菲波那契數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列：
1，1，2，3，5，8，13，21……
這個數(shù)列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和
它的通項公式為：[（1＋√5）/2]^n /√5 － [（1－√5）/2]^n /√5 【√5表示根號5】
很有趣的是：這樣一個完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項公式居然是用無理數(shù)來表達的。
該數(shù)列有很多奇妙的屬性
比如：隨著數(shù)列項數(shù)的增加，前一項與后一項之比越逼近黃金分割0.6180339887……
還有一項性質(zhì)，從第二項開始，每個奇數(shù)項的平方都比前后兩項之積多1，每個偶數(shù)項的平方都比前后兩項之積少1
如果你看到有這樣一個題目：某人把一個8*8的方格切成四塊，拼成一個5*13的長方形，故作驚訝地問你：為什么64＝65？其實就是利用了菲波那契數(shù)列的這個性質(zhì)：5、8、13正是數(shù)列中相鄰的三項，事實上前后兩塊的面積確實差1，只不過后面那個圖中有一條細長的狹縫，一般人不容易注意到
如果任意挑兩個數(shù)為起始，比如5、-2.4，然后兩項兩項地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你將發(fā)現(xiàn)隨著數(shù)列的發(fā)展，前后兩項之比也越來越逼近黃金分割，且某一項的平方與前后兩項之積的差值也交替相差某個值
耐人尋味的斐波那契數(shù)列
湖南省瀏陽市第十中學（410317） 徐樹成
斐波那契（Leonardo Fibonacci，約1170——1250年）是意大利數(shù)學家，中世紀最有才華的數(shù)學家，生于比薩，早年跟隨經(jīng)商的父親到北非的布日伊（今阿爾及利亞東部的小港口貝賈亞），在那里受教育。以后走遍了埃及、希臘、敘利亞、印度、法國等國家。1202年編成《算經(jīng)》（或稱《算盤書》），這本書的出版使他成為一個聞名歐洲的數(shù)學家，他的書保存下來的共有5種。
《算經(jīng)》中記載著一個“兔子問題”，題目是：假定一對大兔子每一個月可以生一對小兔子，而小兔子出生后兩個月就有生殖能力，問從一對大兔子開始，一年后能繁殖成多少對兔子？（假定一年內(nèi)沒有發(fā)生死亡現(xiàn)象）。
用圖表示為：
一月 成
二月 成 未
三月 成 未 成
四月 成 未 成 未 成
五月 成 未 成 未 成 成 未 成
……
易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律：從第3月起，每月的兔子對數(shù)是前面兩個月兔子對數(shù)之和，故1年內(nèi)繁殖成233對兔子。
于是，斐波那契得到一個數(shù)列：1，2，3，5，8，13，21，……，人們?yōu)榧o念他的發(fā)現(xiàn)，在這個數(shù)列前面增加一項“1”后得到：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，稱之為“斐波那契數(shù)列”，這個數(shù)列的任意一項都叫做“斐波那契數(shù)”。
斐波那契數(shù)列：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……
從第三項開始每一項都是數(shù)列中前兩項之和。這個數(shù)列是斐波那契在他的《算盤書》的“兔子問題”中提出的。在問題中他假設(shè)如果一對兔子每月能生一對小兔（一雄一雌），而每對小兔在它出生后的第三個月，又能開始生小兔，如果沒有死亡，由一對剛出生的小兔開始，一年后一共會有多少對兔子？將問題一般化后答案就是，第n個月時的兔子數(shù)就是斐波那契數(shù)列的第n項。斐波那契數(shù)列和黃金分割數(shù)有很密切的聯(lián)系。
斐波那契并沒有把這個問題和這個數(shù)列看得特別重要，在《算盤書》中兔子問題只不過是書里許多問題中并不特別的其中一個罷了。但是在此后的歲月中，這個數(shù)列似乎和題中的高產(chǎn)兔子一樣，引發(fā)了為數(shù)眾多的數(shù)學論文和介紹文章（本文似乎也在步此后塵）。不過在這里我不想介紹浩如煙海的有關(guān)斐波那契數(shù)列的數(shù)學文章，只想欣賞大自然的造化。
在現(xiàn)實的自然世界中，《算盤書》里那樣的神奇兔子自然是找不到的，但是這并不妨礙大自然使用斐波那契數(shù)列。本期封面上是起絨草橢球狀的花頭，你可以看見那上面有許多螺旋。很容易想像，如果從上面俯視下去的話，這些螺旋從中心向外盤旋，有些是順時針方向的，還有些是逆時針方向的。為了仔細觀察這些螺旋，我們挑選另一種具有類似特點的植物——薊，它們的頭部幾乎呈球狀。在下面這個圖里，標出了兩條不同方向的螺旋。我們可以數(shù)一下，順時針旋轉(zhuǎn)的具有13條順時針旋轉(zhuǎn)和21條逆時針旋轉(zhuǎn)的螺旋的薊的頭部（和左邊那條旋轉(zhuǎn)方向相同）螺旋一共有13條，而逆時針旋轉(zhuǎn)的則有21條。而下面這幅圖中的順逆方向螺旋數(shù)目則恰好相反。
具有13條逆時針旋轉(zhuǎn)和21條逆時針旋轉(zhuǎn)的螺旋的薊的頭部
以這樣的形式排列種子、花瓣或葉子的植物還有很多（最容易讓人想到的是向日葵），下面的圖片是一些看起來明顯的例子（可以點擊看大圖），事實上許多常見的植物，我們食用的蔬菜如青菜，包心菜，芹菜等的葉子排列也具有這個特性，只是不容易觀察清楚。盡管這些順逆螺旋的數(shù)目并不固定，但它們也并不隨機，它們是斐波那契序列中的相鄰數(shù)字。這樣的螺旋被稱為斐波那契螺旋。
1.在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列是以遞歸的方法來定義：
* F0 = 0
* F1 = 1
* Fn = Fn - 1 + Fn - 2
用文字來說，就是斐波那契數(shù)列由0和1開始，之后的斐波那契數(shù)就由之前的兩數(shù)相加.
2．遞推公式與斐波那契（Fibonacci）數(shù)列
例 有一個人把一對（雌雄各一）的大兔子放在自家的院子里飼養(yǎng)，他想知道一年后能生出多少對兔子，假定這對大兔子每月可生雌雄各一的一對小兔子，而新生的一對小兔子經(jīng)過一個月可以長成大兔子，以后也是每月產(chǎn)雌雄各一的一對小兔子。問：一年后（也就是到第13個月開始）能生出多少對兔子？
解 由題設(shè)知，第一個月有一對兔子，第二個月開始時有兩對兔子（大、小兔子各一對），第三個月開始，新出生的小兔子剛長成大兔子還不能產(chǎn)仔，只有原來的一對大兔子產(chǎn)仔一對，共有2+1=3對兔子，它是第一、第二兩個月兔子對數(shù)的總和。
第四個月開始時，除第三個月出生的一對兔子不產(chǎn)仔外，其余的兩對兔子都能產(chǎn)仔，共產(chǎn)小兔子2對，與第二個月兔子的對數(shù)相同，因此共有2+3=5對，它等于第二、第三兩個月兔子對數(shù)的總和。
一般地，可這樣考慮：我們用f(n)表示第n個月初兔子的對數(shù)。因為第n個月開始時，除第n-1個月新生的兔子不能產(chǎn)仔外，其余的兔子，即在第n-2個月時已有的兔子都能產(chǎn)仔，而第n-2個月共有兔子數(shù)為f(n-2)對，故第n個月新生的小兔子共有f(n-2)。
又因為第n個月的兔子是由兩部分組成，一部分是在第n-1個月時已有的兔子，共f(n-1)對；另一部分是第n個月新生的小兔子，有f(n-2)對。因此，第n個月共有：
f(n)= f(n-1)+ f(n-2) ①
公式①給出了連續(xù)多年兔子數(shù)之間的關(guān)系，我們稱公式①為遞推公式。
我們已經(jīng)知道：f(1)=1 ,f(2)=2,當n≥3時，利用公式①可以計算出f(n)的值如下：
f(3)=1+2=3 f(4)=3+2=5
f(5)=5+3=8 f(6)=8+5=13
f(7)=13+8=21 f(8)=21+13=34
f(9)=34+21=55 f(10)=55+34=89
f(11)=89+55=144 f(12)=144+89=233
f(13)=233+144=377
解得：一年后（即第13個月）有兔子377對。
若規(guī)定f(0)=1，f(1) =1，由遞推公式①可得到數(shù)列
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…
數(shù)學界把這個數(shù)列叫做斐波那契數(shù)列，以紀念最先得到這個數(shù)列的數(shù)學家[斐波那契（Leonardo Fibonacci）,(約1170~1250)，是意大利數(shù)學家。
