例1： 下列條件中，能使△ABC≌△A′BC′的是( ) A．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′ B．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′ C．AC＝A′C′，∠C＝∠C′，BC＝B′C′ D．AC＝A′C′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′ 分析： 本題中，全等符號已經(jīng)出現(xiàn)，則說明兩個全等三角形的字母已經(jīng)分別對應(yīng)． 再觀察每個條件，都是兩邊一角，根據(jù)SAS可知，需滿足兩邊及其夾角分別相等． 但本題無圖，我們可以這么來思考，三角形中，角的頂點應(yīng)該是相鄰邊的公共點，如AB，BC的公共點是B，則∠B是AB，BC的夾角．或者更直接的說，兩條線段中，字母重復(fù)出現(xiàn)，即出現(xiàn)2次的，就是夾角頂點． 解答： A選項錯誤，AB，AC的夾角是∠A． B選項錯誤，AB，BC的夾角是∠B． C選項正確． D選項錯誤，AC，BC的夾角是∠C． 例2： 下列各組條件中，能判定△ABC≌△DEF的是( ) A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF C．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF D．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F 分析： 本題與第1題非常類似，顯然A選項給出的是兩邊一角，這個角必須是夾角．B、C選項給出的是兩角一邊，邊可以是夾邊，也可以是其中一組等角的對邊，D選項三個角，顯然不符合． 解答： A選項錯誤，AB，BC的夾角是∠B． DE，EF的夾角是∠E． B選項錯誤，∠A，∠C的夾邊是AC． ∠D，∠F的夾邊是DF． C選項正確． D選項錯誤． 例3： 不能確定△ABC與△DEF全等的是（ ） A．AB＝DE，∠C＝∠F，∠B＝∠E B．AB＝EF，∠B＝∠F，∠A＝∠E C．∠B＝∠E，∠A＝∠F，AC＝DE D．BC＝DE，AC＝DF，∠C＝∠D 分析： 本題沒有全等符號，因此不一定是△ABC≌△DEF，我們應(yīng)該分別畫圖． A選項屬于兩角一邊， 顯然如圖1，△ABC≌△DEF(AAS) ． B選項也屬于兩角一邊， 顯然如圖2，△ABC≌△EFD(ASA) ． C選項很有迷惑性，同樣也屬于兩角一邊，但AC是∠B的對邊，DE是∠F的對邊，而∠B≠∠F，不滿足“一組等角的對邊相等”反例如圖3． A選項屬于兩邊一角， 顯然如圖4，△ABC≌△FED(SAS) ． 解答： A選項錯誤，AB，BC的夾角是∠B．DE，EF的夾角是∠E． B選項錯誤，∠A，∠C的夾邊是AC．∠D，∠F的夾邊是DF． C選項正確． D選項錯誤． 例1： 如圖，點D在AB上，點E在AC上，且AB＝AC，則有列條件：①∠B＝∠C；②AD＝AE； ③BE＝CD，其中能判定△ABE≌△ACD的有_______． 分析： 一些給出圖，需要添加條件的問題，一直是許多同學(xué)的難點．為此，特意教大家兩步突破這類問題！(1)標(biāo)上條件(2)分離圖形．對于相等的線段，相等的角，平行的線段(得相等的角)，我們可以用不同的符號來區(qū)別表示，然后選擇其中一個三角形，將其從原來的復(fù)雜圖形中分離出來，不僅可以方便我們觀察其中已知的條件，也不容易出錯． 解答： 如圖1，本題中隱含了∠A是公共角，把圖形分離后，如圖2，選擇△ABE，即知道了已經(jīng)有一邊一角對應(yīng)相等的條件．再添一對對應(yīng)角相等，沒問題． 添邊相等，一定要注意是夾邊． 因此①，②均正確． 而③是不可以的，BE是△ABE中，∠A的對邊，因此屬于邊邊角(SSA)，不能證全等． 反例如下，如圖3，以B為圓心，BE長為半徑畫弧，弧與AC的另一個交點E'，則△ABE'也符合條件，但不與△ADC全等．如圖4，圖5． 例2： 如圖，∠ACB＝∠DBC，要使△ACB≌△DBC，請寫出一個符合要求的條件______． 分析： 我們繼續(xù)采用標(biāo)條件，分離圖形的方法．顯然隱藏了公共邊相等的條件．那么，依舊是給出了一邊一角的條件，因此可以添角的條件，也可以添邊的條件． 解答： AC＝DB(SAS) ∠A＝∠D(AAS) ∠ABC＝∠DCB(ASA)
(1)搞不清對應(yīng)角，對應(yīng)邊
例1： 如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，求證：BC＝DE． 分析： 有些同學(xué)看到兩邊一角，直接開始證明了．大錯特錯，∠1，∠2看似是夾角，但不是同一個三角形兩邊的夾角！這里的夾角必須是一個三角形中兩邊的夾角與另一個三角形中兩條與前一個三角形分別對應(yīng)相等的邊的夾角，且它們相等． 而圖1中，∠1是△ABC的邊AB與△ADE的邊AE 的夾角，AB≠AE，還不是對應(yīng)邊． 而圖2中，∠1是△ABC的邊AB與△ADE的邊AD 的夾角，AB＝AD，是對應(yīng)邊．但∠1是旋轉(zhuǎn)角，不是對應(yīng)角． 解答： 圖1中關(guān)鍵步驟， ∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EAC＝∠2＋∠EAC， 即∠BAC＝∠DAE． 圖2中關(guān)鍵步驟， ∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE． |
例2： 如圖，點A、B、C、D在一條直線上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF．求證：AE＝BF． 分析： 有些同學(xué)看到平行，可證兩對角等，再看一對邊等，馬上作為對應(yīng)邊，直接開始證明了．大錯特錯，AB，CD看似是夾邊，但不是同一個三角形兩角的夾邊！這里的夾邊必須是一個三角形中兩角的夾邊與另一個三角形中兩個與前一個三角形分別對應(yīng)相等的角的夾邊，且它們相等． 而圖中，AB雖等于CD，但只是“平移線段”，不是對應(yīng)邊． 解答： 圖中關(guān)鍵步驟， ∵AB＝CD，∴AB＋BC＝BC＋CD， 即AC＝BD． |
(2)字母順序不對應(yīng)
例3： 如圖，D是AC上一點，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE，求證：BC＝AE． 分析： 本題中，很多同學(xué)認(rèn)為△EAD≌△CAB，感覺像是將△EAD繞點A旋轉(zhuǎn)到△CAB．又錯了！ 由∠B＝∠DAE，可知兩個角的頂點為B、A，則點B、點A對應(yīng)．DE∥AB，則∠DAB＝∠EDA，則頂點A、D對應(yīng)．剩下的點C、E對應(yīng)． 解答： 圖中關(guān)鍵步驟， |
(3)ASA、AAS證法混淆
例4： 如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D在邊AB上，使DB＝BC，過點D作EF⊥AC，分別交AC于點E，CB的延長線于點F． 求證：AB＝BF． 分析： 我們分離圖形，以△ABC為例，已知條件中，知道了一邊，BC，一角，∠ABC＝90°，可以再證一對角等．而有些同學(xué)證明∠F＝∠A，卻說是ASA，有些同學(xué)證明∠FDB＝∠C，卻說是AAS，非?；煜?/span> 解答： 圖中關(guān)鍵步驟， |
