如圖，將軍在圖中點A處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營，問：將軍怎么走才能使得路程最短
如圖在直線上找一點P使得PA+PB的值最小
這個問題是PA+PB是折線段，根據(jù)已有知識“兩點之間線段最短”和“垂線段最短”，我們應(yīng)將折線段轉(zhuǎn)化成直線段，作點A關(guān)于直線的對稱點A’，則AP=A’P,AP+BP≥A'B，所以線段A'B與直線的交點即為點P。
★如圖點P為∠AOB內(nèi)部一點，在OA、OB上求作兩點M、N，使得△PMN周長最小。
此時作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P'和P''，則P'P=M P,P''P=NP,PM+PN+MN＝P'M+P''N+MN≥P'P''，所以線段P'P''與角兩邊交點即為所求。
【例題】點P是∠AOB內(nèi)任意一點，∠AOB=30°，OP=8，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，則△PMN周長的最小值為___________．
簡析：由圖形對稱變換易得
★如圖在OA、OB上分別取點M、N使得四邊形PMNQ周長最小。
考慮PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，類似，分別作點P、Q關(guān)于OA、OB對稱，化折線段PM+MN+NQ為P’M+MN+NQ’，當P’、M、N、Q’共線時，四邊形PMNQ的周長最小。
★如圖在OA、OB上分別取M、N，使得PM+MN的值最小
圖中M為折點，作點P關(guān)于OA的對稱點P',將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P'M+MN，即作P'N⊥OB于N，交OA于M，此時P'M+MN最小（垂線段最短）。
幾何圖形中的將軍飲馬
【例1】如圖，正方形ABCD的邊長是4，M在DC上，且DM=1， N是AC邊上的一動點，則△DMN周長的最小值是____
簡析：考慮DM為定值，故求△DMN周長最小值即求DN+MN最小值．點N為折點，作點D關(guān)于AC的對稱點，即點B，連接BN交AC于點N，此時△DMN周長最小，在Rt△BCM中求BM=5即為所求。
【例2】如圖在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），點C在邊AB上，且AC:CB=1:3，點D為OB的中點，點P為邊OA上的動點，當點P在OA上移動時，使四邊形PDBC周長最小的點P的坐標為____
簡析：求得點D關(guān)于OA對稱點D'（0，2），易通過“8”字相似求出CD'與OA交點為(8/3,8/3).
【例1】如圖，在等邊△ABC中，AB=6， N為AB上一點且BN=2AN， BC的高線AD交BC于點D，M是AD上的動點，連結(jié)BM，MN，則BM+MN的最小值是_____
簡析：B點對稱點是C，CN長就是所求最小值，勾股定理求得2√7
【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，點F是AC的中點，點E是AD上的動點，則CE+EF的最小值為 ____
簡析：c'F長度等于BC一半，結(jié)果3√3
【例3】如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于點D，M、N分別是BD，BC上的動點，則CM+MN的最小值是2√3
【例1】如圖，在菱形ABCD中，AC= ，BD=6，E是BC的中點，P、M分別是AC、AB上的動點，連接PE、PM，則PE+PM的最小值是_____
簡析：根據(jù)面積法易得EM'=2√6
