 如圖,已知: AD是BC上的中線 ,且DF=DE．求證:BE∥CF．
證明：
∵AD是△ABC的中線
BD=CD
∵DF=DE（已知）
∠BDE=∠FDC
∴△BDE≌△FDC
則∠EBD=∠FCD
∴BE∥CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）。
46、(10分)已知：如圖，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，DE?BF． 求證：AB∥CD．
D
B C
證明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC
∴∠CED=∠AFB=90o
又∵AB=CD，BF=DE
∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL）
∴AF=CE
∠BAF=∠DCE
∴AB//CD
47、(10分)如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AB=CD AD
1
34
CB
∵,∠3=∠4
∴OB=OC
在△AOB和△DOC中
∠1=∠2
OB=OC
∠AOB=∠DOC
△AOB≌△DOC
∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB
在△ACB和△DBC中
AC=DB
,∠3=∠4
BC=CB
△ACB≌△DBC
∴AB=CD
48、 (10分)如圖，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，試猜想線段CE與DE的大小與位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
E
CE>DE。當(dāng)∠AEB越小，則DE越小。
證明：
過(guò)D作AE平行線與AC交于F，連接FB
由已知條件知AFDE為平行四邊形，ABEC為矩形 ，且△DFB為等腰三角形。 RT△BAE中，∠AEB為銳角，即∠AEB<90°
∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°
△DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°
RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45°
∠AFB=90°-∠FBA>45°
∴AB>AF
∵AB=CE AF=DE
∴CE>DE
49、 (10分)如圖，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求證：AE＝DE.
∵AB=DC,AC=DB，BC=BC
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ABC=∠DCB
又∵BE=CE，AB=DC
∴△ABE≌△DCE
∴AE=DE
50．如圖9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC邊上的中線，過(guò)C作AD的垂線，交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，求證：∠ADC＝∠BDE．
圖9 E B 作CG⊥AB,交AD于H,
則∠ACH=45o,∠BCH=45o
∵∠CAH=90o-∠CDA, ∠BCE=90o-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE
又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45o
∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE
又∵∠DCH=∠B=45o, CD=DB
∴△CFD≌△BED
∴∠ADC=∠BDE
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