第21課時 二次函數(shù)的應(yīng)用
【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】
1、二次函數(shù)的應(yīng)用常用于求解析式、交點(diǎn)坐標(biāo)等。
（1）求解析式的一般方法：
①已知圖象上三點(diǎn)或三對的對應(yīng)值， 通常選擇一般式 。
②已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、最值或最高（低）點(diǎn)等，通常選擇頂點(diǎn)式 。
③已知圖象與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2， 通常選擇交點(diǎn)式 （不能做結(jié)果，要化成一般式或頂點(diǎn)式）。
（2）求交點(diǎn)坐標(biāo)的一般方法：
①求與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)y＝ 代入解析式即可；求與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)x＝ 代入解析式即可。
②兩個函數(shù)圖像的交點(diǎn)，將兩個函數(shù)解析式聯(lián)立成方程組解出即可。
2、二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，即對于二次函數(shù)，當(dāng)
時，
函數(shù)有最值y＝ 。最值問題也可以通過配方解決，即將配方成
，當(dāng) 時，函數(shù)有最值y＝ 。
3、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用包括以下方面：
（1）分析和表示不同背景下實(shí)際問題，如利潤、面積、動態(tài)、數(shù)形結(jié)合等問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系。
（2）運(yùn)用二次函數(shù)的知識解決實(shí)際問題中的最值問題。
4、二次函數(shù)主要是利用現(xiàn)實(shí)情景或者純數(shù)學(xué)情景，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和應(yīng)用意識。
【例題解析】
例1：如圖1所示，一位運(yùn)動員在距籃圈中心水平距離4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)動的水平距離為2.5米時，達(dá)到最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈，已知籃圈中心到地面的距離為3.05米．求拋物線的表達(dá)式．
解析：因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為y軸，故可設(shè)籃球運(yùn)行的路線所對應(yīng)的函
數(shù)表達(dá)式為（a≠0，k≠0）．代入A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（1.5，3.05），（0，3.5）．可得：．解得，所以，拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．
反思：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系是解決問題的關(guān)鍵。建立坐標(biāo)系的一般方法是盡可能將一些特殊點(diǎn)，如起點(diǎn)、最高點(diǎn)等放在坐標(biāo)軸上或作原點(diǎn)，這有助于問題的解決和幫助計(jì)算。
解析：欲知卡車能否順利過城門，只須計(jì)算高4米處的城門的寬度是否大于2.8米？可建立如圖2所示直角坐標(biāo)系，則A（，0），B（3，0），頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），可設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為：，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，得，，故．設(shè)卡車頂部剛好與DE這條線同高，則點(diǎn)D，E的縱坐標(biāo)都是4，當(dāng)時， ，，從而，所以卡車不能通過城門．
反思：此題是一道常見的拱橋、拱洞等有關(guān)拋物線的實(shí)際問題應(yīng)用題，坐標(biāo)系的選擇建立很關(guān)鍵，一般選擇拋物線的底（頂）部水平線為x軸，對稱軸為y軸，或直接選取最高（低）點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系來解決問題。
【實(shí)彈射擊】
一、選擇題
1.將二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2.拋物線與x軸交點(diǎn)的個數(shù)是（ ）．
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
A．2 B．1 C． D．
4. 二次函數(shù)的圖象如圖所示，若點(diǎn)是它圖象上的兩點(diǎn)，則與的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．不能確定
二、填空題
5. 某種火箭被豎直向上發(fā)射時，它的高度與時間
6.將變?yōu)?/span>的形式，則 ．
8.拋物線與軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為則此拋物線與軸的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)是_________.
9.小穎同學(xué)想用“描點(diǎn)法”畫二次函數(shù)的圖象，取自變量的5個值，分別計(jì)算出對應(yīng)的值，如下表：
|
| … |
|
| 0 | 1 | 2 | … |
|
| … | 11 | 2 |
| 2 | 5 | … |
由于粗心，小穎算錯了其中的一個值，請你指出這個算錯的值所對應(yīng)的 ．
三、解答題
10. 已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)P（2，1）．
（1）求證：；
（2）求的最大值；
（3）若二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)A（，0）、B（，0），△ABP的面積是，求的值．
11.如圖, 某中學(xué)要在教學(xué)樓后面的空地上用40米長的竹籬笆圍出一個矩形地塊作生物園, 矩形的一邊用教學(xué)樓的外墻,其余三邊用竹籬笆. 設(shè)矩形的寬為,面積為.
(1) 求與的函數(shù)關(guān)系式,并求自變量的取值范圍;
(2) 生物園的面積能否達(dá)到210平方米?說明理由.
12.某賓館有50個房間供游客住宿，當(dāng)每個房間的房價為每天l80元時，房間會全部住滿．當(dāng)每個房間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空閑．賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費(fèi)用．根據(jù)規(guī)定，每個房間每天的房價不得高于340元．設(shè)每個房間的房價每天增加x元(x為10的正整數(shù)倍)．
(1) 設(shè)一天訂住的房間數(shù)為y，直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；
(2) 設(shè)賓館一天的利潤為w元，求w與x的函數(shù)關(guān)系式；
(3) 一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大? 最大利潤是多少元?
13. 如圖，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC為直徑的圓交軸于E，D兩點(diǎn)（D點(diǎn)在E點(diǎn)右方）.
（1）求點(diǎn)E,D 的坐標(biāo);
（2）求過B,C,D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
(3)過B,C,D三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
