如果問你最早接觸的數(shù)學(xué)常數(shù)是啥？想必很多人都會脫口而出：圓周率！
沒錯，圓周率在小學(xué)期間就已經(jīng)被我們所熟知，簡單來講，不論是多大面積的圓，它們都有一個共同點，那就是周長與直徑的比值都為一個常數(shù)，這就是圓周率π，而且它還是一個無理數(shù)，也就是無限不循環(huán)小數(shù)。
數(shù)學(xué)史上有很多關(guān)于計算圓周率的記載，對于我們來講，最熟知的莫過于“祖沖之計算圓周率”，這位南北朝時期的數(shù)學(xué)家，第一次將圓周率精確到小數(shù)點后7位，并且這一記錄領(lǐng)先了西方近千年之久。
不過我們感興趣的是祖沖之是用的什么辦法去求的圓周率呢？實際上，他所用的辦法正是魏晉時期的大數(shù)學(xué)家劉徽所提出的“割圓術(shù)”，其書中的原話是：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。
簡單來講就是用一個多邊形去逼近圓形，多邊形的邊越多，那么就越接近圓（以現(xiàn)代的眼光看來，其本質(zhì)就是微積分中的極限思想）。
割圓術(shù)本質(zhì)上是一種幾何法，但隨著數(shù)學(xué)的進(jìn)步，出現(xiàn)了更為方便精準(zhǔn)的分析法，比如無窮級數(shù)等，給出了很多圓周率數(shù)值表達(dá)式。
再往后隨著計算機的出現(xiàn)，圓周率計算的位數(shù)更是直接呈幾何式的翻倍。
比如在2021年8月5日，瑞士的科研人員宣布他們利用一臺超級計算機，耗時108天零9個小時，算出了圓周率小數(shù)點后62.8萬億位，這是一項新的世界記錄，不過他們也表示，這項紀(jì)錄可能不會保持太久。
因為在此之前的2020年以及2019年，分別有人創(chuàng)造了50萬億位和31.4萬億位的記錄。2020年的是由一位愛好者利用個人電腦，耗時303天，算出了50萬億位。而2019年的是由谷歌云計算系統(tǒng)耗時121天，算出了31.4萬億位，準(zhǔn)確來說是小數(shù)點后 31415926535897 位，目的為了紀(jì)念那年3月14日的國際圓周率日。
如果說古時候的數(shù)學(xué)家計算圓周率是為了尋找更多數(shù)學(xué)性質(zhì)，畢竟那時候的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)不及現(xiàn)在豐富深厚。但是自從1761年，德國數(shù)學(xué)家蘭伯特證明了圓周率為無理數(shù)（也就是無限不循環(huán)小數(shù)）。
以及1882年，也是德國數(shù)學(xué)家林德曼證明了圓周率為超越數(shù)（即不能作為有理系數(shù)多項式根的實數(shù)，由此可以知道古希臘時期，想靠直尺和圓規(guī)完成“化圓為方”是不可能的）之后，似乎再瘋狂追求圓周率的位數(shù)就成了一件無用的事情？
但自從計算機出現(xiàn)后，人們對于圓周率位數(shù)的計算反而更加“瘋狂”了，為何呢？難道是因為圓周率越精確，越有利于科學(xué)研究或者實際生活使用？并不是，實際上圓周率用到幾十位，就已經(jīng)非常精確了。
但人們還一直計算圓周率的原因，其實很簡單：能在更短時間內(nèi)算出更多的位數(shù)，這種高精度的計算是判斷一臺計算機處理能力是否優(yōu)秀的手段之一。
如果圓周率哪一天被證實能算盡了，那將意味著啥？估計不少朋友都曾想過這樣的問題。
但實際上，在通常情況下，這種情況是不會出現(xiàn)的，因為圓周率是無理數(shù)這一結(jié)論是通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明給出的，拔出蘿卜帶出泥，如果圓周率真被算盡了，那將是數(shù)學(xué)大廈的一場大地震。（考慮到數(shù)學(xué)不同于自然學(xué)科，它不需要對應(yīng)客觀世界的實體存在，也就是說，數(shù)學(xué)是一個放之四海而皆準(zhǔn)的東西）
但是請注意，這個結(jié)論有一個前提，就是上段頭所言的“通常情況”，那么這個通常情況到底是個啥呢？
很簡單，我們現(xiàn)在所熟知的圓周率數(shù)值3.14159......，實際上是建立在歐幾里得幾何體系之內(nèi)的。
啥是歐幾里得幾何？很簡單，就是我們中小學(xué)時期所學(xué)的幾何，比如過直線外一點，只能做出一條平行線（平行公設(shè)）
再比如，三角形內(nèi)角和為180度等等，有這些結(jié)論的都是歐幾里得幾何。
但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)，這種幾何體系雖然和現(xiàn)實世界十分相符，但似乎并不唯一，于是人們就以剛才那條平行公設(shè)為切入點，又發(fā)現(xiàn)了兩種新幾何（非歐幾何），分別是羅氏幾何和黎氏幾何，在這些幾何當(dāng)中，三角形的內(nèi)角和不再是180度、圓周率也不再是一個固定值了。
后來經(jīng)過黎曼的努力，三種幾何統(tǒng)一成了黎曼幾何，這也是后來愛因斯坦的廣義相對論所要用到的數(shù)學(xué)理念。
為了形象地介紹在不同幾何環(huán)境下，圓周率的變化，下面就以相對論為背景，來說明這個問題。
1909年，愛因斯坦的好友保羅·埃倫費斯特在《物理雜志》上發(fā)表了一篇簡短地只有兩面紙不到的論文，標(biāo)題為《剛體的勻速轉(zhuǎn)動與相對論》（注意，此時廣義相對論還沒問世，只有狹義相對論）。
論文提出了這樣一個“簡單”的問題：如果有一個勻速轉(zhuǎn)動的圓盤，我站在外面用量尺去測量圓盤周長，以及站在圓盤上用量尺去測量圓盤周長，試問結(jié)果如何？
這個問題看上去非常簡單，根據(jù)狹義相對論，運動的物體會在運動方向上收縮，也就說如果在圓盤靜止時，在其周邊擺放上一圈量尺（比如一根量尺長度一厘米，就這樣擺一圈，當(dāng)然了，量尺越短越好，因此那樣就無限逼近圓形周長了），之后圓盤勻速轉(zhuǎn)動，由于運動尺縮，圓盤上原本首尾相連的量尺，竟然出現(xiàn)了空隙，而圓盤的周長是由量尺數(shù)量決定的，因此這也就說明圓盤周長變長了。
注意，上面這段話是比較籠統(tǒng)的說法，用于科普是沒有問題的，細(xì)究的話還要細(xì)分，不過最后的結(jié)論是正確的，也就是轉(zhuǎn)盤系測量的周長要大于地面系。（如果有了解相對論的朋友，應(yīng)該對于下面給出的空間線元不陌生，這就是結(jié)論的依據(jù)）
這時候我們發(fā)現(xiàn)，圓盤周長變長了，但直徑卻沒有變化，那豈不是說圓周率變大了嗎？而且圓周率的數(shù)值與轉(zhuǎn)盤速度掛鉤了，理論上，圓周率直接可以變?yōu)檎麛?shù)！不過這沒有什么好奇怪的，因為轉(zhuǎn)盤空間已經(jīng)不符合歐氏幾何的要求，而是屬于非歐幾何了。
實際上，按照廣義相對論的要求，我們現(xiàn)實世界中的圓周率其實原本就不是3.14159......這樣的數(shù)值，因為現(xiàn)實世界很難找到嚴(yán)格意義上的歐氏空間，但凡空間里存在一個物體，那么就不屬于歐氏空間了。
原因很簡單，因為廣義相對論將引力解釋為時空彎曲，以最簡單的史瓦西時空而言，單獨把空間線元拎出來，你會發(fā)現(xiàn)它長下面這個模樣
很明顯，如果畫一個圓，其半徑方向上的空間是非歐的，也就是半徑是個變量，與引力源的質(zhì)量能量分布相關(guān)，由此可見，圓周率自然也是一個變量了。
由此可見，歐氏幾何中的圓周率是不能被算盡的，是一個無理數(shù)，如果能被算盡，只能說明我們現(xiàn)在用的數(shù)學(xué)體系要修改了。
而在非歐幾何中的圓周率則大有不同，能不能算盡，得看具體情況，總之這就和非歐幾何中三角形內(nèi)角和不為180度一樣，熟悉之后，也就沒什么好奇怪的了，更不會發(fā)生啥事。而且依據(jù)廣義相對論，非歐幾何才符合真實宇宙，而歐氏幾何只是非常接近于真實宇宙而已。
