文/羅增儒
回顧我從當(dāng)學(xué)生到當(dāng)教師的幾十年解題實(shí)踐（特別是當(dāng)教師以來的40年），我看到了一條清晰的“學(xué)解題、教解題”線路：由“記憶模仿、變式練習(xí)”開始，經(jīng)過長(zhǎng)期的“自發(fā)領(lǐng)悟”，已經(jīng)進(jìn)入到“自覺理解”的階段。這里的四個(gè)關(guān)鍵詞：模仿、練習(xí)、領(lǐng)悟、理解，正好體現(xiàn)為數(shù)學(xué)解題的四個(gè)水平。
如果題目不會(huì)解、解不出來那就還沒有顯示出水平。從能得出題目答案開始算，如果只會(huì)記憶模仿那是水平1，如果能夠完成變式練習(xí)那是水平2，如果能夠通過解題獲得思維感悟那是水平3，如果能自覺通過解題分析去增強(qiáng)數(shù)學(xué)理解、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)那是水平4。趁此《高中數(shù)學(xué)解題研究》（第10輯：2019高考精彩壓軸題）出版的機(jī)會(huì)，我將其作為“一個(gè)中國(guó)解題者的學(xué)習(xí)案例”或“一個(gè)中國(guó)學(xué)習(xí)者的解題案例”總結(jié)為經(jīng)驗(yàn)性的認(rèn)識(shí)（輔有具體案例），就教于廣大數(shù)學(xué)同行。
1、學(xué)解題四個(gè)水平的認(rèn)識(shí)。
（1）數(shù)學(xué)解題的記憶模仿階段（水平1）。
這一階段的表現(xiàn)是，模仿著教師或教科書的示范去解決一些識(shí)記性的問題，能套定理公式，但稍一變化就會(huì)思維受阻；解題常常只是為了完成任務(wù)，解題的目的就是獲得答案；題目解完之后沒有反思自己是怎么想的，也說不清用了哪些知識(shí)、哪些方法。
這一步中，記憶是一項(xiàng)重要的內(nèi)容，由記到憶，是指信息的鞏固與輸出的流暢，要解決好：記憶的敏捷性（記得快），記憶的持久性（記得牢或忘得慢），記憶的準(zhǔn)確性（記得準(zhǔn)），記憶的準(zhǔn)備性（便于提?。?。停留在這一階段的記憶主要是機(jī)械記憶，缺少自覺的理解記憶。
記憶和模仿都是必要的，學(xué)寫字從模仿開始，學(xué)寫作從模仿開始，學(xué)繪畫從模仿開始，學(xué)音樂舞蹈也都從模仿開始，每節(jié)課后的數(shù)學(xué)作業(yè)基本上都是模仿性練習(xí)。波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》序言中說：解題“只能通過模仿和實(shí)踐來學(xué)到它”，張景中在《幫你學(xué)數(shù)學(xué)》（第46頁）中說“摹仿是學(xué)習(xí)的開始”。至于“不要死記硬背”的告誡，也不是要否定“記”而是要否定“死”。但是，僅僅停留在記憶模仿階段是不夠的，還需要領(lǐng)悟和理解，有些同學(xué)“課堂上講的還能夠聽懂，課后作業(yè)常常遇到困難”，個(gè)別老師“課堂上講過的題目，過上幾周學(xué)生來問，自己都不會(huì)了”，就是停留在記憶模仿的水平上。
（2）數(shù)學(xué)解題的變式練習(xí)階段（水平2）。
這一階段的表現(xiàn)是，做數(shù)量足夠、形式變化的習(xí)題，本質(zhì)上是進(jìn)行操作性活動(dòng)與初步應(yīng)用。其作用首先是通過變換方式或添加次數(shù)來增強(qiáng)效果、鞏固記憶、熟練技能；其次是通過必要的實(shí)踐來積累理解所需要的操作數(shù)量、活動(dòng)強(qiáng)度和經(jīng)驗(yàn)體會(huì)。許多學(xué)生經(jīng)過充分練習(xí)之后，題型積累有所增加，解題操作更加熟練，確實(shí)能解決一些形式變化的問題了；還有學(xué)生在獲得答案之后也能說說自己是怎么想的，用了哪些知識(shí)、哪些方法，有的題目亦能進(jìn)行一題多解。多數(shù)學(xué)生和廣大教師能達(dá)到這個(gè)水平。
“變式”是防止非本質(zhì)屬性泛化的一個(gè)有效措施，中國(guó)的數(shù)學(xué)教育有“變式教學(xué)”的優(yōu)良傳統(tǒng)，“變式練習(xí)”是這一傳統(tǒng)在解題教學(xué)上的重要體現(xiàn)，它作為一種學(xué)科活動(dòng)可以成為感悟解題思想、接近數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)、形成學(xué)科素養(yǎng)的載體和通道。
記憶模仿、變式練習(xí)主要體現(xiàn)了“模式識(shí)別”的解題策略。它是學(xué)生獲得本質(zhì)領(lǐng)悟的基礎(chǔ)或必要前提。但是，“沒有理解的練習(xí)是傻練，沒有練習(xí)的理解是空想”。因此，對(duì)學(xué)解題而言，更重要的是跨越模仿和練習(xí)而產(chǎn)生領(lǐng)悟。
（3）數(shù)學(xué)解題的自發(fā)領(lǐng)悟階段（水平3）。
這一階段是在變式練習(xí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生初步感悟，表現(xiàn)為個(gè)體經(jīng)驗(yàn)的生成。如：對(duì)解題思路的探求能夠開始有意識(shí)的設(shè)計(jì)；解題不僅要獲得答案，不僅能說出自己的思路，有時(shí)還能領(lǐng)悟當(dāng)中的解題思想、解題方法和問題的深層結(jié)構(gòu)，間或還能一解多題，并作出一些推廣。但是，這種領(lǐng)悟帶有自發(fā)的性質(zhì)和隱性學(xué)習(xí)的特征，常常是“只可意會(huì)，不可言傳”。
這三個(gè)階段，體現(xiàn)了“接受記憶知識(shí)——練習(xí)鞏固知識(shí)——頓悟形成理解”這樣一個(gè)逐步深化的認(rèn)識(shí)過程，是傳統(tǒng)教學(xué)所熟悉的。能夠進(jìn)入“自發(fā)領(lǐng)悟”階段也標(biāo)志著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種覺醒，即已經(jīng)感悟到解題學(xué)習(xí)需要“理解”（如同不僅會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟，而且能去理解方法的無窮三段論本質(zhì)）。但是，這種領(lǐng)悟長(zhǎng)期停留在自發(fā)的和個(gè)性化的層面上，表現(xiàn)為一個(gè)漫長(zhǎng)而又不可逾越的必由階段（會(huì)存在高原現(xiàn)象），目前的很多學(xué)生就被擋在、或停留在這一步。我自己也總在這一階段上掙扎，但已經(jīng)認(rèn)識(shí)到：為了縮短被動(dòng)、自發(fā)的過程，為了增加主動(dòng)、自覺的元素，解題教與學(xué)還應(yīng)該有第四階段。
（4）數(shù)學(xué)解題的自覺理解階段（水平4）。
這一階段表現(xiàn)為，能在領(lǐng)悟解題的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步做到數(shù)學(xué)問題的迅速識(shí)別，解題思路的主動(dòng)設(shè)計(jì)、知識(shí)資源的理性配置、解題方法的靈活運(yùn)用、解題策略的適宜調(diào)控，解題過程的自覺反思，努力通過解題去獲得數(shù)學(xué)的理解，使認(rèn)識(shí)進(jìn)入深層結(jié)構(gòu)。能從數(shù)學(xué)操作和正確答案中看到數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，能從數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法中看到數(shù)學(xué)思想和思維策略的指導(dǎo)，能從數(shù)學(xué)思想和思維策略中提煉（DNA）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，獲得態(tài)度、情感的熏陶，形成正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力。
問題是怎樣通過解題獲得理解，我的建議是：自覺的解題反思，通過分析“怎樣解題”而領(lǐng)悟“怎樣學(xué)會(huì)解題”。操作上通常要經(jīng)歷整體分解與信息交合兩個(gè)步驟（參見拙著《中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐》）。自覺的解題反思與檢查驗(yàn)算是有區(qū)別的，它不僅反思計(jì)算是否準(zhǔn)確、推理是否合理、思維是否周密、解法是否還有更多更簡(jiǎn)單的途徑等，而且要提煉怎樣解題和怎樣學(xué)會(huì)解題的理論啟示。
當(dāng)前的重點(diǎn)應(yīng)是加強(qiáng)第四階段的教學(xué)與研究，這是一個(gè)無限廣闊的創(chuàng)造空間。
2、學(xué)解題四個(gè)水平的案例。
下面，通過一組涉及組合數(shù)的題目來做說明。
（1）體現(xiàn)水平1的解題。
（2）體現(xiàn)水平2的解題。
進(jìn)入“水平2”應(yīng)該能夠勝任諸如下述的“變式練習(xí)”。
（3）體現(xiàn)水平3的解題。
下面的問題可能就要進(jìn)入解題的第三階段了。
（4）體現(xiàn)水平4的解題。
最后看一道追求“自覺理解”、進(jìn)行“自覺分析”的例子。
以上的例子及其處理，到底能不能說明四個(gè)水平？是否有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻認(rèn)識(shí)和深度把握？可不可以幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題、用數(shù)學(xué)的思維分析和解決問題、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)和交流問題等等，我都留給大家去思考、評(píng)判和實(shí)證。
我只能為祖國(guó)的數(shù)學(xué)教育而自豪了，愿祖國(guó)為你們的數(shù)學(xué)教育而自豪。
第10輯將于8月底上市
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