從巴西的蝴蝶到德克薩斯的颶風(fēng)
- 盧昌海 -
本文系應(yīng)《科幻世界》雜志的約稿而寫， 但內(nèi)容略多于提交給《科幻世界》的版本 (即 發(fā)表稿)， 并且包含了后者因篇幅所限而略去的注釋。 本文在行文結(jié)構(gòu)上與 發(fā)表稿 也有一定差異。
一. 決定論
在 “時(shí)間旅行: 科學(xué)還是幻想？” 一文的 第 4 節(jié) 中， 我們?cè)岬交煦缋碚撝械囊粋€(gè)概念： 蝴蝶效應(yīng) (butterfly effect)。 這個(gè)效應(yīng)也被稱為對(duì)初始條件的敏感依賴性， 指的是在某些——通常是非線性的——物理體系中， 初始條件的細(xì)微改變有可能對(duì)體系的未來演化產(chǎn)生巨大影響。 它的一種很富詩意的形容， 是說巴西的一只蝴蝶拍動(dòng)翅膀產(chǎn)生的空氣擾動(dòng)， 有可能演變成美國德克薩斯州的一場(chǎng)颶風(fēng)。 這也是蝴蝶效應(yīng)這一名稱的主要由來。 本文將對(duì)這一概念及其歷史做一個(gè)簡單介紹。
我們知道， 人類描述自然的努力， 很大程度上體現(xiàn)在對(duì)自然現(xiàn)象的時(shí)間演化進(jìn)行描述上。 這種描述在許多方面都取得了很大的成功。 早在 300 多年前， 英國科學(xué)家牛頓 (Isaac Newton) 就建立了我們稱為牛頓力學(xué)的理論體系， 對(duì)小至鐘擺、 陀螺， 大至行星運(yùn)動(dòng)的各種自然現(xiàn)象的時(shí)間演化做出了極為精確的描述。 1846 年， 天文學(xué)家們?cè)谂ｎD力學(xué)所預(yù)言的位置近旁發(fā)現(xiàn)了幾十億公里之外的太陽系第 8 大行星——海王星， 成為牛頓力學(xué)最輝煌的成就之一[注一]。
牛頓力學(xué)的成功， 除了體現(xiàn)在對(duì)某些自然現(xiàn)象時(shí)間演化的極為精確的描述外， 還留下了一個(gè)非常重要的遺產(chǎn)， 那就是決定論的思想。 按照這一思想， 從一個(gè)物理體系在某一時(shí)刻的狀態(tài)， 可以推算出它在任何其它時(shí)刻的狀態(tài)。 人們后來知道， 牛頓力學(xué)本身只適用于描述一定范圍內(nèi)的力學(xué)現(xiàn)象， 但它所留下的決定論思想?yún)s適用于幾乎所有已知的物理定律， 甚至在一定程度上包括了被公認(rèn)為是非決定論性的量子力學(xué)[注二]。
那么， 決定論思想所具有的如此廣泛的適用性， 是否意味著我們?cè)谠瓌t上可以對(duì)物理現(xiàn)象作出精確預(yù)言呢？ 在很長一段時(shí)間里， 答案被認(rèn)為是肯定的。 但是， 與這種被認(rèn)為原則上可以做到的精確預(yù)言形成鮮明對(duì)比的， 是實(shí)際上能精確求解的物理問題的稀少。 以天體運(yùn)動(dòng)為例， 人們能精確求解的只有二體問題。 一旦把太陽、 地球和月球這三個(gè)最熟悉的天體同時(shí)考慮進(jìn)去， 就沒法精確求解了[注三]。 又比如流體運(yùn)動(dòng)， 能精確求解的只有一些非常理想的情形， 一旦把象粘滯性那樣最常見的現(xiàn)實(shí)性質(zhì)考慮進(jìn)去， 也就沒法精確求解了。 物理學(xué)家們能精確求解的問題， 大都附加了各種簡化條件。 而真正的自然現(xiàn)象幾乎從來都不滿足那些條件， 從而幾乎沒有一個(gè)是能精確求解的。
幸運(yùn)的是， 在那些無法精確求解的問題中， 有一部分非常接近于某些能精確求解的問題。 比如地球繞太陽的運(yùn)轉(zhuǎn)， 所有其它天體的影響都相當(dāng)微小， 因此這一問題非常接近于能精確求解的二體問題。 而且這兩者的差異還可以通過各種手段加以彌補(bǔ)。 正是由于這些近似手段——包括數(shù)值近似——的存在， 使得物理學(xué)家們雖然很少能精確求解問題， 卻依然能對(duì)很多自然現(xiàn)象的演化做出非常成功的描述。
二. 早期研究
但是， 任何近似手段都必然有誤差， 因此近似手段的有效性有賴于對(duì)誤差的控制。 隨著研究的深入， 物理學(xué)家們開始遇到了一些無法用近似手段來有效處理的問題。 這些問題中有許多都具有蝴蝶效應(yīng)， 它使誤差變得不可控制。 19 世紀(jì)末， 法國科學(xué)家龐加萊 (Henri Poincaré) 在對(duì)三體問題的研究中發(fā)現(xiàn)了一些這樣的問題。 他在《科學(xué)與方法》一書中寫道： “初始條件的微小差異有可能在最終的現(xiàn)象中導(dǎo)致巨大差異”， “預(yù)言變得不可能”。 這或許是對(duì)蝴蝶效應(yīng)最早的明確描述[注四]。 除三體問題外， 流體力學(xué)中的湍流問題也是一種無法用近似手段來有效處理的問題。 據(jù)說德國物理學(xué)家海森堡 (Werner Heisenberg) 曾經(jīng)表示， 有機(jī)會(huì)向上帝提問的話， 他想問上帝為什么會(huì)有相對(duì)論？ 以及為什么會(huì)有湍流？ 他并且補(bǔ)充說： “我確信上帝知道第一個(gè)問題的答案”——言下之意是上帝也未必知道為什么會(huì)有湍流。
當(dāng)科學(xué)家們接觸到包含蝴蝶效應(yīng)的問題或現(xiàn)象時(shí)， 科幻小說家們也在用自己獨(dú)特的方式描述著類似的現(xiàn)象。 比如 1955 年， 美國科幻小說家阿西莫夫 (Isaac Asimov) 寫了一部小說， 叫做《永恒的終結(jié)》(The End of Eternity)。 在這部小說中， 阿西莫夫描述了一群生活在物理時(shí)間之外的人， 他們可以對(duì)人類歷史進(jìn)行修正， 使其更加完美。 但他們企圖為人類創(chuàng)造一個(gè)完美歷史的努力， 在無形中扼殺了人類的創(chuàng)造與探索能力， 使其在與外星生命的競爭中一敗涂地。 幸運(yùn)的是， 人類后來發(fā)現(xiàn)了這一點(diǎn)， 并通過時(shí)間旅行的手段挽回了一切。 在這部小說中阿西莫夫提到： 對(duì)歷史的每一次微小改變， 都有可能以一種無法精確預(yù)言的方式改變數(shù)百萬人的人生軌跡， 這與蝴蝶效應(yīng)的表述顯然有著極大的相似性。 這種出現(xiàn)在科幻小說中的近乎先知先覺的描述， 初看起來很令人吃驚， 其實(shí)并不奇怪。 因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)世界本身就是一種最復(fù)雜的自然現(xiàn)象， 象蝴蝶效應(yīng)那樣的東西， 遠(yuǎn)在它成為科學(xué)研究的對(duì)象之前， 就早已出現(xiàn)在了人們的日常經(jīng)驗(yàn)中。 所謂 “差之毫厘， 謬之千里”、 “牽一發(fā)動(dòng)全身” 等， 都在一定程度上體現(xiàn)了這種效應(yīng)。
但從那些日常體驗(yàn)上升為明確的理論表述， 則是一個(gè)困難得多的問題。
從 19 世紀(jì)末到 20 世紀(jì)中葉， 經(jīng)過龐加萊、 利雅普諾夫 (Aleksandr Lyapunov)、 弗蘭克林 (Philip Franklin)、 馬科夫 (Andrei Andreevich Markov)、 伯克霍夫 (George David Birkhoff) 等人的一系列研究， 人們對(duì)這個(gè)困難得多的問題終于有了一定的認(rèn)識(shí)。 人們發(fā)現(xiàn)， 對(duì)于滿足一定條件的物理體系來說， 只有周期性或近周期性 (near periodic) 的運(yùn)動(dòng)才不會(huì)因?yàn)槌跏紬l件的細(xì)微改變而產(chǎn)生劇烈變動(dòng)。 依照這個(gè)結(jié)果， 如果運(yùn)動(dòng)是非周期性的， 那么初始條件的細(xì)微改變就會(huì)對(duì)體系的演化造成巨大影響。 因此， 這個(gè)結(jié)果不僅確立了蝴蝶效應(yīng)的存在， 而且還對(duì)它的產(chǎn)生條件給出了一定的描述。 但是， 那時(shí)侯人們最感興趣的只是周期運(yùn)動(dòng)， 因此有關(guān)非周期運(yùn)動(dòng)的結(jié)果雖可作為推論得到， 在當(dāng)時(shí)的學(xué)術(shù)文獻(xiàn)中卻極少提及。 正因?yàn)槿绱耍?十幾年后當(dāng)美國科學(xué)家洛倫茲 (Edward Norton Lorenz) 在數(shù)值計(jì)算中再次遭遇蝴蝶效應(yīng)的時(shí)侯， 依然感到了極大的驚訝。 也正因?yàn)槿绱耍?發(fā)現(xiàn)蝴蝶效應(yīng)的榮譽(yù)在很大程度上被后人歸到了洛倫茲的頭上。
三. 模擬天氣
洛倫茲是一位資深的氣象學(xué)家， 早在二戰(zhàn)時(shí)期就在美國軍方機(jī)構(gòu)從事氣象預(yù)測(cè)研究。 戰(zhàn)爭結(jié)束后， 洛倫茲來到了麻省理工學(xué)院 (MIT)， 繼續(xù)從事研究工作。 從理論上預(yù)測(cè)氣象變化——尤其是給出長期預(yù)測(cè)——是氣象學(xué)家們夢(mèng)寐以求的目標(biāo)。 但這一目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)卻始終困難重重。 這種困難是不難理解的， 因?yàn)榈厍虻拇髿鈱邮且粋€(gè)巨大的流體系統(tǒng)， 所有流體力學(xué)所具有的復(fù)雜性， 包括那個(gè)連上帝也未必知道起源的湍流問題， 都會(huì)出現(xiàn)在大氣層中。 更何況， 大氣層的行為與海洋、 地表、 日照等各種復(fù)雜的外部條件都有著密切關(guān)系； 而且大氣層的組成相當(dāng)復(fù)雜， 其中有些組成部分——如水汽——的形態(tài)還常常會(huì)在氣態(tài)、 液態(tài)、 及固態(tài)之間變化。 所有這一切， 都使得氣象預(yù)測(cè)成為了一個(gè)極其困難的課題。
在洛倫茲從事氣象研究的時(shí)侯， 從理論上預(yù)測(cè)氣象變化主要有兩類方法。 一類被稱為動(dòng)力氣象學(xué) (dynamic meteorology)， 這類方法主要是把大氣層看作一個(gè)流體系統(tǒng)， 然后選取一些重要的物理量——如溫度、 風(fēng)速等——進(jìn)行研究。 由于問題的高度復(fù)雜， 人們還把大氣層像切蛋糕一樣分割成許多區(qū)域， 每個(gè)區(qū)域都用一個(gè)點(diǎn)來代表。 顯然， 這是極其粗糙的近似， 但即便如此， 整個(gè)大氣層的狀態(tài)往往還是需要幾百萬甚至更大數(shù)目的變量來描述[注五]。 換句話說， 即便是求解一個(gè)非常粗糙的氣候模型， 往往也需要處理帶有幾百萬個(gè)未知數(shù)的方程組。 這無疑是極其困難的 (但不是完全沒有希望的)。 除了動(dòng)力氣象學(xué)外， 還有一類方法被稱為天氣學(xué) (synoptic meteorology)， 這類方法的特點(diǎn)是把對(duì)氣候影響最大的一些大氣結(jié)構(gòu)， 比如各種氣旋， 直接作為研究對(duì)象。 天氣學(xué)所使用的規(guī)律， 有許多是描述那些大氣結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗(yàn)規(guī)律， 而不是象流體力學(xué)那樣系統(tǒng)性的物理理論。 從這個(gè)意義上講， 天氣學(xué)不如動(dòng)力氣象學(xué)那樣基本。 但天氣學(xué)的優(yōu)點(diǎn)， 是把從動(dòng)力氣象學(xué)角度看非常復(fù)雜的某些大氣結(jié)構(gòu)作為了基本單元， 從而有著獨(dú)特的簡化性。
洛倫茲所采用的主要是天氣學(xué)方法。 經(jīng)過大量的簡化后， 洛倫茲得到了一個(gè)含有 14 個(gè)變量， 且其中有一到兩個(gè)變量的影響可以忽略的模型。 但即使那樣的模型用手工計(jì)算也是非常困難的， 于是洛倫茲決定借助計(jì)算機(jī)的幫助。 當(dāng)時(shí)是 1959 年， 距離個(gè)人計(jì)算機(jī)的問世還有二十幾年。 洛倫茲所使用的機(jī)器用今天的標(biāo)準(zhǔn)來衡量是極為簡陋的： 體積龐大， 噪音驚人， 內(nèi)存卻只有今天普通個(gè)人計(jì)算機(jī)內(nèi)存的百萬分之一。 經(jīng)過幾個(gè)月的努力 (主要是編程)， 洛倫茲終于在那臺(tái)機(jī)器上運(yùn)行起了他的模擬天氣。
四. 奇怪的結(jié)果
日子平靜地流逝著， 洛倫茲與同事們間或地就模擬天氣的演變打上一些小賭， 聊以消遣。 終于有一天， 洛倫茲決定對(duì)某一部分計(jì)算進(jìn)行更為仔細(xì)的分析。 于是他從原先輸出的計(jì)算結(jié)果中選出了一行數(shù)據(jù)——相當(dāng)于某一天的天氣狀況——作為初始條件輸入了程序。 機(jī)器從那一天的數(shù)據(jù)開始了運(yùn)行， 洛倫茲則離開了辦公室， 去喝一杯悠閑的咖啡。 中國的神話故事中有所謂 “洞中方一日， 世上已千年” 的傳說， 洛倫茲的那杯咖啡就喝出了那樣的境界。 一個(gè)小時(shí)后， 當(dāng)他回到實(shí)驗(yàn)室時(shí)， 他的模擬世界已經(jīng)運(yùn)行了兩個(gè)月。 洛倫茲一看結(jié)果， 不禁吃了一驚！ 因?yàn)樾碌挠?jì)算結(jié)果與原先的大相徑庭。
這一結(jié)果為什么令人吃驚呢？ 因?yàn)檫@次計(jì)算所用的初始條件乃是從舊數(shù)據(jù)中選出來的。 既然初始條件是舊的， 所得的結(jié)果——在與舊數(shù)據(jù)可以比較的范圍內(nèi)——理應(yīng)也跟舊數(shù)據(jù)相同， 卻怎么會(huì)大相徑庭呢？ 洛倫茲的第一個(gè)反應(yīng)是機(jī)器壞了——這在當(dāng)時(shí)是經(jīng)常發(fā)生的事情。 但是， 當(dāng)他對(duì)結(jié)果做了更仔細(xì)的檢驗(yàn)后， 很快排除了那種可能性。 因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)， 新舊計(jì)算的結(jié)果雖然最終大相徑庭， 但在一開始卻很相似， 兩者的偏差是在經(jīng)過了一段指數(shù)增長過程之后才徹底破壞相似性的。 如果機(jī)器壞了， 是沒有理由出現(xiàn)這種 “有規(guī)律” 的偏差的。
既然機(jī)器沒有問題， 那么究竟是什么原因造成了新舊計(jì)算之間的巨大偏差呢？ 洛倫茲很快找到了答案。 原來， 洛倫茲的程序在運(yùn)行時(shí)保留了十幾位有效數(shù)字， 但在輸出時(shí)為了讓所有變量的數(shù)值能打印在同一行里， 他對(duì)每個(gè)變量都只保留了小數(shù)點(diǎn)后 3 位有效數(shù)字。 因此， 當(dāng)洛倫茲把以前輸出的數(shù)據(jù)——即所謂舊數(shù)據(jù)——作為初始條件輸入新一輪計(jì)算時(shí)， 它與原先計(jì)算中保留了十幾位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)相比， 已經(jīng)有了微小的偏差。 洛倫茲的計(jì)算表明， 在他的模擬系統(tǒng)中， 這些微小的偏差每隔 4 天就會(huì)翻一番， 直至新舊數(shù)據(jù)間的相似性完全喪失為止。
這正是蝴蝶效應(yīng)！
由于蝴蝶效應(yīng)的存在， 洛倫茲意識(shí)到長期天氣預(yù)報(bào)是注定不可能有高精度的。 因?yàn)槲覀冇肋h(yuǎn)不可能得到絕對(duì)精確的初始條件， 而且由于任何計(jì)算設(shè)備的內(nèi)存都是有限的， 我們?cè)谟?jì)算過程中也永遠(yuǎn)不可能保留無限的精度， 所有這些誤差都會(huì)因蝴蝶效應(yīng)的存在而迅速 (指數(shù)性地) 擴(kuò)大， 從而不僅使一切高精度的長期氣象預(yù)測(cè)成為泡影， 而且葬送了建立在決定論思想之上的對(duì)物理現(xiàn)象進(jìn)行精確預(yù)言的夢(mèng)想[注六]。
蝴蝶效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)還讓洛倫茲回憶起一件他念本科時(shí)發(fā)生的事情。 那是在 20 世紀(jì) 30 年代， 當(dāng)時(shí)他所在的鎮(zhèn)上有許多學(xué)生迷上了彈球游戲 (pinball game)， 那是一種讓小球在一張插有許多小針的傾斜桌子上經(jīng)過多次碰撞后進(jìn)入特定小孔的游戲。 當(dāng)?shù)卣胍越官€博為由禁止這種游戲， 但游戲的支持者們爭辯說這不是賭博， 而是一種有關(guān)擊球準(zhǔn)確度的技巧比賽。 他們的理由一度說服了政府官員， 因?yàn)楫?dāng)時(shí)大家并不知道彈球游戲其實(shí)包含了蝴蝶效應(yīng)， 從而無論多高明的技巧都是無濟(jì)于事的。
五. 從蝴蝶到颶風(fēng)
發(fā)現(xiàn)蝴蝶效應(yīng)后的第二年， 即 1960 年， 洛倫茲在一次學(xué)術(shù)會(huì)議上粗略地提及了自己的發(fā)現(xiàn)， 但沒有發(fā)表詳細(xì)結(jié)果。 會(huì)議之后， 洛倫茲感到自己的模型仍然太復(fù)雜， 他決定尋找更簡單的模型。 1961 年， 他從同事索茲曼 (Barry Saltzman) 那里得到了一個(gè)只含 7 個(gè)變量 (即比他自己的模型少了一半的變量) 的流體力學(xué)模型[注七]。 經(jīng)過研究， 洛倫茲很快發(fā)現(xiàn)， 在索茲曼的模型中， 有 4 個(gè)變量的數(shù)值很快就會(huì)變得可以忽略。 因此， 這一模型的真正行為可以用一個(gè)只含 3 個(gè)變量的方程組來描述， 這個(gè)只含 3 個(gè)變量的方程組后來被冠上了洛倫茲的大名， 稱為洛倫茲方程組 (Lorenz equations)。 利用這一方程組， 洛倫茲再次確認(rèn)了蝴蝶效應(yīng)的存在[注八]， 并于 1963 年在《大氣科學(xué)雜志》(Journal of the Atmospheric Sciences) 上發(fā)表了題為 “確定性非周期流” (Deterministic Nonperiodic Flow) 的論文， 正式公布了自己的結(jié)果。
不過， 無論是洛倫茲的原始論文， 還是此后若干年內(nèi)的其它有關(guān)著作， 都沒有直接使用 “蝴蝶效應(yīng)” 這一名稱。 洛倫茲本人有時(shí)用海鷗造成的大氣擾動(dòng)來比喻初始條件的細(xì)微改變。 “蝴蝶” 這一 “術(shù)語” 的使用是在 9 年后的 1972 年。 那一年洛倫茲要在華盛頓的一個(gè)學(xué)術(shù)會(huì)議上做報(bào)告， 卻沒有及時(shí)提供報(bào)告的標(biāo)題。 于是會(huì)議組織者梅里利斯 (Philip Merilees) “擅作主張” 地替洛倫茲擬了一個(gè)題目： “巴西的蝴蝶拍動(dòng)翅膀會(huì)引發(fā)德克薩斯的颶風(fēng)嗎？” (Does the flap of a butterfly's wings in Brazil set off a tornado in Texas?)。 就這樣， 美麗的蝴蝶隨著梅里利斯的想象飛進(jìn)了科學(xué)術(shù)語之中[注九]。
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| 洛侖茲奇怪吸引子 |
除上述原因之外， “蝴蝶效應(yīng)” 的得名還有另外一個(gè)原因， 那就是洛倫茲模型中有一個(gè)所謂的奇怪吸引子 (strange attractor)， 它的形狀從一定的角度看很象一只展翅的蝴蝶 (見右圖)。 不過 “蝴蝶效應(yīng)” 這一名稱的最終風(fēng)行， 在很大程度上要?dú)w因于美國科普作家格雷克 (James Gleick) 的科普作品《混沌：開創(chuàng)新科學(xué)》(Chaos: Making a New Science)。 這部作品被譯成了多國文字， 對(duì)混沌理論 (蝴蝶效應(yīng)是混沌理論的一部分) 在世界范圍內(nèi)的熱播起了極大的促進(jìn)作用的作品的第一章的標(biāo)題就是 “蝴蝶效應(yīng)”。 2004 年， 蝴蝶效應(yīng)甚至被搬上了銀幕， 成為一部科幻影片——雖然是不太成功的影片——的片名。
蝴蝶效應(yīng)及混沌理論在世界范圍內(nèi)的風(fēng)行， 一度使許多人產(chǎn)生一種錯(cuò)覺， 以為物理學(xué)的又一次革命到來了。 在這種 “激情” 的鼓舞下， 這一領(lǐng)域涌現(xiàn)出了大量文章， 其中包括不少低水平及浮夸的工作。 從物理學(xué)的角度講， 蝴蝶效應(yīng)及混沌理論并不包含新的原理性的東西， 它們對(duì)物理學(xué)的最大啟示是： 形式上簡單的物理學(xué)定律有可能包含巨大的復(fù)雜性， 從而有可能解釋比我們?cè)?jīng)以為的更為廣闊的自然現(xiàn)象。 這一點(diǎn)早在洛倫茲的論文發(fā)表之前， 就已經(jīng)被一些物理學(xué)家注意到了。 20 世紀(jì) 60 年代初， 美國物理學(xué)家費(fèi)曼 (Richard Feynman) 在給本科生講課——那些課程的內(nèi)容后來匯集成了著名的《費(fèi)曼物理學(xué)講義》(The Feynman Lectures on Physics)——時(shí)， 就非常清晰地闡述了這一點(diǎn)。 他在介紹了流體力學(xué)中的若干復(fù)雜性之后這樣寫道：
對(duì)物理學(xué)懷有莫名恐懼的人常常會(huì)說， 你無法寫下一個(gè)關(guān)于生命的方程式。 嗯， 也許我們能夠。 事實(shí)上， 當(dāng)我們寫下量子力學(xué)方程式 Hψ = i?ψ/?t 的時(shí)候， 我們很可能就已在足夠近似的意義上擁有了這樣的方程式。 我們剛才就看到了事物的復(fù)雜性可以多么容易且富有戲劇性地逃脫描述它們的方程式的簡單性。
費(fèi)曼曾經(jīng)希望人類的下一次智力啟蒙會(huì)帶給我們理解物理定律復(fù)雜內(nèi)涵的方法。 混沌理論的發(fā)展部分地體現(xiàn)了費(fèi)曼的希望， 但今天我們對(duì)這一領(lǐng)域的了解， 在很大程度上依賴于計(jì)算技術(shù)的發(fā)展， 與真正的智力啟蒙還有一定的距離。 真正的智力啟蒙究竟會(huì)出現(xiàn)在什么時(shí)候？ 也許就像洛倫茲的天氣一樣， 誰也無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)， 但我們會(huì)拭目以待。
參考文獻(xiàn)
二零零六年七月二十三日寫于紐約
二零零六年十一月九日發(fā)表于本站
二零一四年九月二十四日最新修訂
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