作者:南京大學(xué)哲學(xué)系 鄭毓信 錄入時(shí)間:2006-3-2 閱讀次數(shù):528
筆者近期應(yīng)邀參加了由中國(guó)教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)在安徽省黃山市舉行的“全國(guó)第七屆深化小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革觀摩交流會(huì)”。有不少收獲與體會(huì)，也因此而想到了一些問(wèn)題。特寫(xiě)成此文與各位同行、特別是廣大一線教師與教研員交流，希望能引起思考、討論，從而也就能夠更好地促進(jìn)數(shù)學(xué)課程改革的深入發(fā)展。文中將涉及會(huì)上所觀摩的部分課程；但應(yīng)申明的是，本文并非對(duì)于相關(guān)課程的具體評(píng)價(jià)，而只是以此為背景進(jìn)行分析從而引出相關(guān)的意見(jiàn)。事實(shí)上，由以下的論述可以看出，筆者在此所涉及的并不僅僅是教學(xué)方法的問(wèn)題，而且也直接關(guān)系到了教材、乃至《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的適當(dāng)性，從而，總的來(lái)說(shuō)，這也就是筆者選擇“由幾節(jié)觀摩課說(shuō)開(kāi)去”這樣一個(gè)題目的重要原因之一。
另外，筆者選擇這一題目還表明了這樣一個(gè)認(rèn)識(shí)：在對(duì)各個(gè)具體課例進(jìn)行分析評(píng)論時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)超出課例本身而從更為一般的角度去進(jìn)行研究，也即不應(yīng)局限于如何改進(jìn)這一特定內(nèi)容的教學(xué)這一具體目標(biāo)，而是應(yīng)當(dāng)使得相關(guān)的分析具有更大的普遍意義。值得指出的是，后者事實(shí)上也就是國(guó)際數(shù)學(xué)教育界關(guān)于“教師研究”現(xiàn)狀的一個(gè)分析，即是認(rèn)為我們既應(yīng)大力提倡一線教師積極地去從事教學(xué)研究（從而，這也就應(yīng)當(dāng)被看成一線教師的一個(gè)新的定位：“作為研究者的教師”），同時(shí)則又應(yīng)當(dāng)注意克服這類(lèi)研究所經(jīng)常表現(xiàn)出來(lái)的局限性并使之發(fā)揮更大的作用。（詳可見(jiàn)[1]）希望本文在這一方面也能起到一定的啟示作用。
一、 課例之一：“生活中的負(fù)數(shù)”
這是課程改革以后新引入小學(xué)數(shù)學(xué)課程的一項(xiàng)內(nèi)容。對(duì)此可見(jiàn)北師大版小學(xué)新教材四年級(jí)（上冊(cè)）第90～92頁(yè)。這次會(huì)上共有兩位教師選擇了這一課題。
從教學(xué)的角度看，這一內(nèi)容屬于“概念教學(xué)”的范圍，從而我們?cè)诖司蛻?yīng)特別注意以下兩個(gè)方面的問(wèn)題，因?yàn)椋@事實(shí)上即可被看成搞好“概念教學(xué)”的關(guān)鍵所在：第一，應(yīng)當(dāng)清楚地指明引入相關(guān)概念（及其符號(hào)表示）的必要性和合理性；第二，應(yīng)將新引入的概念和相關(guān)知識(shí)與學(xué)生所已掌握的概念和相關(guān)知識(shí)很好地聯(lián)系起來(lái)，包括實(shí)現(xiàn)必要的同化與順應(yīng)。
由此可見(jiàn)，就“生活中的負(fù)數(shù)”這一內(nèi)容的教學(xué)而言，教師本人首先就應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)到這樣一點(diǎn)：生活中存在兩種不同性質(zhì)的量：標(biāo)量與矢量；而負(fù)數(shù)的引入則就是為了清楚地表明量的方向性（這正是矢量的主要特征）；進(jìn)而，又只有通過(guò)正負(fù)數(shù)的對(duì)照，我們才能準(zhǔn)確地表明量的方向性（包括負(fù)數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義），而這事實(shí)上也就是在新舊概念之間建立起了一定的聯(lián)系，或者說(shuō)，即是將兩者（指正負(fù)數(shù)，當(dāng)然還要加上零）同時(shí)整合到了一個(gè)新的概念框架（有理數(shù)）之中。
特殊地，筆者以為，只要我們?cè)诮虒W(xué)中很好地突出“正負(fù)數(shù)表示日常生活中具有相反方向的量”這樣一個(gè)基本認(rèn)識(shí)，以下的問(wèn)題也就不難得到解決：0是否可以被看成負(fù)數(shù)？另外，也正是從這樣的角度去分析，筆者以為，將“相反方向上的量”說(shuō)成“相反意義上的量”就是不夠恰當(dāng)?shù)?，?duì)此例如由以下的問(wèn)題即可清楚地看出：我們能否用正負(fù)數(shù)來(lái)表示速度的快慢、物體的輕重？等等。
再者，就負(fù)數(shù)的表示而言，我們則就突出地遇到了“選擇的合理性”的問(wèn)題。這也就是說(shuō)，我們?cè)诖瞬粌H應(yīng)當(dāng)積極地鼓勵(lì)學(xué)生自由地去創(chuàng)造各種不同的表示方法，而且也應(yīng)十分重視如何能夠通過(guò)不同方法的比較，清楚地指明現(xiàn)代符號(hào)方法的優(yōu)越性。特殊地，也正是基于這樣的認(rèn)識(shí)，筆者以為，我們?cè)诮虒W(xué)中或許不應(yīng)惟一地去強(qiáng)調(diào)“中國(guó)是世界上最早認(rèn)識(shí)和應(yīng)用負(fù)數(shù)的國(guó)家”，而且也應(yīng)清楚地指明“用不同顏色的算籌表示正負(fù)數(shù)”這一傳統(tǒng)做法的局限性，從而就可更為清楚地指明引入適當(dāng)?shù)谋硎痉椒ǎǚ?hào)）的重要性。
其次，如果說(shuō)以上的論述主要是從“概念教學(xué)”這一角度去進(jìn)行分析的，那么，“生活中的負(fù)數(shù)”顯然還涉及到了課程改革中另一十分普遍和重要的問(wèn)題，即是應(yīng)當(dāng)如何去處理“生活數(shù)學(xué)”與“學(xué)校數(shù)學(xué)”的關(guān)系，特別是，我們是否應(yīng)當(dāng)、又應(yīng)在多大程度上超越實(shí)際生活并上升到抽象的高度。
例如，以下顯然就可被看成上述問(wèn)題的一個(gè)具體反映：在“生活中的負(fù)數(shù)”的教學(xué)中，我們是否應(yīng)當(dāng)提及正負(fù)數(shù)的“相對(duì)性”，即如在所謂的“收支問(wèn)題”上是否一定要以“收入”為“正”、以“支出”為“負(fù)”，而是否也可以“支出”為“正”、以“收入”為“負(fù)”？較為一般地說(shuō)，后者事實(shí)上也就可以被看成密切聯(lián)系教學(xué)實(shí)踐積極地去開(kāi)展教學(xué)研究的一個(gè)重要選題，包括學(xué)生的可接受性，什么是適當(dāng)?shù)?#8220;度”，什么又是適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，等等。因?yàn)?，就只有通過(guò)積極的實(shí)踐與深入的研究，我們才能對(duì)上述問(wèn)題給出明確的解答。應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，后者事實(shí)上也應(yīng)成為《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的研制與教材編寫(xiě)工作所應(yīng)遵循的一個(gè)普遍原則！
最后，也正是從后一角度去分析，筆者以為，我們?cè)诖擞謶?yīng)深入地去思考這樣一個(gè)問(wèn)題：如果說(shuō)負(fù)數(shù)（更為一般地說(shuō)，即是有理數(shù)）這一概念在整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)課程中只是在“生活中的負(fù)數(shù)”這一課程中有惟一的一次出現(xiàn)，而在這一課程以后學(xué)生則要遲至兩年后等升入了中學(xué)才會(huì)再次接觸到負(fù)數(shù)，那么，我們究竟為什么要在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中安排這一內(nèi)容？在學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)了這一課程內(nèi)容以后究竟又造成了什么樣的進(jìn)步與變化，特別是，與其通過(guò)日常生活形成的相關(guān)知識(shí)相比，通過(guò)這一課程的學(xué)習(xí)究竟有什么樣的進(jìn)步或提高？更為一般地說(shuō)，筆者以為，這事實(shí)上也就是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的研制者、各類(lèi)教材的編寫(xiě)者以至廣大的數(shù)學(xué)教師所應(yīng)經(jīng)常思考的一個(gè)問(wèn)題：我們不僅應(yīng)當(dāng)關(guān)注我們?cè)?#8220;教什么（what）”，而且也應(yīng)更為深入地去思考“為什么（why）要教這一內(nèi)容？”“相應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)對(duì)于學(xué)生的提高而言究竟又產(chǎn)生了怎樣（how）的作用？”
二、 課例之二：“長(zhǎng)方形的面積”
“長(zhǎng)方形的面積”應(yīng)當(dāng)說(shuō)是各種教學(xué)觀摩與教學(xué)比賽中所經(jīng)常選用的一個(gè)題材。這次會(huì)議上也有兩位教師選擇了這一內(nèi)容。對(duì)于相關(guān)內(nèi)容可見(jiàn)人教版小學(xué)新教材四年級(jí)（上冊(cè)）第97～98頁(yè)。
與“生活中的負(fù)數(shù)”不同，“長(zhǎng)方形的面積”應(yīng)當(dāng)說(shuō)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)中另外一種最為基本的類(lèi)型：法則的學(xué)習(xí)；進(jìn)而，以下則又可以被看成搞好“法則教學(xué)”的關(guān)鍵所在：我們應(yīng)當(dāng)切實(shí)避免“機(jī)械學(xué)習(xí)”（包括機(jī)械記憶與單純模仿性的練習(xí)）并幫助學(xué)生很好地做到“理解學(xué)習(xí)”。
對(duì)于上述提法我想大多數(shù)教師都會(huì)持贊同的態(tài)度；然而，就現(xiàn)實(shí)的教學(xué)活動(dòng)而言，我們卻又會(huì)經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一些相反的做法，特別是，就“長(zhǎng)方形的面積”這樣的教學(xué)內(nèi)容而言，不管教師如何去教，至少?gòu)谋砻嫔峡磳W(xué)生似乎都能很好地掌握相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容，也即能夠利用長(zhǎng)方形的面積公式正確地求得各種長(zhǎng)方形的面積，包括順利地求解各個(gè)相關(guān)的“實(shí)際問(wèn)題”。因此，這也往往就在很大程度上模糊了“機(jī)械學(xué)習(xí)”與“理解學(xué)習(xí)”的重要區(qū)別。
為了更清楚地說(shuō)明問(wèn)題，在此還可提及旅美學(xué)者馬力平的相關(guān)研究：正是通過(guò)中美小學(xué)數(shù)學(xué)教師的比較研究，馬力平發(fā)現(xiàn)，美國(guó)教師往往只知道如何去從事計(jì)算，卻不能清楚地說(shuō)明相關(guān)算法的合理性，與此相對(duì)應(yīng)，他們?cè)诮虒W(xué)中也往往只是局限于直接給出相關(guān)的算法，并要求學(xué)生牢固地予以記憶；與此相對(duì)照，中國(guó)的小學(xué)教師則不僅知其然而且知其所以然，即在數(shù)學(xué)上達(dá)到了更深的理解，另外，他們?cè)诮虒W(xué)中也突出強(qiáng)調(diào)了對(duì)于相應(yīng)算法的理解。從而，對(duì)于“理解學(xué)習(xí)”的高度重視事實(shí)上就可被看成我國(guó)數(shù)學(xué)教育（學(xué)）優(yōu)秀傳統(tǒng)的一個(gè)重要方面，對(duì)此我們?cè)诮虒W(xué)中自然就應(yīng)很好地繼承和發(fā)揚(yáng)。應(yīng)當(dāng)指出的是，后者事實(shí)上也就是美國(guó)數(shù)學(xué)教育界在面對(duì)上述結(jié)論時(shí)所采取的一個(gè)普遍立場(chǎng)。例如，以下就是評(píng)論者對(duì)于馬力平的相關(guān)著作的一個(gè)基本評(píng)價(jià)：“任何關(guān)心美國(guó)數(shù)學(xué)教育的人都應(yīng)讀這本書(shū)，并認(rèn)真從中吸取教益。”
綜上可見(jiàn)，在“長(zhǎng)方形的面積”的教學(xué)中我們就不應(yīng)滿足于幫助學(xué)生較好地掌握了相關(guān)的法則，而且也應(yīng)十分重視如何能夠幫助學(xué)生很好地理解這一公式的合理性。
其次，就“長(zhǎng)方形的面積”的教學(xué)而言，我們又應(yīng)突出地強(qiáng)調(diào)這樣一點(diǎn)：這一學(xué)習(xí)內(nèi)容十分清楚地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的一個(gè)重要內(nèi)涵：“活動(dòng)的內(nèi)化。”
具體地說(shuō)，正如人們所普遍了解的，著名兒童心理學(xué)家皮亞杰即已明確地指出了“內(nèi)化”對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的特殊重要性，這一結(jié)論并已由現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)的研究得到了進(jìn)一步的證實(shí)。①這就是說(shuō)，如果我們始終只是停留于實(shí)際操作的層面，而未能在頭腦中實(shí)現(xiàn)必要的重構(gòu)或認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組，則就根本不可能發(fā)展起任何真正的數(shù)學(xué)思維。
從而，在筆者看來(lái)，這事實(shí)上也就應(yīng)當(dāng)被看成“長(zhǎng)方形的面積”的教學(xué)的又一關(guān)鍵所在，即是應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生由實(shí)際操作（即如用單位面積的正方形紙片實(shí)際去鋪滿所需測(cè)量面積的長(zhǎng)方形，或是在所需測(cè)量面積的長(zhǎng)方形圖形之上具體地畫(huà)出單位面積的小正方形，等等）逐步地過(guò)渡到“用思維去把握對(duì)象”。例如，在筆者看來(lái)，就只有從這樣的角度去分析，我們才能更好地去理解以下一些做法的意義，包括由“全部鋪滿”逐步過(guò)渡到“鋪一部分”、乃至“連鋪都不用鋪了”……以及“現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們閉上眼睛，老師說(shuō)出一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，請(qǐng)你在頭腦中想像出這個(gè)長(zhǎng)方形的面，再說(shuō)出它的面積！……”
更為一般地說(shuō)，筆者以為，以上的分析也可被看成從一個(gè)側(cè)面十分清楚地表明了這樣一點(diǎn)：“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)可以、而且也應(yīng)當(dāng)很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維。”進(jìn)而，后者事實(shí)上則又可以被看成密切聯(lián)系教學(xué)實(shí)踐積極開(kāi)展教學(xué)研究的又一十分重要的選題。對(duì)此我們?cè)谝韵乱矊⒙?lián)系其他一些課例作出進(jìn)一步的分析。
三、 課例之三：“多位數(shù)乘一位數(shù)”
這是這次會(huì)上所展示的惟一一堂計(jì)算課。相關(guān)內(nèi)容可見(jiàn)人教版小學(xué)新教材三年級(jí)（上冊(cè)）第66～67頁(yè)。
從教學(xué)的角度看，這一題材顯然也可被歸屬于“法則學(xué)習(xí)”的范圍，從而以上關(guān)于“理解學(xué)習(xí)”的論述對(duì)此也就是完全適用的。另外，筆者在此之所以要特別提及這樣一堂課，主要地則是為了對(duì)“數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)”這一論題作出進(jìn)一步的分析。
究竟什么是數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)？或者說(shuō)，與一般科學(xué)家（如物理學(xué)家）相比，數(shù)學(xué)家們?cè)谒季S方法上究竟有什么獨(dú)特的地方？在20年前出版的一部著作《數(shù)學(xué)方法論入門(mén)》中，筆者曾借用國(guó)外學(xué)術(shù)界中十分流行的一則“笑話”對(duì)此作了如下的說(shuō)明：
“有人提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：‘假設(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺及火柴，你想燒些開(kāi)水，應(yīng)當(dāng)怎樣去做？’對(duì)此，某人回答說(shuō)：‘在壺中放上水，點(diǎn)燃煤氣，再把壺放到煤氣灶上。’提問(wèn)者肯定了這一回答；但是，他又追問(wèn)道：‘如果其他的條件都沒(méi)有變化，只是水壺中已經(jīng)有了足夠多的水，那你又應(yīng)當(dāng)怎樣去做？’這時(shí)被提問(wèn)者往往會(huì)很有信心地回答說(shuō)：‘點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。’但是，提問(wèn)者指出，這一回答并不能使他感到滿意，因?yàn)?，更好的回答?yīng)是這樣的：‘只有物理學(xué)家才會(huì)這樣做；而數(shù)學(xué)家們則會(huì)倒去水壺中的水，并聲稱(chēng)我已經(jīng)把后一問(wèn)題化歸成先前的問(wèn)題了。’”
從理論的角度說(shuō)，這也就是指，這正是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特點(diǎn)：“數(shù)學(xué)家們特別善于使用化歸的方法去解決問(wèn)題。這就是說(shuō)，在解決問(wèn)題時(shí)，數(shù)學(xué)家們往往不是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行直接的攻擊，而是對(duì)此進(jìn)行變形、使之轉(zhuǎn)化，直到最終把它化歸成了某個(gè)（或某些）已經(jīng)解決的問(wèn)題。”
從而，按照這樣的思路，我們也就可以更為深入地去理解“多位數(shù)乘一位數(shù)”乃至“多位數(shù)乘多位數(shù)”的相應(yīng)法則的意義：這事實(shí)上就是將新的、較為復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題化歸成了原先已經(jīng)得到解決的、同時(shí)也是較為簡(jiǎn)單的“一位數(shù)乘一位數(shù)”的問(wèn)題。顯然，由這一實(shí)例我們也就可以更好地理解數(shù)學(xué)方法論對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)意義。
但是，用數(shù)學(xué)方法論去指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)是否就意味著在數(shù)學(xué)課上應(yīng)當(dāng)使用大量的時(shí)間和精力去從事數(shù)學(xué)思維的專(zhuān)門(mén)分析，甚至就將數(shù)學(xué)課演變成了數(shù)學(xué)方法論的專(zhuān)門(mén)課程？筆者以為，即使我們?cè)诖藭簳r(shí)不去論及這種做法對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的可行性，就數(shù)學(xué)思維方法進(jìn)行專(zhuān)門(mén)的教學(xué)也并非學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維方法的有效方法，而如果以數(shù)學(xué)思維方法的分析去完全取代具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)則就更是一種不恰當(dāng)?shù)淖龇?；毋寧說(shuō)，我們?cè)诖怂鶓?yīng)強(qiáng)調(diào)的即是數(shù)學(xué)思維方法對(duì)于具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)的滲透，進(jìn)而，數(shù)學(xué)思維方法的學(xué)習(xí)主要地又應(yīng)被看成一個(gè)潛移默化的過(guò)程，特別是，就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，我們更應(yīng)防止急于求成、拔苗助長(zhǎng)，而應(yīng)首先著眼于如何能夠提高教師在這一方面的素養(yǎng)，從而在教學(xué)中就可達(dá)到更大的自覺(jué)性。
為了更清楚地說(shuō)明問(wèn)題，在此還可就“多位數(shù)乘一位數(shù)”這一實(shí)例指明其中所包含的另一十分重要的數(shù)學(xué)思想：“算法化思想。”
具體地說(shuō)，對(duì)于算法的重視也應(yīng)被看成數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特點(diǎn)，這就是說(shuō)，數(shù)學(xué)家們總是力圖對(duì)一類(lèi)問(wèn)題總結(jié)出明確的算法或解題程序，用之即可有效地解決相關(guān)的問(wèn)題；進(jìn)而，以下則又可以被看成所說(shuō)的“算法”的一個(gè)重要特征：對(duì)于算法的應(yīng)用在很大程度上即已包括了由“自覺(jué)的行為（意義分析）”向“自動(dòng)化運(yùn)作（形式操作）”的重要轉(zhuǎn)變。（詳可見(jiàn)[7]或[8]）例如，九九表、求兩個(gè)整數(shù)最大公因子的輾轉(zhuǎn)相除法、一元二次方程的求解公式等就都可以被看成“算法”的典型例子；進(jìn)而，由這些實(shí)例我們又可清楚地看出，這即是算法的創(chuàng)造與學(xué)習(xí)的基本意義：通過(guò)將部分問(wèn)題的求解歸結(jié)為對(duì)于現(xiàn)成算法的“機(jī)械應(yīng)用”，我們就可用更多的時(shí)間和精力去從事新的創(chuàng)造性工作。
由此可見(jiàn)，就“多位數(shù)乘一位數(shù)”的教學(xué)而言，盡管我們應(yīng)當(dāng)努力幫助學(xué)生做到“理解學(xué)習(xí)”，但是，作為進(jìn)一步的目標(biāo)，我們又應(yīng)幫助學(xué)生很好地去掌握相應(yīng)的算法，這也就是說(shuō)，盡管我們?cè)谧畛鯌?yīng)當(dāng)要求學(xué)生能對(duì)相應(yīng)法則的合理性作出清楚的說(shuō)明，但最終則又應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生超越數(shù)的具體意義（整十、整百、整千……）而過(guò)渡到一般的算法——容易看出，后者事實(shí)上也就是學(xué)生能否熟練地掌握多位數(shù)乘法的關(guān)鍵所在。
四、 課例之四：“數(shù)學(xué)廣角：搭配中的學(xué)問(wèn)”
較為一般地說(shuō)，對(duì)于數(shù)學(xué)思維方法的重視事實(shí)上也可被看成新一輪小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)普遍取向，對(duì)此例如由“數(shù)學(xué)廣角：搭配中的學(xué)問(wèn)”此類(lèi)內(nèi)容在教材中的出現(xiàn)就可清楚地看出。在這次會(huì)上也有兩位教師選擇了這一課題。相關(guān)內(nèi)容可見(jiàn)人教版小學(xué)新教材三年級(jí)（上冊(cè)）第66～67頁(yè)。
十分湊巧的是，筆者在先前也曾利用生活中的搭配問(wèn)題為例對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點(diǎn)進(jìn)行過(guò)分析：“數(shù)學(xué)可以被定義為‘模式的科學(xué)’，這也就是說(shuō)，在數(shù)學(xué)中我們并非是就各個(gè)特殊的現(xiàn)實(shí)情景去從事研究的，而是由附屬于具體事物或現(xiàn)象的模型（model）過(guò)渡到了更為普遍的‘模式（pattern）’。”對(duì)于相關(guān)的論述，我們?cè)诖丝赊D(zhuǎn)引如下：
“這是筆者1991～1992年訪美期間所參與的一次數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)。這是‘問(wèn)題解決’的一次數(shù)學(xué)實(shí)踐，教學(xué)對(duì)象是小學(xué)三年級(jí)的學(xué)生，他們被要求解決以下的問(wèn)題：
“某女士外出旅行時(shí)帶了兩件不同顏色的上衣和三條不同顏色的裙子，問(wèn)共有多少種不同的搭配方法？
“教師鼓勵(lì)學(xué)生們用‘實(shí)驗(yàn)’的方法去解決問(wèn)題：學(xué)生拿出了筆和紙，開(kāi)始在紙上‘實(shí)際地’去畫(huà)出各種可能的搭配。結(jié)果表明，在大多數(shù)情況下，學(xué)生完全可以憑借自身的努力（單獨(dú)地或合作地）得出正確的解答。進(jìn)而，老師又要求學(xué)生對(duì)自己結(jié)論的正確性作出‘論證’——當(dāng)然，就當(dāng)時(shí)的特定對(duì)象而言，這并非嚴(yán)格的證明，而只是一種素樸的說(shuō)明。
“作為‘問(wèn)題解決’的一次教學(xué)實(shí)踐，筆者以為，這一課程有不少可取之處，特別是較好地體現(xiàn)了‘學(xué)數(shù)學(xué)就是做數(shù)學(xué)’這一基本思想，并使學(xué)生實(shí)際地體會(huì)到了‘實(shí)驗(yàn)’在數(shù)學(xué)中的作用。但是，在對(duì)這一課程進(jìn)行回顧時(shí)，筆者卻又想到了這樣一個(gè)問(wèn)題：學(xué)生通過(guò)這一活動(dòng)到底學(xué)到了什么？特別是，這些學(xué)生能否被認(rèn)為已經(jīng)掌握了相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)？
“為了回答上述的問(wèn)題，筆者以為，我們即可要求相關(guān)的學(xué)生進(jìn)一步去求解某些類(lèi)似的問(wèn)題，如：
“某人有兩套不同的西裝和三條不同顏色的領(lǐng)帶，問(wèn)共有多少種不同的搭配方法？
“有兩個(gè)軍官和三個(gè)士兵，現(xiàn)由一個(gè)軍官和一個(gè)士兵組成巡邏隊(duì)，問(wèn)共有多少種不同的組成方式？
“再如：
“某女士外出旅行時(shí)帶了三件不同顏色的上衣和四條不同顏色的裙子，問(wèn)共有多少種不同的搭配方法？
“有三個(gè)軍官和四個(gè)士兵，現(xiàn)由一個(gè)軍官和一個(gè)士兵組成巡邏隊(duì)，問(wèn)共有多少種不同的組成方式？
“當(dāng)然，我們?cè)诖巳詰?yīng)允許學(xué)生繼續(xù)使用‘實(shí)驗(yàn)’的方法去求解這些問(wèn)題；但是，如果我們的教學(xué)始終停留于所說(shuō)的‘實(shí)驗(yàn)’水平，也即始終未能幫助學(xué)生較好地實(shí)現(xiàn)由具體問(wèn)題向相應(yīng)的‘數(shù)學(xué)模式’的過(guò)渡，那么，我們顯然就不能認(rèn)為這些學(xué)生已經(jīng)較好地掌握了相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，恰恰相反，這事實(shí)上即應(yīng)被看成這一課程的主要局限性之所在，即是未能很好體現(xiàn)‘數(shù)學(xué)化’這一最為基本的數(shù)學(xué)思維形式。”
顯然，以上的分析對(duì)于我們究竟應(yīng)當(dāng)如何去進(jìn)行“搭配中的學(xué)問(wèn)”這一內(nèi)容的教學(xué)乃至相關(guān)教材的編寫(xiě)，都有一定借鑒意義。例如，正是從“模式化”的角度去分析，筆者以為，盡管在最初教師應(yīng)當(dāng)提醒學(xué)生注意搭配的順序性，甚至可以建議學(xué)生通過(guò)對(duì)代表同一類(lèi)對(duì)象的符號(hào)加以編號(hào)以保證“不重復(fù)、不遺漏”，但是，隨著課程的深入，我們則又應(yīng)當(dāng)超越問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)意義而上升到抽象的高度，也即應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去看待問(wèn)題、分析問(wèn)題——就“搭配中的學(xué)問(wèn)”這一內(nèi)容而言，這就是指，符號(hào)的編號(hào)應(yīng)當(dāng)逐步地予以淡化。
進(jìn)而，也正是從“模式化”的角度去分析，筆者以為，我們?cè)诖擞謶?yīng)突出強(qiáng)調(diào)適當(dāng)?shù)谋容^對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特殊重要性，即如在“生活中的搭配”這一內(nèi)容的教學(xué)中我們就應(yīng)通過(guò)不同問(wèn)題的比較揭示它們事實(shí)上具有相同的（或類(lèi)似的）數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；進(jìn)而，這事實(shí)上也就可以被看成判斷相關(guān)的表示方法是否恰當(dāng)?shù)囊粋€(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)：一個(gè)好的表示方法即可被用于揭示各個(gè)不同的問(wèn)題事實(shí)上具有相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。
更為一般地說(shuō)，我們?cè)诖孙@然又直接涉及到了“生活數(shù)學(xué)”與“學(xué)校數(shù)學(xué)”的關(guān)系，而以下則就是筆者在這一問(wèn)題上的一個(gè)基本立場(chǎng)：“由于在先前人們往往突出強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的抽象性和嚴(yán)格性，以致完全切斷了‘學(xué)校數(shù)學(xué)’與學(xué)生日常生活的聯(lián)系，因此，在這樣的意義上，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)貼近學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活就是十分合理的；但是，作為問(wèn)題的另一方面，我們又應(yīng)看到，盡管學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、包括其經(jīng)由學(xué)校以外的生活實(shí)踐所形成的各種數(shù)學(xué)知識(shí)和技能具有直接性的特點(diǎn)，但其同時(shí)也有很大的局限性，從而，在充分調(diào)動(dòng)學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，我們又應(yīng)幫助他們清楚地認(rèn)識(shí)超出生活經(jīng)驗(yàn)（‘日常數(shù)學(xué)’）并上升到‘學(xué)校數(shù)學(xué)’的必要性。”
最后，就比較方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用而言，我們又應(yīng)特別提及對(duì)于相關(guān)傳統(tǒng)的必要繼承，這就是所謂的“變式教學(xué)”。對(duì)此我們將通過(guò)新的實(shí)例在以下作出進(jìn)一步的論述。
五、 課例之五：“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”
“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”也是這次會(huì)上所演示的一堂課。相關(guān)內(nèi)容可見(jiàn)蘇教版小學(xué)新教材三年級(jí)（上冊(cè)）第98～100頁(yè)。
從本文的視角看，筆者在此愿意首先提及這樣一個(gè)事實(shí)：任課教師在“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”這一內(nèi)容的教學(xué)中所設(shè)計(jì)的一些“課堂提問(wèn)”事實(shí)上即可被看成“變式教學(xué)”的很好應(yīng)用。
例如，在具體安排“學(xué)生動(dòng)手折一折，用陰影表示長(zhǎng)方形的1/2”之后，教師提出了這樣的問(wèn)題：“折法不同，為什么陰影部分都可以用1/2表示？”（順便提及，相對(duì)而言，以下的提問(wèn)方式或許是更為恰當(dāng)?shù)模?#8220;折法不同，為什么這些陰影部分都可說(shuō)是長(zhǎng)方形的1/2？”）
進(jìn)而，在學(xué)生實(shí)際地從事了以下的操作——“利用圖形折一折、涂一涂，表示出它的幾分之一”之后，基于學(xué)生所使用的圖形并非完全相同（包括圓、長(zhǎng)方形、正方形等），因此教師又專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問(wèn)題：“圖形不同，為什么涂色部分都能用1/4表示？”
更為一般地說(shuō)，這事實(shí)上就是所謂的“變式教學(xué)”的本質(zhì)：我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)當(dāng)注意引入適當(dāng)?shù)淖兓?，?#8220;求變”則又正是為了“不變”，這也就是說(shuō)，我們?cè)诖思词窍Ｍ軌蛲ㄟ^(guò)恰當(dāng)?shù)淖兓ㄅc必要的對(duì)照）以突出其中的不變因素（本質(zhì)）。
值得指出的是，學(xué)習(xí)心理學(xué)的現(xiàn)代研究并已從理論的角度進(jìn)一步指明了上述做法的合理性。具體地說(shuō)，這即是指由瑞典學(xué)者馬頓所提出的學(xué)習(xí)理論，而以下則就可以被看成這一理論的核心內(nèi)容：第一，學(xué)習(xí)就是鑒別（區(qū)分）；第二，有比較（差異）才能鑒別。從而，在教學(xué)中我們就應(yīng)盡可能地去拓寬學(xué)生“學(xué)習(xí)空間”的“變異維數(shù)”，也即應(yīng)當(dāng)盡可能地去引入適當(dāng)?shù)淖儺悺ｏ@然，這事實(shí)上也就更為清楚地表明了在教學(xué)中適當(dāng)應(yīng)用比較的重要性和基本目的。
其次，就“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”這一內(nèi)容的教學(xué)而言，筆者又愿特別提及這樣一個(gè)事實(shí)，即任課教師在全部的教學(xué)過(guò)程中自始至終都發(fā)揮了特別重要的引導(dǎo)作用。而也正因?yàn)榇?，在筆者看來(lái)，我們甚至可以認(rèn)為這一堂課的教學(xué)即是與課程改革之前的某些典型課例（對(duì)此例如可參見(jiàn)先前所出版的各種“名師授課錄”）十分相似的。但是，這種做法難道不是與課程改革的基本精神直接相抵觸的嗎？！
事實(shí)上，在筆者看來(lái)，這正是一種典型的片面性認(rèn)識(shí)，即是認(rèn)為教學(xué)方法的“新舊”即可被看成區(qū)分教學(xué)方法“好壞”的主要標(biāo)準(zhǔn)，或者說(shuō)，我們即應(yīng)將教學(xué)方法的變革簡(jiǎn)單地理解成用某些新的教學(xué)方法或模式絕對(duì)地去取代各種傳統(tǒng)的教學(xué)方法或模式。恰恰相反，筆者以為，我們?cè)诖思磻?yīng)采取更為開(kāi)放的態(tài)度，這也就是說(shuō)，我們既應(yīng)積極地去引進(jìn)各種新的教學(xué)方法，但同時(shí)則又應(yīng)當(dāng)更為明確地去提倡教學(xué)方法的多樣化，也即應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)廣大教師通過(guò)積極的教學(xué)實(shí)踐與認(rèn)真的總結(jié)深入地去認(rèn)識(shí)各種方法的優(yōu)點(diǎn)與局限性，從而就能依據(jù)特定的教學(xué)內(nèi)容、對(duì)象、環(huán)境（以及教師本人的個(gè)性特征）創(chuàng)造性地對(duì)此加以應(yīng)用。
顯然，從更為一般的角度去分析，以上的論述事實(shí)上也就可以被看成從又一角度更為清楚地表明了認(rèn)真繼承我國(guó)數(shù)學(xué)教育（學(xué)）優(yōu)秀傳統(tǒng)的重要性；當(dāng)然，作為問(wèn)題的另一方面，我們又應(yīng)十分重視對(duì)于傳統(tǒng)的必要發(fā)展，特別是，即應(yīng)努力超越其局限性而達(dá)到新的更高發(fā)展水平。例如，從后一角度去分析，就“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”這一課例而言，我們就應(yīng)深入地去研究如何在充分發(fā)揮教師引導(dǎo)作用的同時(shí)更好地體現(xiàn)學(xué)生的參與精神與主體地位，即如在教學(xué)中能否給學(xué)生更多的“自由（探索）空間”，并讓學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)對(duì)自己的想法作出較為完整的表述，以及如何能夠更好地去處理大班教學(xué)與學(xué)生個(gè)體特殊性之間的關(guān)系，等等。
最后，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，這事實(shí)上也就是筆者關(guān)于如何深入地開(kāi)展數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)基本想法，即是應(yīng)當(dāng)努力做好“課改新理念”與“數(shù)學(xué)教育（學(xué)）傳統(tǒng)”的適當(dāng)平衡與相互滲透；進(jìn)而，由于課程改革的創(chuàng)造性與困難性，更由于教學(xué)活動(dòng)的實(shí)踐性質(zhì)與復(fù)雜性，因此，上述的目標(biāo)又不可能單純依靠某個(gè)權(quán)威或指導(dǎo)性文件獲得徹底的解決，毋寧說(shuō)，在此所需要的即是廣大一線教師與各級(jí)教研員的積極參與，也即能夠通過(guò)自身的教學(xué)實(shí)踐與深入的教學(xué)研究（包括總結(jié)與反思）不斷地去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，從而也就能夠不斷取得新的進(jìn)步。正是在這樣的意義上，筆者愿意突出地強(qiáng)調(diào)這樣一點(diǎn)：路就在我們自己腳下！
六、 結(jié)語(yǔ)：加強(qiáng)研究，不斷提高
以下再通過(guò)與一般研究工作的對(duì)照提出關(guān)于如何更為深入地去開(kāi)展教學(xué)研究的一些具體意見(jiàn)，希望能對(duì)促進(jìn)相關(guān)的工作產(chǎn)生一定的作用。另外，這又正是筆者在這一方面的一個(gè)基本認(rèn)識(shí)，即使就日常的教學(xué)活動(dòng)而言，也只有通過(guò)不斷的研究和總結(jié)，我們才能不斷取得新的進(jìn)步，從而，我們也就應(yīng)當(dāng)更為積極地去提倡密切聯(lián)系教學(xué)實(shí)踐開(kāi)展深入的教學(xué)研究。
具體地說(shuō)，對(duì)于如何從事數(shù)學(xué)教育研究應(yīng)當(dāng)說(shuō)已有不少著作進(jìn)行了專(zhuān)門(mén)論述。當(dāng)然，在一般性的教育研究與教師的教學(xué)研究之間又有較大的差異；但是，筆者以為，我們?nèi)钥捎上嚓P(guān)的論述獲得后一方面的直接啟示。以下就聯(lián)系這次會(huì)議作出初步的分析。
首先，這應(yīng)被看成一切研究工作的直接出發(fā)點(diǎn)，即是應(yīng)當(dāng)具有較強(qiáng)的問(wèn)題意識(shí)，也即應(yīng)當(dāng)善于提出適當(dāng)?shù)难芯繂?wèn)題以引導(dǎo)具體的研究工作。例如，正是從這樣的角度去分析，筆者以為，這次會(huì)議的任何一個(gè)參加者，無(wú)論是各級(jí)教研員或是廣大的一線教師，就都應(yīng)當(dāng)深入地去思考這樣一個(gè)問(wèn)題：這次所看到的觀摩課與課改前期（例如，2000年或2001年）的觀摩課相比有什么相同之處與不同之處？它們與課改之前的一些經(jīng)典課程相比又有什么相同之處與不同之處？因?yàn)?，就只有通過(guò)這樣的思考與研究，我們才能真正弄清這些年來(lái)我們究竟取得了哪些進(jìn)步或成績(jī)，又有什么不足之處或問(wèn)題，而后者或許也就應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)研究工作的直接課題。
其次，任何真正的研究工作又都應(yīng)當(dāng)十分重視相關(guān)資料的收集與分析，因?yàn)?，研究工作的核心就在于?chuàng)新，從而就不應(yīng)簡(jiǎn)單地去重復(fù)別人已有的工作，而必須以此為背景并通過(guò)自己的獨(dú)立研究實(shí)現(xiàn)新的超越。顯然，從這樣的角度去分析，以下的事實(shí)也就應(yīng)當(dāng)引起我們的高度重視：有些課題（如“可能性”等）自課程改革以來(lái)已無(wú)數(shù)次地被選作觀摩課的題材，但相關(guān)的教學(xué)有時(shí)卻看不到任何新的進(jìn)展，甚至在先前所已提出的一些問(wèn)題也未能引起足夠的重視，即如讓各個(gè)學(xué)生從一個(gè)裝有兩種不同顏色小球的口袋中逐一地去摸出一個(gè)小球，對(duì)于學(xué)生很好地理解“可能性”的概念究竟有多大的作用？學(xué)生間的明確分工又是否可以被看成“好的”小組學(xué)習(xí)的主要（或惟一）標(biāo)準(zhǔn)？等等。與此相對(duì)照，筆者以為，上述的現(xiàn)象事實(shí)上也就更為清楚地表明了密切聯(lián)系教學(xué)實(shí)踐積極地去開(kāi)展教學(xué)研究的重要性和緊迫性。
再者，除去對(duì)于研究方法的適當(dāng)選擇以外，任何真正的研究工作又都必須十分重視理論的指導(dǎo)作用。從教學(xué)研究的角度看，筆者認(rèn)為，這事實(shí)上也就清楚地表明了加強(qiáng)理論學(xué)習(xí)的重要性，特別是，這直接關(guān)系到了由“經(jīng)驗(yàn)型教學(xué)”向“理論指導(dǎo)下的自覺(jué)實(shí)踐”的重要轉(zhuǎn)變，包括在理論指導(dǎo)下積極地去進(jìn)行相關(guān)的教學(xué)研究。例如，主要的也就是基于這樣的考慮，筆者認(rèn)為，讀者或許就可聯(lián)系本文中已提及的各個(gè)問(wèn)題去開(kāi)展相關(guān)的理論學(xué)習(xí)和教學(xué)研究。
最后，正如文首所已提及的，這也應(yīng)被看成教學(xué)研究的努力方向，即是應(yīng)當(dāng)努力超越各個(gè)特殊課例并使之具有更大的普遍意義。應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，本文事實(shí)上也就可以被看成上述方向上的一個(gè)具體努力，更希望能因此而引起廣大讀者的思考與討論。
