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有趣的線性反饋移位寄存器(LFSR)

  最近一直在研究信道編碼,發(fā)現(xiàn)在信道編碼里面有一個電路比較重要也比較有趣,那就是線性反饋移位寄存器 LFSR ,相信大家對LFSR電路也不陌生了,在通信領(lǐng)域lfsr有著很廣泛的應(yīng)用,比如說M序列,擾碼,信道編碼,密碼學(xué)這方面都有很廣泛的應(yīng)用,LFRS的結(jié)構(gòu)一般如下圖:

其中他需要一個生成多項式為:

這個多項式是一個本原多項式,然后知道這個電路有一些有意思的性質(zhì),下面我以m  = 3 來做個例子具體的電路圖如下所示:

 

假設(shè)開始的時候(D2,D1,D0 ) = (0,0,1),那么每過一個時鐘周期會進行跳變一次,

可以看到具體的跳變?nèi)缦滤荆?/p>

然后我們可以看到這個計數(shù)器循環(huán)起來了,很好玩吧,無論進入那樣一個狀態(tài)除了0之外,都可以循環(huán)著回來,其實這里就相當(dāng)于了一個3bit的偽隨機數(shù),很有意思,不是所有的多項式都有這個特性,我們現(xiàn)在在從數(shù)學(xué)上面來看看這個問題,其實最上面的電路是可以看成是一個除法電路,在Galois域的一個除法電路?,F(xiàn)在假設(shè)的是R(x)是寄存器中剩余的數(shù)據(jù),M(x)是輸入的碼字多項式,然后數(shù)學(xué)公式可以表示成:

然后我分別計算出了M(x)的各種情況,

 

 

然后我們單獨進行一下7次方的運算

發(fā)現(xiàn)7次方的運算和0次的時候的余數(shù)是一樣的

然后我們發(fā)現(xiàn)其實在上面的電路中對多項式的除法也是可以循環(huán)起來的,可以驗證的是

把這個記成

上面的式子是可以循環(huán)的,然后我又想到了CRC的計算,CRC的計算也可以通過一個除法電路來實現(xiàn),

假設(shè)碼子多項式為

生成多項式為

那么CRC的碼字為

這樣我們同樣可以用LFSR電路來進行實現(xiàn)

首先對M(x)乘以一個x的r次方,然后去去除G(x),在電路上的表現(xiàn)就是

所以在輸入碼字以后還需要多輸入r拍的0這樣才能使最后的CRC碼字數(shù)據(jù).

同理這個電路也可以進行CRC校驗,把生成的數(shù)據(jù)全部都依次輸入進這個


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