情形1 . 弦
若圓的題目中出現(xiàn)關(guān)于弦的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，要想到弦相關(guān)的定理和一些性質(zhì)，垂徑定理、弦心距、勾股定理等．
例1.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB與CD交于點(diǎn)F
（1）求證：FC＝FB；
（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直徑．
分析：
（1）根據(jù)兩平行弦所夾的弧相等，得到弧PC＝弧BD，然后由等弧所對(duì)的圓周角相等及等角對(duì)等邊，可以證明FC＝FB．
（2）連接OC，在Rt△OCE中用勾股定理計(jì)算出半徑，然后求出直徑．
證明：
（1）∵PD∥CB，
∴弧PC＝弧BD，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴FC＝FB．
（2）解：如圖，連接OC，
設(shè)圓的半徑為r，在Rt△OCE中，
OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，
∴r2＝(r﹣8)2+122，
解方程得r＝13．所以⊙O的直徑為26．
情形2 . 直徑
出現(xiàn)直徑時(shí)，要聯(lián)想圓心角、圓周角等性質(zhì)，構(gòu)造等腰三角形、直角三角形等圖形。
例2.如圖，在⊙O中，將弧BC沿弦BC所在直線折疊，折疊后的弧與直徑AB相交于點(diǎn)D，連接CD．
（1）若點(diǎn)D恰好與點(diǎn)O重合，則∠ABC＝______ °；
（2）延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)M，連接BM．猜想∠ABC與∠ABM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
分析：
（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和圓周角定理解答即可；
（2）作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D'，利用對(duì)稱的性質(zhì)和圓周角定理解答即可．
證明：
（1）∵若點(diǎn)D恰好與點(diǎn)O重合，
∴∠COD＝60°（跳步啦），
∴∠ABC＝∠OBC＝∠COD＝30°；
（2）∠ABM＝2∠ABC，
作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D'，
連接CD'，BD'，
∵對(duì)稱，
∴∠DBC＝∠D'BC，DC＝D'C，
連接CO，D'O，AC，
∴∠AOC＝2∠ABC，
∠D'OC＝2∠D'BC，
∴∠AOC＝∠D'OC，
∴AC＝D'C，
∵DC＝D'C，∴AC＝DC，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ABC＝90°，
設(shè)∠ABC＝α，
則∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α，
∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝2α，
即∠ACD＝2∠ABC，
∵∠ABM＝∠ACD，
∴∠ABM＝2∠ABC．
情形3：切線
如果題目給出有切線，我們可以思考添加過切點(diǎn)的半徑，連結(jié)圓心和切點(diǎn)，利用切線的性質(zhì)和定理構(gòu)造出直角或直角三角形，再使用勾股定理解出一些邊角關(guān)系。
如圖，AB是⊙O的弦，半徑OE⊥AB，P為AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC與⊙O相切于點(diǎn)C，CE與AB交于點(diǎn)F．
（1）求證：PC＝PF；
（2）連接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3√2
，tanP＝3/4，求FB的長(zhǎng)．
分析：
（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)以及OE⊥AB，可知∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，從而可知∠EFA＝∠FCP，由對(duì)頂角的性質(zhì)可知∠CFP＝∠FCP，所以PC＝PF；
（2）過點(diǎn)B作BG⊥PC于點(diǎn)G，由于OB∥PC，且OB＝OC，BC＝3√2
，從而可知OB＝3，易證四邊形OBGC是正方形，所以O(shè)B＝CG＝BG＝3，所以BG/PG=3/4，所以PG＝4，由勾股定理可知：PB＝5，所以FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．
證明：
（1）連接OC，
∵PC是⊙O的切線，
∴∠OCP＝90°，
∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，
∵OE⊥AB，
∴∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，
∴∠EFA＝∠FCP，
∵∠EFA＝CFP，
∴∠CFP＝∠FCP，
∴PC＝PF.
（2）過點(diǎn)B作BG⊥PC于點(diǎn)G，
∵OB∥PC，∴∠COB＝90°，
∵OB＝OC，BC＝3√2，
∴OB＝3，
∵BG⊥PC，
∴四邊形OBGC是正方形，
∴OB＝CG＝BG＝3，
∵tanP＝3/4，
∴BG/PG=3/4，∴PG＝4，
∴由勾股定理可知：PB＝5，
∵PF＝PC＝7，
∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．
情形4：相交切線
考慮連結(jié)圓心和切點(diǎn)，或連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)，或連結(jié)兩切點(diǎn)。得出一些特殊的三角形和邊角關(guān)系，比如全等、相似、垂直、邊角關(guān)系等。
例4.如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB為直徑的⊙O與DC相切于E．已知AB＝8，邊BC比AD大6．
（1）求邊AD、BC的長(zhǎng)；
（2）在直徑AB上是否存在一動(dòng)點(diǎn)P，使以A、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△BCP相似？若存在，求出AP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
分析：
（1）過D作DF⊥BC于F，設(shè)AD＝x，則DE＝AD＝x，EC＝BC＝x+6，根據(jù)勾股定理就到一個(gè)關(guān)于x的方程，就可以解得AD的長(zhǎng)；
（2）△ADP和△BCP相似，有△ADP∽△BCP和△ADP∽△BPC兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求出AP的長(zhǎng).
情形5：內(nèi)切圓
過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段或者連結(jié)圓心到各三角形頂點(diǎn)，構(gòu)造特殊的邊角關(guān)系和三角形。圓心到三角形頂點(diǎn)的連線是角平分線；圓心到三角形三邊的距離相等。
如圖，AB＝AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)O是∠BAC的平分線上一點(diǎn)，⊙O與AB相切于點(diǎn)M，與CD相切于點(diǎn)N
（1）∠AOC＝______；
（2）若NC＝3，BC＝2√5
，求DM的長(zhǎng)．
分析：
（1）只要證明OC平分∠ACD，即可解決問題；
（2）由切線長(zhǎng)定理可知：AM＝AE，DM＝DN，CN＝CE＝3，設(shè)DM＝DN＝x，AM＝AE＝y(tǒng)，在Rt△BDC中，根據(jù)BC2＝BD2+CD2，構(gòu)建方程即可解決問題.
情形6：外接圓
一般先構(gòu)造一條直徑，再根據(jù)題目的一些條件構(gòu)造特殊的三角形和邊角關(guān)系。
如圖，⊙O是△ABC的外接圓，PA是⊙O切線，PC交⊙O于點(diǎn)D．
（1）求證：∠PAC＝∠ABC；
（2）若∠BAC＝2∠ACB，∠BCD＝90°，AB＝2√3
，CD＝2，求⊙O的半徑．
分析：
（1）連接AO延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E，連接EC．想辦法證明：∠B+∠EAC＝90°，∠PAC+∠EAC＝90°即可解決問題；
（2）連接BD，作OM⊥BC于M交⊙O于F，連接OC，CF．設(shè)⊙O的半徑為x．求出OM，根據(jù)CM^2＝OC^2﹣OM^2＝CF^2﹣FM^2構(gòu)建方程即可解決問題.
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