公理法
選取少數(shù)不加定義的原始概念（基本概念）和無條件承認的規(guī)定（公理）作為出發(fā)點，再加以嚴格的邏輯推理，將某一數(shù)學分支建成演繹系統(tǒng)的方法，叫數(shù)學系統(tǒng)的公理化方法，簡稱“公理法”．
兩千多年來，歐幾里得的《幾何原本》在傳播幾何知識方面做出了巨大的貢獻，并一直被人們作為標準的教科書使用．《幾何原本》的特點是建立了一個比較嚴密的幾何體系，提出了幾何學的“根據(jù)”和它的邏輯結構問題．但是，隨著時間的推移，人們逐漸發(fā)現(xiàn)《幾何原本》的體系還存在不少破綻和漏洞，例如使用一些未知的定義來解釋另一個未知的定義，這樣的定義既不能邏輯地確定幾何名詞和術語，也不能在邏輯推理中起作用；《幾何原本》也使用了一些未曾定義的概念，如“連續(xù)”的概念就未定義而被使用．正是由于對《幾何原本》在邏輯結構方面存在的破綻和漏洞的發(fā)現(xiàn)，推動了幾何學的不斷發(fā)展．
1899年，德國數(shù)學家希爾伯特在他的《幾何基礎》一書中，首次用公理化的方法提出了一個比較完善的幾何學的公理系統(tǒng)，即希爾伯特公理體系，克服了《幾何原本》中的一些缺點．
希爾伯特公理體系的主要思想包含：
（1）把幾何中的點、直線、平面等概念，作為不加定義的“原始”概念，叫基本對象．
（2）給出幾何元素的一些基本關系：結合關系、順序關系、合同關系．
（3）規(guī)定了五組公理，用它闡述基本對象的性質．
希爾伯特還提出建立一個公理化體系的原則，即在一個公理體系中，取哪些為公理，應包含多少公理，必須考慮以下三點：
第一，相容性，即各公理必須是互相不矛盾的，同存于一個體系中．
第二，獨立性，即每條公理都是各自獨立的，不能由其他公理推出．
第三，完備性，即體系中所包含的公理應足以推出本學科的任何命題．
歐幾里得的幾何體系實際上是公理化體系的雛形，常稱之為古典公理體系．
公理化方法給幾何學的研究帶來了一個新的觀點．在公理體系中，由于基本對象不加以定義，因此就不必考慮研究對象的直觀形象，只要研究抽象的對象之間的關系、性質．凡符合公理體系的元素都可以作為這個幾何體系的直觀解釋，或稱幾何學的模型．因此，幾何學的研究對象更廣泛，其含義也更抽象．
20世紀以來，由于公理化方法在研究幾何基礎方面所取得的成就，促使公理化方法滲透到數(shù)學的其他分支，諸如代數(shù)、泛函、拓樸等比較抽象的數(shù)學分支的研究．公理化方法對近代數(shù)學的發(fā)展所產生的巨大影響，已成為舉世公認的事實，公理化方法早已超過數(shù)學理論范圍，進入其他自然科學的領域．如本世紀40年代波蘭數(shù)學家巴拿赫完成了理論力學的公理化，物理學家還將相對論表述為公理體系等等．當然，公理化方法若不與實驗方法相結合，不與科學方法相結合，也不會更好地解決和發(fā)現(xiàn)問題．
