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引言
    徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，學(xué)習(xí)速度快等優(yōu)點(diǎn)，在函數(shù)逼近、系統(tǒng)辨識(shí)、模式識(shí)別等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。
    構(gòu)造RBF網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵是合理選取徑向基函數(shù)的數(shù)量和中心向量。目前，比較常用的方法主要有K均值聚類法、C-Means算法等。這些方法都是在人為確定徑向基函數(shù)的數(shù)量和初始向量之后，采用基于歐氏距離的最近鄰方法來(lái)實(shí)現(xiàn)聚類的。對(duì)于類間距離大，類內(nèi)距離小的樣本可以得到比較不錯(cuò)的結(jié)果，而對(duì)于類間交錯(cuò)較大，類內(nèi)距離大的情形，這種方法的分類能力將嚴(yán)重減弱，從而不利于網(wǎng)絡(luò)的泛化應(yīng)用。另外，網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過(guò)程和工作過(guò)程完全獨(dú)立，如果外部環(huán)境發(fā)生變化，系統(tǒng)的特性會(huì)隨之發(fā)生變化，由此需要重新對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，這使問(wèn)題變得更加復(fù)雜，也使網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用領(lǐng)域受到限制。
    針對(duì)以上算法存在的問(wèn)題，本文提出了一種RBF網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)學(xué)習(xí)算法。該算法事先不需要確定RBF的數(shù)量和中心向量，而是在學(xué)習(xí)過(guò)程中，根據(jù)誤差在輸入空間的分布，自適應(yīng)地增加RBF的數(shù)量，并適當(dāng)調(diào)節(jié)中心向量。為了不使RBF的數(shù)量過(guò)于膨脹，還制定了相應(yīng)的刪除策略，該策略通過(guò)綜合評(píng)價(jià)每個(gè)RBF對(duì)網(wǎng)絡(luò)所作的貢獻(xiàn)，然后刪除貢獻(xiàn)小的RBF，使網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)始終保持簡(jiǎn)潔。

1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
    RBF網(wǎng)絡(luò)是一種三層前饋網(wǎng)絡(luò)，由輸入層、輸出層和隱層組成。其中，輸入層和輸出層皆由線性神經(jīng)元組成；隱層的激活函數(shù)(核函數(shù))采用中心徑向?qū)ΨQ衰減的非負(fù)非線性函數(shù)，其作用是對(duì)輸入信號(hào)在局部產(chǎn)生響應(yīng)。輸入層與隱層之間的權(quán)值固定為1，只有隱層與輸出層之間的權(quán)值可調(diào)。
    設(shè)輸入矢量x=(x1，x2，…，xn)T，隱層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為m，RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出可表示為：
   

    式中：ωi是第i個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)與輸出層之間的權(quán)值；φi(‖x—ci‖)，i=1，2，…，m為隱層激活函數(shù)。通常采用如下高斯函數(shù)：
   
    式中：σi和ci分別表示該隱層節(jié)點(diǎn)的寬度和中心矢量；‖·‖是歐氏范數(shù)。

2 RBF網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)學(xué)習(xí)算法
    RBF選取得越多，網(wǎng)絡(luò)的逼近精度越高，但同時(shí)也會(huì)使網(wǎng)絡(luò)的泛化能力下降，因此，在滿足一定逼近精度的條件下，應(yīng)選取盡可能少的中心向量，以保證網(wǎng)絡(luò)有較好的泛化能力。本文提出的算法，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的輸出誤差在輸入空間的非均勻分布，以及每個(gè)RBF對(duì)網(wǎng)絡(luò)所作貢獻(xiàn)的大小，通過(guò)相應(yīng)的添加和刪除策略對(duì)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，使網(wǎng)絡(luò)的逼近性能和泛化能力都達(dá)到較高的要求。同時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練和工作可以交替進(jìn)行，所以它能夠適應(yīng)外界環(huán)境的緩慢變化。
2．1 添加策略
    添加策略綜合考慮了網(wǎng)絡(luò)輸出誤差在輸入空間的非均勻分布。需要統(tǒng)計(jì)每個(gè)輸入矢量產(chǎn)生的輸出誤差，然后通過(guò)比較找出誤差相對(duì)較大的點(diǎn)，再在這些點(diǎn)附近適當(dāng)?shù)夭迦腚[層節(jié)點(diǎn)。
    設(shè)(xk，yk)，k=1，2，…，N是一組訓(xùn)練樣本，初始時(shí)刻，隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)為零，每次執(zhí)行添加操作，依據(jù)以下準(zhǔn)則判斷是否添加隱層節(jié)點(diǎn)：
   
    式中：是網(wǎng)絡(luò)輸出均方誤差；ck,nearest和xk,nearest分別對(duì)應(yīng)與輸入向量xk最接近的隱層節(jié)點(diǎn)中心和輸入向量。如果滿足添加條件，則將(xk+xk,nearest)／2設(shè)為新的隱層節(jié)點(diǎn)中心，將ek設(shè)為新節(jié)點(diǎn)的權(quán)值，中心寬度取。
2．2 刪除策略
    由于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種局部感知場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)總的輸出取決于隱層與輸出層之間的權(quán)值和隱層節(jié)點(diǎn)中心與輸入矢量之間的距離。進(jìn)行訓(xùn)練時(shí)，所選取的訓(xùn)練樣本相對(duì)比較稀疏。當(dāng)某一個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)中心離每一個(gè)輸入矢量都很遠(yuǎn)時(shí)，即使其權(quán)值是一個(gè)較大的數(shù)，也不會(huì)對(duì)輸出產(chǎn)生太大的影響。在訓(xùn)練結(jié)束后進(jìn)行檢驗(yàn)的過(guò)程中，檢驗(yàn)的數(shù)據(jù)一般都比較密集，若某些輸入矢量離該隱層中心較近，則輸出會(huì)受到很大的影響，這使網(wǎng)絡(luò)的泛化能力變差。因此需要制定一種策略來(lái)刪除這樣的隱層節(jié)點(diǎn)，由此引入了刪除策略。
    刪除策略是針對(duì)每個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)所作貢獻(xiàn)的大小不同而提出的。貢獻(xiàn)大的節(jié)點(diǎn)，繼續(xù)保留；貢獻(xiàn)小的節(jié)點(diǎn)，則刪除。對(duì)任意隱層節(jié)點(diǎn)i，用Ai來(lái)表示它對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)所作的貢獻(xiàn)。Ai定義為：
   
    執(zhí)行刪除操作前，先對(duì)Ai進(jìn)行歸一化處理，即。最后的判斷規(guī)則為：若，則刪除第i個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)，其中θ為判決門限。
    在采用梯度下降法調(diào)整隱層節(jié)點(diǎn)中心位置和權(quán)值的過(guò)程中，需要計(jì)算每個(gè)輸入矢量對(duì)應(yīng)的輸出誤差ek，以及每個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)的輸出值φ(‖xk-ci‖)。而執(zhí)行添加和刪除操作時(shí)也需要計(jì)算ek和φ(‖xk-ci‖)。為了減小計(jì)算量，提高運(yùn)算效率，可以在調(diào)整隱層的中心位置和權(quán)值的過(guò)程中先保存ek和φ(‖xk-ci‖)的值。
2．3 算法流程
    自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法的具體流程如圖1所示。對(duì)RBF進(jìn)行訓(xùn)練之前，先確定最大訓(xùn)練次數(shù)M和訓(xùn)練允許誤差Er，作為訓(xùn)練結(jié)束的條件。

    整個(gè)算法的流程大體可分成三個(gè)部分。第一個(gè)部分是調(diào)節(jié)隱層節(jié)點(diǎn)的中心位置和隱層與輸出層之間的權(quán)值。本文采用梯度下降法，每循環(huán)一次，相應(yīng)地調(diào)節(jié)一次。第二個(gè)部分是執(zhí)行添加操作。添加的策略是根據(jù)輸出誤差在輸入空間分布的不均勻性而提出的。如果執(zhí)行該操作過(guò)頻，不但會(huì)減小隱層節(jié)點(diǎn)的中心位置和權(quán)值的調(diào)節(jié)速度，而且會(huì)造成隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)目過(guò)多，計(jì)算量增大，導(dǎo)致過(guò)度擬合?？紤]到以上因素，采用間歇的方式執(zhí)行添加操作，只有當(dāng)i=4n+1(n=0，1，2，…)時(shí)，才執(zhí)行添加操作。第三個(gè)部分是執(zhí)行刪除操作。如果執(zhí)行該操作過(guò)頻，對(duì)于一些新增加的隱層節(jié)點(diǎn)，其中心位置和權(quán)值有可能還沒(méi)來(lái)得及調(diào)整就已經(jīng)被刪除了，所以也采用間歇的方式執(zhí)行。當(dāng)i=8m+7(m=0，1，2，…)時(shí)，才執(zhí)行刪除操作。
2．4 RBF網(wǎng)絡(luò)參數(shù)調(diào)整算法
    本文采用梯度下降法調(diào)整RBF的隱層節(jié)點(diǎn)中心位置和權(quán)值。設(shè)隱層節(jié)點(diǎn)的數(shù)目為m，一共有N組訓(xùn)練樣本：(x，y)={(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xN，yN)}。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出為：

。選取均方差為誤差函數(shù)，取ρ1和ρ2為學(xué)習(xí)率。
    (1)調(diào)整隱層節(jié)點(diǎn)的權(quán)值
   
    (2)調(diào)整隱層節(jié)點(diǎn)中心的位置

   

3 仿真實(shí)例
    (1)對(duì)隨機(jī)曲面進(jìn)行恢復(fù)
    仿真中定義曲面方程如下：
   

    原始數(shù)據(jù)集所得曲面圖像如圖2所示。

    以x(x=x1，x2)為輸入矢量，其中，x1和x2分別以1為間隔在區(qū)間[0，9]內(nèi)均勻取值，一共得到100組輸入數(shù)據(jù)(x1，x2)。選取ε=0．02，θ=0．3，ρ1=0．1，ρ2=0．05。經(jīng)過(guò)20次訓(xùn)練，最后得到的網(wǎng)絡(luò)具有41個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)，系統(tǒng)的均方誤差為0．023 3。擬合后的曲面圖像如圖3所示。

    (2)對(duì)θ取不同值時(shí)的比較，結(jié)果如表1～表3所示。

4 結(jié)語(yǔ)
    針對(duì)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)的參數(shù)和數(shù)量難以確定的問(wèn)題，提出了一種自適應(yīng)的學(xué)習(xí)算法。該算法事先不需要確定隱層節(jié)點(diǎn)的中心位置和數(shù)量，而是通過(guò)相應(yīng)的添加和刪除策略實(shí)現(xiàn)的。添加策略是根據(jù)輸出誤差在輸入空間分布的不均勻而提出的，通過(guò)執(zhí)行相應(yīng)的操作可以使隱層節(jié)點(diǎn)的數(shù)目在學(xué)習(xí)過(guò)程中自適應(yīng)的增加。同時(shí)，為了使隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)目不過(guò)于膨脹，還制定了刪除策略。它先分析每個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)所作的貢獻(xiàn)，然后刪除貢獻(xiàn)小的節(jié)點(diǎn)，以保持網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單。仿真研究表明，該網(wǎng)絡(luò)不僅靈活性高，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，精度高，而且具有較好的泛化能力。