2010年 部分省市中考 數(shù)學(xué)試題分類匯編
直角三角形與勾股定理
1.（2010年四川省眉山市）下列命題中，真命題是
A．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
B．等腰梯形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
C．圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑
D．垂直于同一直線的兩條直線互相垂直
【關(guān)鍵詞】真命題、假命題
【答案】C
2．（2010年四川省眉山市）如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則∠ABC的度數(shù)為
A．90° B．60° C．45° D．30°
【關(guān)鍵詞】勾股定理及其逆定理
【答案】C
3.（2010年遼寧省丹東市）圖①是一個邊長為的正方形，小穎將
圖①中的陰影部分拼成圖②的形狀，由圖①和圖②
能驗證的式子是（ ）
A．
B．
C．
D．
【關(guān)鍵詞】正方形、勾股定理
【答案】B
4．（2010浙江省喜嘉興市）如圖，已知C是線段AB上的任意一點（端點除外），分別以AC、BC為斜邊并且在AB的同一側(cè)作等腰直角△ACD和△BCE，連結(jié)AE交CD于點M，連結(jié)BD交CE于點N，給出以下三個結(jié)論：①MN∥AB；②＝＋；③MN≤AB，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【關(guān)鍵詞】等腰直角三角形
【答案】D
5、 (2010福建泉州市惠安縣)矩形紙片ABCD的邊長AB=4，AD=2．將矩形紙片沿EF折疊，使點A與點C重合，折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為_____________.
【關(guān)鍵詞】折疊
【答案】5.5
6、(2010福建泉州市惠安縣)如圖，長方體的底面邊長分別為1cm 和3cm，高為6cm．
①如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點B，
那么所用細(xì)線最短需要__________cm；
②如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞3圈到達(dá)點B，
那么所用細(xì)線最短需要__________cm．
【關(guān)鍵詞】勾股定理
【答案】① 10， ②
7、(2010年燕山)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，
∠B＝45°, AD＝1，B
【關(guān)鍵詞】等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)、勾股定理
【答案】如圖1，分別過點A、D作AE⊥BC于點E ，
DF⊥BC于點F． ………………………………1分
∴ AE // DF．又 AD // BC，
∴ 四邊形AEFD是矩形．
∴
∵ AB⊥AC，∠B=45°，BC= 4，
∴ AB=AC．
∴ AE=EC== 2． ……………………………3分
∴ DF=AE= 2，
CF=EC-EF= 1． ……………………………4分
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，
∴DC=. …………………………5分
8、（2010年寧德市）（本題滿分13分）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.
⑴ 求證：△AMB≌△ENB；
⑵ ①當(dāng)M點在何處時，AM＋CM的值最??；
②當(dāng)M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；
⑶ 當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時，求正方形的邊長.
【答案】解：⑴∵△ABE是等邊三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵M(jìn)B＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）.
⑵①當(dāng)M點落在BD的中點時，AM＋CM的值最小.
②如圖，連接CE，當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，
AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分
理由如下：連接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等邊三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根據(jù)“兩點之間線段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長.
⑶過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
設(shè)正方形的邊長為x，則BF＝x，EF＝.
在Rt△EFC中，
∵EF2＋FC2＝EC2，
∴（）2＋（x＋x）2＝.
解得，x＝（舍去負(fù)值）.
∴正方形的邊長為.
9、（2010年廣東省廣州市）如圖所示，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線＝－＋交折線OAB于點E．
（1）記△ODE的面積為S，求S與的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點E在線段OA上時，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形OA1B1C1，試探究OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由.
【答案】（1）由題意得B（3，1）．
若直線經(jīng)過點A（3，0）時，則b＝
若直線經(jīng)過點B（3，1）時，則b＝
若直線經(jīng)過點C（0，1）時，則b＝1
① 若直線與折線OAB的交點在OA上時，即1＜b≤，如圖25-a，
此時E（2b，0）
∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b
②若直線與折線OAB的交點在BA上時，即＜b＜，如圖2
此時E（3，），D（2b－2，1）
∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )
＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝
∴
（2）如圖3，設(shè)O1A1與CB相交于點M，OA與C1B1相交于點N，則矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積。
本題答案由無錫市天一實驗學(xué)校金楊建老師草制！
由題意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四邊形DNEM為平行四邊形
根據(jù)軸對稱知，∠MED＝∠NED
又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四邊形DNEM為菱形．
過點D作DH⊥OA，垂足為H，
由題易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，
設(shè)菱形DNEM 的邊長為a，
則在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴
∴S四邊形DNEM＝NE·DH＝
∴矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為．
10.（2010年山東省濟南市）我市某鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校教學(xué)樓后面靠近一座山坡，坡面上是一塊平地，如圖所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600，為防夏季因瀑雨引發(fā)山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對山坡進(jìn)行改造，經(jīng)地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過450時，可確保山體不滑坡，改造時保持坡腳A 不動，從坡頂B 沿BC削進(jìn)到E 處，問BE至少是多少米(結(jié)果保留根號)？
【關(guān)鍵詞】直角三角形、勾股定理
【答案】
解：作BG⊥AD于G，作EF⊥AD于F，………………1’
∵Rt△ABG中，∠BAD=600，AB=40，
∴ BG =AB·sin600=20，AG = AB·cos600=20……………….3’
同理在Rt△AEF中，∠EAD=450，
∴AF=EF=BG=20，……………….3’
∴BE=FG=AF-AG=20()米. ……………….1’
