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設(shè)△ABC的三邊為a，b，c，由解直角三角形易得三邊上的高h(yuǎn)_a，h_b，h_c，根據(jù)面積公式

一、應(yīng)用面積公式，推導(dǎo)正弦定理

例1設(shè)△ABC的三邊為a，b，c，求證：

證明：由三角形面積公式，得到

即

上式同時(shí)除以abc，得到

所以，

點(diǎn)評(píng)：三角形面積公式由直角三角形的邊角關(guān)系表示出各邊上的高之后再推導(dǎo)出來(lái)，再運(yùn)用它推導(dǎo)正弦定理，實(shí)質(zhì)就是教材中正弦定理推導(dǎo)過(guò)程的簡(jiǎn)化.

二、活用代數(shù)變形，推導(dǎo)海倫公式

例2 △ABC的三邊為a，b，c，設(shè)

證明：

        =

        =

        =

        =

        =

        =

點(diǎn)評(píng)：此例的結(jié)論，就是海倫公式，可以由三角形的三邊a、b、c直接求出三角形的面積. 海倫公式據(jù)說(shuō)是由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德解決的，但最早出現(xiàn)于古希臘數(shù)學(xué)家海倫（Heron）的著作《測(cè)地術(shù)》中，公式的形式漂亮，且便于記憶. 我國(guó)大數(shù)學(xué)家秦九韶在也發(fā)現(xiàn)與海倫公式本質(zhì)上相同的“三斜求積”公式

三、結(jié)合面積公式，研究三角問(wèn)題

例3 在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.

（1）若a=4，b=5，S=5

（2）若三角形的面積S=

（3）若a、b、c成等比數(shù)列，且a²－c²=ac－bc，求∠A的大小及

解：（1）∵S＝

又∵c²＝a²＋b²－2abcosC，

當(dāng)∠C＝60°時(shí)，c²＝a²＋b²－ab，c＝

當(dāng)∠C＝120°時(shí)，c²＝a²＋b²＋ab，c＝

∴ c的長(zhǎng)度為

（2）由S=

（3）∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b²=ac.

又a²－c²=ac－bc，∴b²+c²－a²=bc.

在△ABC中，由余弦定理得

cosA=

在△ABC中，由面積公式得

∴ bcsinA=b²sinB， 則

點(diǎn)評(píng)：解三角形時(shí)，需認(rèn)真分析題中已知條件中邊與角之間的關(guān)系，根據(jù)條件合理選用正弦定理或余弦定理，結(jié)合三角形的面積公式來(lái)解決問(wèn)題.

四、綜合面積公式，探討數(shù)學(xué)領(lǐng)域

例4 已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2，BC=6，CD=DA=4. 求四邊形ABCD的面積.

解：如圖，連結(jié)BD，則四邊形面積

S＝S_△ABD＋S_△CBD＝

∵ A＋C＝180°， ∴sinA＝sinC，

∴ S＝

在△ABD中，由余弦定理得BD²＝2²＋4²－2·2·4cosA＝20－16cosA.

在△CDB中，BD²＝52－48cosC， ∴20－16cosA＝52－48cosC.

又cosC＝－cosA，∴cosA＝－

點(diǎn)評(píng)：在印度婆羅摩笈多（約593-665后）的書中，出現(xiàn)了有圓內(nèi)接四邊形的求積公式

三角形的面積公式有許多，例如已知三角形的三邊a、b、c及外接圓、內(nèi)切圓的半徑為R，r，則有S△=abc/4R與

又如，在△ABC中，若

證明：

由上例公式，不必求三角形的邊長(zhǎng)和角度，只要知道任意兩邊所對(duì)應(yīng)的向量即可，而其向量在已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)不難求得. 由此，我們知道三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)

      ＝

以上我們探討了各面積公式之間的相互聯(lián)系，靈活運(yùn)用三角形的面積公式，能幫助我們解決許多解三角形的問(wèn)題.