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典型例題1

　　例1 如圖，△ABC中，D是AB中點，E是AC上的點，且3AE=2AC，CD、BE交于O點.求證：OE=

BE.

　　分析：已知D是AB中點，遇到中點我們應(yīng)當(dāng)考慮到可能要用中位線，有中位線就可以得到線段的一半，同樣可能再得到

線段的一半，從而可以得到某線段的 ；又已知3AE=2AC，得AE= AC，如果取AE中點F，連結(jié)DF就可得到△ABE的一條中位線.

　　證明：取AE中點F，連結(jié)DF，∵D是AB中點，∴DF是△ABE的中位線

　　∴DF=

BE且DF//BE（三角形中位線定理）

　　∵3AE=2AC，∴AE=

AC

　　∴AF=FE=EC=

AC

　　在△CFD中，∵EF=EC且

　　DF//BE即OE//DF，

　　∴CO=DO（過三角形一邊中點，與另一邊平行的直線，必平分第三邊）

　　∴OE是△CDF的中位線

　　∴OE=

DF

　　∴OE=

BE.

　　說明：本題我們做了一條中位線，使得在兩個三角形中可使用中位線定理.遇中點，作中位線是常見的輔助線.

　　例2 已知：如圖，△ABC中，E、F分別是AB、CB的中點，G、H為AC上兩點，且AG=GH=HC，延長EG、FH交于點D.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

　　分析：圖中有兩個中點，兩個三等分點，聯(lián)想到：若分別連結(jié)BG，BH可分別構(gòu)造兩個三角形中位線的環(huán)境，從而得到EG//BH即GD//BH，同理BG//DH，得平行四邊形BHDG，它與四邊形ABCD共對角線BD，那么用對角線互相平分來判定平行四邊形成為可能.

　　證明：分別連結(jié)BG，BH，BD交AC于O

　　∵E是AB中點，AG=GH

　　∴EG是△ABH的一條中位線

　　∴EG//BH，即GD//BH

　　同理可證BG//DH

　　∴四邊形BHDG是平行四邊形.

　　∴BO=OD，GO=OH.

　　又∵AG=HC ∴AG+GO=HC+OH

　　即AO=OC 又BO=OD（已證）

　　∴四邊形ABCD是平行四邊形.

　　說明：有中點條件，一般都需要構(gòu)造中位線環(huán)境或中線環(huán)境.

　　

典型例題2

　　例 已知：如圖，在△ABC中AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，E為AB的中點.

　　求證：CD=2CE.

　　分析：這是證明線段的倍半問題.證明一條線段等于另一條線段的二倍或一半時，常常是先找出短線段的二倍，或者取長線段的一半，設(shè)法把線段的倍半問題轉(zhuǎn)化為證線段的相等問題.這就是通常所說的“加倍”，“折半”的方法.下面我們就把問題轉(zhuǎn)化成證明線段的相等.

　　方法1：找出CD的一半，然后證明CD的一半和CE相等，因此要取CD中點F，證CF=CE.

　　證明：取CD的中點F，連結(jié)BF

　　∴CD=2CF

　　∵AB=BD

　　∴BF是△ADC的一條中位線

　　BF//AC，BF=

AC

　　∴∠2=∠ACB

　　∵AB=AC，∴∠1=∠ACB

　　∴∠1=∠2

　　∵E是AB中點，∴BE=

AB

　　∵BF=

AC，且AB=AC

　　∴BE=BF

　　△BCE和△BCF中

　　

　　∴△BCE≌△BCF（SAS）

　　∴CE=CF

　　∵CD=2CF ∴CD=2CE.

　　方法2：找出CE的2倍，然后證明CE的2倍和CD相等，因此要延長CE到F使EF=CE.證CF=CD.

　　證明：延長CE至F使EF=CE，連結(jié)FB.

　　∴CF=2CE，∠1=∠2

　　∵E為AB中點，∴AE=BE

　　在△AEC和△BEF中

　　

　　∴△AEC≌△BEF（SAS）

　　∴AC=BF，∠3=∠F

　　∴AC//BF

　　∴∠FBC+∠ACB=180⁰

　　∵∠CBD+∠ABC=180⁰

　　∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB

　　∴∠FBC=∠DBC

　　∵AC=AB，AB=BD，AC=BF.

　　∴BF=BD.

　　在△CBF和△CBD中

　　

　　∴△CBF≌△CBD（SAS）

　　∴CD=CF

　　∵CF=2CE

　　∴CD=2CE

　　此題還有其它證法，請同學(xué)們思考.

　　說明：證明線段相等的方法很多，要學(xué)會根據(jù)條件來選擇合適當(dāng)方法.

　　

典型例題3

　　例4  如圖所示，在

中， 于D，M為BC的中點.

　　求證：

　　分析：由中點想中位線是我們解有關(guān)中點問題常用的思維方式，取AC的中點N，連結(jié)MN、DN，

，所以只需證 即可.

　　證明  取AC的中點N，連結(jié)MN、DN.

　　又∵M是BC的中點，

　　∴

.

　　∴

    ∵N是Rt 的中點，

　　∴

，     ∴ .

　　又∵

，  ∴ .

　　

    ∴ ，

　　∴

      .

　　說明：換一個角度來思考這個問題，又有另外的證法：取AB的中點P，連結(jié)PD、MP，則MP為

的中位線，所以PM平行于AC， ，PD是Rt 斜邊AB上的中線，所以 ，∴ ，由三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角之和知： 等于 與 之和，但 等于2 ，所以 等于2 ，所以 ，從而 ，因此 ，命題得證.

　　例5 如圖，四邊形ABCD中，AB=CD，M、N分別為AD、BC的中點，EF⊥MN交AB于E，交CD于F，求證：∠AEF=∠DFE.

　　分析 欲證∠AEF=∠DFE，由MN⊥EF想到延長BA、CD與NM的延長線交于P、Q，只需證明∠EPN=∠Q.如何利用中點的條件？想到三角形的中位線.連線BD，取BD的中點G，則有

由于AB=CD，進(jìn)而有GM=GN，∠GMN=∠GNM.然后再轉(zhuǎn)化∠EPN=∠Q.從而證出結(jié)論.

　　證明 延長BA、CD分別與NM的延長線交于P、Q，連結(jié)BD，取BD的中點G，連結(jié)GM、GN.

　　∵G、M分別為△ABD的邊BD、AD的中點，
　　∴ 

　　同理可得：

　　又∵

　　∵

∥ ∥ ，

　　∴

　　∴

　　∴

（等角的余角相等）

　　說明 添輔助線是證明幾何題的難點，尤其像本題要添多條輔助線，更為困難.掌握一般添輔助線的規(guī)律是必要的，更為重要的是在分析中自然添輔助線，添輔助線是分析問題過程的一個步驟，這是幾何證明的較高層次，要在實踐中仔細(xì)體會，不斷摸索，不斷總結(jié).