|
|
| ts-条件异方差模型 |
|
|
|
|
时间序列分析时间序列分析
自回归条件异方差自回归条件异方差
AutoRegressionConditional
HtdtiitHeterosceasticity
自回归条件异方差模型
?金融衍生市场，计算期权等衍生工具的
价格需要了解股票的波动率价格需要了解股票的波动率
lKP
l
)()(ΦΦ
?
l
KrP
x
xrxc
l
t
ttt
σ
σ
1)/ln(
,
+=
??=
?
?金融风险管理,度量金融风险的大小，计
算
l
t
t
σ
2
算VaR。
?改进参数估计量的有效性，提高预测区改进参数估计量的有效性，
间的精确度。
自回归条件异方差
?SomeARCHmodels
?Engle(1982)ARCH
?Bollerslev(1986)GARCH
?Nelson(1991)EGARCH
ARCHM?-
?TARCH
自回归条件异方差模型
金融资产的收益率r
t
，t时刻前的信息为I
t－1
感兴趣的是收益率的条件均值和条件方差
2
11
(|),(|)
tttttt
ErIVarrIμσ
??
==
金融资产收益率的一个特征是日收益率不
存在或只存在微弱的相关性但是日收存在或只存在微弱的相关性，
益率的平方存在相关性，即收益率序列
不相关但是也不独立不相关但是也不独立。
自回归条件异方差模型
建立关于收益率的条件均值和条件方差的
模型
ttt
pq
rμε
φθ
=+
∑∑
11
(|)(|)
titiit
ii
cr
VarrIVarI
μφθε
ε
??
==
=++
=
tttt??
ARCH(q)
h
ttt
νε=
22
h+++εαεαα
110qtqtt??
="
V~iid是独立同分布白噪声过程
t
...
0...)|(
1
=
?tt
vvE
1,...)|(
1
,
=
?tt
vvVar
α
0
>0,α
j
≥O,j=1,…q,α
1
+…+αq<1
ARCH过程
{ε
t
}是ARCH(1)过程
hνε=
ttt
2
110?
+=
tt
hεαα
ARCH过程的性质
该过程表明,如果ε
t-1
异常的偏离他的条件期
望0,那么ε
t
的条件方差要比通常情况下大,
所以有理由预期ε
t
会比较大.这样使得比所以有理由预期会比较大
较大,反之,如果ε
t-1
异常的小,那么条件方
差要比通常情况下小所以有理由预期ε差要比通常情况下小,
t
会比较小.这样使得比较小.虽然方差大
或小会持续端时间但是不会直持续或小会持续一端时间,一直持续
下去,会回到无条件方差上去.
ARCH过程性质
边际期望和边际方差
1
()[(|)][()]0
ttttt
EEEIEhEvεε
?
===
222
1011
2
()()[(|)]()
()
ttttt
VarEEEIE
E
εεεααε
??
===+
011
2
0
()
t
t
E
ααε
α
ε
?
=+
=
1
1α?
ARCH过程性质
边际四阶矩
E(ε
4
t
|I
t－1
)＝3（α
0
＋α
1
ε
2
t-1
）
2
E(
4
)m[3
2
(1+)]/[(1)(13
2
)]ε
t
)=m
4
=α
0
α
1
-α
1
-α
1
四阶矩是正的，所以必须有α
2
1
<1/3
无条件峰度=E(ε
4
t
)/E(ε
2
t
)
2
=3(1-
α
2
)]/(13α
2
)
1
-
1
大于3，所以ε
t
的分布的尾巴比正态分布的
尾巴厚。
ARCH过程特点
令
tttttt
hE?=?=
?
22
1
2
)(εεεη
带入ARCH(1)模型
ttt
εααηε+=?
2
110
2
可以证明是白噪声过程
ttt
ηεααε++=
?
?
2
110
2
可以证明η
t
是白噪声过程
Wecanprovethatη
t
iswhitenoiseprocess
ε
2
t
的形式类似于AR(1)（因为我们没有证明η
t
的
方差是否有界。）
ARCH过程缺点总结
?不能反应波动率的非对称特点
?约束强，要求系数非负，如果要求高阶
矩存在还有更多的约束矩存在，还有更多的约束
?不能解释为什么存在异方差，只是描述
条件差的了条件异方差的行为。
建立ARCH模型
1）建立收益率序列的计量模型，去掉任何
线性关系使用估计的残差检验ARCH效，效
果
估模型2）估计模型
3）检验ARCH模型，根据情况修改模型。）检验模型，。
建立模型
1）建立一个计量模型ARCH过程最常见的
应用是在回归模型。
ttt
XYεβ+
′
=
tptptt
YYcyε??++++=
??
...
11
建立模型
检验残差是否存在条件异方差
?观察残差平方的偏自相关函数，如果q步
截尾则阶数为q截尾，则阶数为
?对残差平方使用Q检验，判断是否存在自
关相关
?使用LM检验法使用检验法
LM检验
222
t
qt
qtt
eeeηβββ++++=
?
?110
"
零假设H
0
：β
i
=0，i=1,2,…,q，即不存在条件
异方差性
检验统计量：LM=TR
2
,T是样本点个数,LM服
从χ
2
(q)分布从分布
建立模型
2）估计模型
tptptt
YYcyε??++++=
??
...
11
ttt
hνε=
22
110qtptt
h
??
+++=εαεαα"
∑
???=
T
t
t
h
hL
2
2
1
)ln(
2
1
)2ln(
2
1
)ln(
ε
π
+=qt
t
1
建立模型
3）检验模型
计算标准化后的残差{e
t
/h
t
1/2
}，根据定义
应该独立同分布N(01)应该独立同分布,
使用Q-检验法检验{e
t
/h
t
1/2
}是否有自相关
使用Q-检验法检验{e
2
t
/h
t
}是否有自相关
预测条件方差
条件方差等于
22
110qtptt
h
??
+++=εαεαα"
2
1
2
10
...)1(
qTqTT
h
?+
+++=εαεαα
2
2
2
1102
...
qTqTT
h
?+++
+++=εαεαα
2
210
...)1()2(
qTqTT
hh
?+
+++=εααα
ARCH模型对条件方差的预测
)()1()(lhlhlh...
10
q
TqTT
?++?+=ααα
时间序列分析时间序列分析
其他GARCH类模型其他类模型
GARCH（p,q）（）
广义自回归条件异方差模型
hνε=
ttt
22
11110qtqtptptt
hhkh
????
++++++=εαεαββ""
GARCH(11),1)
2
11110??
++=
ttt
hkhεαβ
GARCH性质
1)当p=0时成为ARCH过程ARCH过程是GARCH的当时,,的
特例，这也是该过程被称为广义的原因。
2)GARCH过程的含义是条件方差h是hh和ε
t
是
t-1
,…
t-p
和
t-1,
ε
t-q
的函数。
3）参数αi=12q和βi=12p大于零是保）参数
i
,,,…,和
i
,,,…,大于零是保
证条件方差为正的充分条件,而不是必要条件。
4){ε
2
}平稳的条件是α++α+β++β<1这
t
平稳的条件是
1
…
q1
…
p
，这
时{ε
t
}也是宽平稳的。如果α
1
+…+α
p
+β
1
+…+β
p
=1则{ε}过程被称为I--GARCH过程。这时条件方则
t
过程被称为过程。这时条件方
差的特点，或者说波动性的特点为很强的持续性。
GARCH预测
GARCH(1,1)的预测公式
TTT
hh
1
2
10
)1(βεαα++=
)1()()(++=lhlhβαα
110
?
TT
ARMA和GARCH过程的比较
性质白噪声ARMAGARCHARMA-
GARCH
条件均值
条件方差
常数
常数
非常数
常数
0
非常数
非常数
非常数条件方差
条件分布
边际均值
常数
正态
常数
常数
正态
常数
非常数
正态
常数
非常数
正态
常数
和方差
边际分布
正态正态厚尾厚尾
EGARCH
指数广义自回归条件异方差模
型型
rtrtt
vgvg
hhkh
αα
ββ
++
++++=
??
)()(
lnlnln
110
"
tttt
qtqt
Evgθννν+?=
??
|)}(||{|)(
...
11
θ>0同等程度的正扰动引起条件方差的变化比负
扰动要大；θ<0同等程度的正扰动引起条件方差
的变化比负扰动要小;θ=0同等程度的正扰动引
起条件方差的变化与负扰动相等起条件方差的变化与负扰动相等。
EGARCH模型
1）重要特征是引入不对称性）重要特征是引入不对称性
2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后
的条件方差建模，，可以保证方差为对数。
3）可以假设ν~广义误差分布）可以假设
t
广义误差分布
4）假设v
t
是正态分布时E(|v
t
|)=(2/π)
1/2
TGARCH模型
222
bββhhkh
1t11110
S
?
?
????
+++++++=εεαεα
qtqtptptt
""
0;0,1=<=
?
?
?
iiti
SSε
ARCH-M模型
hgXyεδβ++
′
=)(
tttt
()是条件方差的函数通常是hlhg是条件方差的函数通常是
t
，lnh
t
hνε
ttt
=
22
110qtptt
h
??
+++=εαεαα"
ARCH-M模型的应用
条件CAPM模型
)()(?=?
fMifi
RRERREβ
11111
])|([)|(
?????
?Ω+=Ω
fttMtitfttit
RRERREβ
111
)|()|(
???
?Ω=Ω
fttMttMt
RRErE
111
)|()|(
???
Ω=Ω
ittMttMt
rVarrEλ
其他异方差模型
?QARCH----quadraticARCH二次自回归条件异
方差方差
?STARCH----structuralARCH结构自回归条件异
方差
?SWARCH----switchingARCH开关自回归条件异开关自回归条件异
方差
?QTARCH---quantitativethresholdARCH定量门定量门
限自回归条件异方差
DaigonalARCH?
?FactorARCH
条件异方差模型条件异方差模型
例题和演示例题和演示
例题
研究台湾新台币/美圆汇率。即1美圆=---
---台币。
数据区间1994：1116——1995：38：，：，，
每5分钟记录一次，共1341个样本点。
问题：汇率是否是可预测的？汇率市场是
否是不对称的？是否风险越大，要求的
收益率越大？
例题
要回答问题1，需要采用AR模型，检验是
否是一个随机游动；回答问题2和3要用
到EGARCH模型；问题4用到ARCH-M模到模型；用到模
型。所以采用AR-EGARCH-M
例题
首先介绍一些符号用S
t
表示汇率。
R
t
=(lnS
t
-lnS
t-1
)100是汇率的收益率
tttttt
hRRRRελββββ+++++=
???3322110
ttt
hνε=
}|)(||{|lnln
1111110????
+?++=
ttttt
Ehhθννν?αα
β
0
0.0080.068H0:β
0
=0
β
1
-0.625-3.479H0:β
1
=0
β
2
-0.1079-4.965H0:β
2
=0
β01055537H0β0
3
-.-.:
3
=
λ-0.0048-1.916H0:λ=0
α
1
0.959463.266H0:α
1
=0
θ
-0.3766-1.6553H0:θ=0
029123291H00α
0
.-.:α
0
=
φ
1
0.1196-2.683H0:φ
1
=0
例题
如何利用模型解决问题？
汇率是否是可预测的？
H0β0β0β0：
1
=，
2
=，
3
=
汇率市场是否是不对称的？
H0:θ=0
是否风险越大要求的收益率越大是否风险越大，
H0:λ=0
时间序列分析时间序列分析
VaR和GARCH和
风险价值概念
金融机构通常这样描述：
风险价值是一定数额的货币，是对未来
的可能损失的估计具体说是这样一个的可能损失的估计。具体说是这样个
数额的货币，预期一个交易日后，损失
超过该数额货币的可能性是1%超过该数额货币的可能性是
风险价值概念
某银行宣布，“只有1%的可能性，该银行
的资产在一天内的损失会多于350万元。”
要素：置信水平99%－90％；要素：置信水平％；
时间长度：一天－一年；
损失：用绝对损失或比率
在99%的置信水平下一天内他的资产的在的置信水平下，
VaR是350万元。
损失
的
1％
的
概率
密密
度
资产组合损失的可能取值
Barings银行破产VaR分析-2
头寸情况
?空头对敲（shortstraddle)策略:同时卖空
35000份日经指数期货的看跌和看涨期权.如份日经指数期货的看跌和看涨期权如
果市场稳定,那么可以获得巨额期权费,但是
由于神户地震,日经指数一路下跌.由于神户地震日经指数路下跌
?期货组合:N.Leeson赌日经指数会反弹,买入
日经指数期货卖空10年期日本国债期货这日经指数期货,卖空年期日本国债期货.这
两者负相关.
Barings银行破产VaR分析-3
95%的概率对应的VaR
期权组合的VaR=835亿美元期权组合的=8.35亿美元
空头跨坐策略的VaR=2200万美元
总实际损失13亿美元
总VaR=857亿美元总.亿美元
Barings银行内部认为风险为0
方差－协方差法
假设一个管理者有一个资产组合，该组
合只有一种金融资产。
假设该资产的收益率服从正态分布均，均
值20％，标准差30％，当前该组合的价
值为100(MILLION)值为
风险价值的计算
1）一年后该资产的价值的分布
2）一年后损失超过20M的概率有多大，或
者说一年后资产价值小于80M的概率有年后资产价值小于
多大
的概率的大失3）1％的概率下的最大损失？即VaR
一年后资产价格的分布
一年以后资产价值P
1
=P
0
(1+R)
分布是正态分布
均值P(1+02)12100120M均值＝
0
.=.=
标准差＝P
0
0.3=1000.3=30M
P
1
~N(120,30
2
)
问题2
损失超过20M,即P
1
小于80M的概率
p（P
1
<80）
p(Z<[(80120)/30])=-
=p(Z<-1.333)
=9.12%
问题3
p(P
1
P(z
P<120+30(233)501
1
-.=.
损失为100－50.1＝49.9
1%显著水平下的风险价值为49.9，有1％
的可能性一年后的损失超过499M的可能性一年后的损失超过.。
单个股票资产的VaR
表示样本均值
x
s表示样本标准差
与对应的分为数
σαμ)(
1?
Φ+
与α对应的分为数
S表示股票的现值
风险价值＝
))((
1
sxSα
?
Φ+?
AR-GARCH模型
使用IBM公司的数据
r
t
=0.00066-0.0247r
t-2
+ε
t
vhε
t
＝
t
h
t
=0.00000389+0.9073h
t-1
+0.0799ε
2
t-1
t
例题
假设共有9190个数据
r
9189
=－0.00201，r
9190
=－0.0128，
h=000033455
9190
.
一步预测
r
9190
(1)=0.00071
h(1)=00003211
9190
.
例题
5%显著水平下，一天的风险价值为
10，000，000×[0.00071－
165]
00032110
1.65
=-287,700
.
计算15天的风险价值，假设现在是时刻
T15天后的可能损失是多少,
例题
从T到T+15的收益率的预测等于模型对收
益率的一步预测加二步预测一直加到15
步预测步预测
r[15]=r
9190
(1)+…r
9190
(15)=0.00998
对波动率的预测也等于模型中对条件波动
率的一步预测到15步预测之和
15
率步预测到步预测
＝0.0047948
∑
1
)(
l
T
lh
=
例题
5％对应的标准正态分布的分位数＝1.65
15天收益率对应的分布为N(0.00998,
00047948)所以该分布对应的5％分位.,所以该分布对应的％
数为
00479840
0.00998－1.65＝－
0.1039191
.
风险价值等于
10000000010391911039，，×.＝，，
191
多元GARCH模型
?多元GARCH模型，主要目的估计协方差和相关系
数数。
?三类主要的多元GARCH:VECH,对角VECH
BEKKCCC和DCC.和
?VECH
假设有两个变量H是2×2VECH(H)是假设有两个变量
t
是2.VECH(
t
是
?
?
?
?
?
?
=
t
t
t
h
h
HVECH
22
11
)(
?
?
?
?
?
?
=
tt
t
hh
hh
H
1211
?
?
?
?
?
?
=Ξ
t
t
u
1
VECH表示对对称矩阵上半部分的列算子
?
?
?
?t
h
12
tt2221
t
u
2
表示对对称矩阵上半部分的列算子
多元GARCH模型
?
?
?
?
131211
aaa
?
?
?
?
131211
bbb
?
?
?
?
?
?
=
333231
232221
aaa
aaaA
?
?
?
?
?
?
=
333231
232221
bbb
bbbB
??
2
?
?
?
?
=ΞΞ
2
212
211
''
ttt
ttt
uuu
uuu
VECH和对角VECH
?在VECH下,条件方差和协方差
()()()Ξ
′
ΞHVECHBVECHACHVECH
()
?展开矩阵表达式下：
111???
++=
tttt
ttt
HN,0~
1?
Ξψ
22
++++++hbhbhbuuauauach
1123312232111312133
2
232
2
1313112
1122312222111212123
2
222
2
1212122
11213122121111121132121111111
???
???
???
++++++=
++++++=
=
tttttttt
tttttttt
tttttttt
hbhbhbuuauauach
hbhbhbuuauauach
?VECH模型很难估计，对角VECH是假设A和B是
对角矩阵对角VECH模型可以识别比较简单2对角矩阵。对角模型可以识别比较简单,
变量情况下，可以表达成：
2
1112
2
111011??
++
++=
ttt
hh
huh
βββ
ααα
112212111012
1222121022
???
??
++=
=
tttt
ttt
huuh
u
γγγ
BEKK及对M-GARCH的估计
?VECH和对角VECH不能保障得到正定矩阵。
种替代方法是模型?一种替代方法是BEKK模型(Engle&Kroner,1995).
?矩阵表达式下，BEKK模型是：
BBAHAWWH
tttt111???
Ξ
′
Ξ
′
+
′
+
′
=
?极大似然函数:
()()
∑
?
ΞΞ+??=
T
HH
TN
1''
log
1
2logπθA
N是变量个数(假设2个),θ未知参数向量,T是观测值
个数
=t
tttt
1
22
个数.
条件相关系数
例题
?Brooks,Henry,Persand,2002,Optimal
hedgingandthevalueofnews,Journal
ofBusiness,75(2),333-352.
?最优hedgeratio=-(现货与期货协方差/
期货的方差）相关系数×（现货标期货的方差）＝－相关系数×（
准差/期货标准差）
?Brooksetal使用1985－1999年的日数据
，研究FTSE100股票指数与其期货的套，研究
期保值比率。
Eviews6.0操作
?选中变量，右击，选中system，点OK。
?点击estimate,选中arch即可。
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