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第二節(jié) 閱讀理解

【例題經(jīng)典】

等式性質(zhì)和三角形形狀判定的綜合應(yīng)用．

    例1  （2006年臨安市）閱讀下列題目的解題過程：

    已知：a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a4-b4，試判斷△ABC的形狀．

    解：∵a2c2-b2c2=a4-b4            （A）

    ∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）  （B）

    ∴c2=a2+b2                     （C）

    ∴△ABC是直角三角形．

    問：（1）上述解題過程中，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？

    請寫出該誤步的代號：_______．

    （2）錯誤的原因式為：_______．

    （3）本題的正確結(jié)論為：_______．

    【解答】（1）C  （2）錯誤的原因是由（B）到（C）時，等式兩邊同時約去了因式（a2-b2），而a2-b2可能等于0．（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．

【點(diǎn)評】解答此題的關(guān)鍵是弄清等式性質(zhì)（2）的使用條件．在上述等式兩邊同時約去因式（a2-b2）時，要分a2-b2≠0或a2-b2=0兩種情況討論．因此，△ABC的形狀是等腰三角形或直角三角形，而不是等腰直角三角形．

例2 閱讀材料，如圖（1），在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，垂足為P，

求證：S四邊形ABCD=

    證明：AC⊥BD

    ∴S四邊形ABCD=S△ACD+S△ACB=

               =

    解答問題：

    （1）上述證明得到的性質(zhì)可敘述為：___________．

    （2）已知：如圖（2），等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD且相交于點(diǎn)P．若AD=3cm，BC=7cm．利用上述性質(zhì)求梯形面積．

    【解析】（1）通過閱讀本題的符號語言，圖形語言，可抽象概括出結(jié)論：對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半．（2）由（1）得出的結(jié)論，只要求出AC、BD的長即可求出梯形ABCD的面積．

    【解答】（1）性質(zhì)可敘述為：對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半．

    （2）過點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長線于E．

    則有：DE=AC，CE=AD=3cm．

    ∵梯形ABCD是等腰梯形．

    ∴AC=BD，∴DE=BD

    ∵AC⊥BD，DE∥AC

    ∴DE⊥DB

    ∴△BDE是等腰直角三角形．

    ∴BD=BE×sin45°=10×

    ∴S梯形ABCD=

【考點(diǎn)精練】

1．（2005年泉州市）我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出右表，此表提示了（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律，例如：

    （a+b）0=1，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；

    （a+b）1=a+b，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1；

    （A+b）2=a2+2ab+b2，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1；

    （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四項(xiàng)，系數(shù)分別為1，3，3，1；

    ……

根據(jù)以上規(guī)律，（a+b）4展開式共有五項(xiàng)，系數(shù)分別為______．

                 (第1題)                     (第5題)

2．先閱讀下列文字找規(guī)律，然后完成題后填空．

    我們知道：31=3，個位數(shù)字是3；32=9，個位數(shù)字是9；33=27，個位數(shù)字是7；34=81，  個位數(shù)字是1；35=243，個數(shù)數(shù)字是3；36=729，個位數(shù)字是9……

    （1）那么，37的個位數(shù)字是______；320的個位數(shù)字是______．

    （2）根據(jù)以上規(guī)律求：（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）……（332+1）+1的個位數(shù)字是_____．

3．先閱讀下面方程組的解題過程．

    解方程組

    解：①+②+③ 得 2（x+y+z）=12

    即 x+y+z=6   ④

    ④-①，得z=3

    ④-②，得x=1

    ④-③，得y=2

    ∴原方程組的解為

請模仿上面的解題思想，解方程組

4．（2006年茂名市）先閱讀，再填空解題：

    （1）方程：x2-x-12=0的根是：x1=-3，x2=4，則x1+x2=1，x1·x2=-12；

    （2）方程2x2-7x+3=0的根是：x1=

    （3）方程x2-3x+1=10的根是：x1=____，x2=_____，則x1+x2=______，x1·x2=_______．

    根據(jù)以上（1）（2）（3）你能否猜出：

如果關(guān)于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m，n，p為常數(shù)）的兩根為x1，x2，那么x1+x2，x1·x2與系數(shù)m，n，p有什么關(guān)系？請寫出來你的猜想并說明理由．

5．閱讀下列內(nèi)容：“矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們都是有特殊條件的平行四邊形．正方形是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個角是直角的特殊菱形，因此我們可以用矩形、菱形的性質(zhì)來研究正方形的有關(guān)問題”，回答下列問題：

    （1）將平行四邊形、矩形、菱形、正方形填入它們所包含的關(guān)系中，如圖（1）所示；

    （2）要證明一個四邊形是正方形，可以先證明四邊形是矩形，再證明這個矩形的_____相等；也可先證明四邊形是菱形，再證明這個菱形有一個角是_______；

    （3）如圖（2）所示，某同學(xué)根據(jù)菱形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)出對角線長為a的正方形面積是

6．（2005年嘉興市）某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究相似圖形時，發(fā)現(xiàn)相似三角形的定義、判定及其性質(zhì)，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定義：“圓心角相等且半徑和弧長對應(yīng)成比例的兩個扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性質(zhì)：弧長比等于半徑比、面積比等于半徑比的平方……，請你協(xié)助他們探索這個問題．

    （1）寫出判定扇形相似的一種方法：若____________，則兩個扇形相似；

    （2）有兩個圓心角相等的扇形，其中一個半徑為a，弧長為m，另一個半徑為2a，則它的弧長為_______；

    （3）如圖（1）是一完全打開的紙扇，外側(cè)兩竹條AB和AC的夾角為120°，AB長為30cm，現(xiàn)要做一個和它形狀相似，面積是它一半的紙扇（如圖（2）），求新做紙扇（扇形）的圓心角和半徑．

（提示：（1）可以類比相似三角形的判定方法寫出判定扇形相似的一種方法；（2）由相似扇形的性質(zhì)“弧長比等于半徑比”可求解；（3）由相似扇形的性質(zhì)“面積比等于半徑比的平方”可求出新做紙扇的半徑．）

7．（2006年紹興市）我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，那么在什么情況下，它們會全等？

    （1）閱讀與證明：

    對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)龋?/span>

    對于這兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們?nèi)龋ㄗC明略）．

    對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：

    已知：△ABC，△A1B1C1均為銳角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1．

求證：△ABC≌△A1B1C1．

    （請你將下列證明過程補(bǔ)充完整）

    證明：分別過點(diǎn)B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1．

    則∠BDC=∠B1D1C1=90°，

    ∵BC=B1C1，∠C=∠C1，

    ∴△BCD≌△B1C1D1，

    ∴BD=B1D1．

    （2）歸納與敘述：

    由（1）可得到一個正確結(jié)論，請你寫出這個結(jié)論．

8．（2006年海淀區(qū)）請閱讀下列材料：

    問題：現(xiàn)有5個邊長為1的正方形，排列形式如圖①，請把它們分割后拼接成一個新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形．

小東同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長為x（x>0）．依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有x2=5，解得x=

    請你參考小東同學(xué)的做法，解決如下問題：

    現(xiàn)有10個邊長為1的正方形，排列形式如圖④，請把它們分割后拼接成一個新的正方形．要求：在圖④中畫出分割線，并在圖⑤的正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形．

    說明：直接畫出圖形，不要求寫分析過程．

答案:

考點(diǎn)精練  

1．1，4，6，4，1  2．（1）7，1  （2）1  3．

4．解：（3）x1=

猜想：x1+x2=-

∵一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0，且m，n，p為常數(shù)）的兩實(shí)數(shù)根是

x1=

∴x1+x2=

x1·x2=

5．解：（1）如圖  

（2）一組鄰邊，直角  

（3）對角線長為a的正方形的面積S=

S正方形=

解：（1）答案不惟一，例如“圓心角相等”“半徑和弧長對應(yīng)成比例”．  

（2）2m  

（3）∵兩個扇形相似，

∴新扇形的圓心角為120°，設(shè)新扇形的半徑為r，則（

∴r=15

7．解：（1）∵AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°，

∴△ADB≌△A1D1B1，∴∠A=∠A1，

又∵∠C=∠C1，BC=B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1  

（2）若△ABC，△A1B1C1均為銳角三角形或均為直角三角形或均為鈍角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1，則△ABC≌△A1B1C1  

8．解：所畫圖形如圖所示．