π π 是數(shù)學(xué)中最著名的數(shù)。 忘記自然界中所有其他常數(shù)也不會(huì)忘記它, π 總是出現(xiàn)在名單中的第一個(gè)位置。如果數(shù)字也有奧斯卡獎(jiǎng), 那么π 肯定每年都會(huì)得獎(jiǎng)。 π 或 pi, 是圓周的周長(zhǎng)和它的直徑的比值。它的值,也就是這兩個(gè)長(zhǎng)度之間的比值,不取決于圓周的大小。無(wú)論圓周是大是小,π 的值都是恒定不變的。 π 產(chǎn)生于圓周中,但是在數(shù)學(xué)中,它卻無(wú)處不在,甚至涉及那些和圓周毫不相關(guān)的地方。 錫拉庫(kù)扎的阿基米德 人們?cè)诠艜r(shí)候就對(duì)圓周周長(zhǎng)和直徑的比值產(chǎn)生了濃厚的興趣,在公元前2000年左右,巴比倫人發(fā)現(xiàn)了周長(zhǎng)大約是直徑的三倍。 關(guān)于 π 的數(shù)學(xué)理論,真正開(kāi)始于錫拉庫(kù)扎的阿基米德,大約在公元前225年左右,阿基米德就是在那里完成他偉大的創(chuàng)舉的。數(shù)學(xué)家們喜歡評(píng)價(jià)同行的等級(jí),他們認(rèn)為阿基米德可以與卡爾·弗里德里?!じ咚梗〝?shù)學(xué)王子)和艾薩克牛頓齊名,不管這種評(píng)價(jià)有何價(jià)值,阿基米德應(yīng)該位列任何數(shù)學(xué)名人堂中是毋庸置疑的,但是他并沒(méi)有被完全處于數(shù)學(xué)的象牙塔里,他對(duì)于天文學(xué),數(shù)學(xué)物理學(xué)也都有很高的造詣,他還設(shè)計(jì)了戰(zhàn)爭(zhēng)武器,例如彈射器,杠桿,以及一種火鏡,這些都是為了不讓羅馬人進(jìn)犯. 但是據(jù)說(shuō)他身上具有教授們所常有的心不在焉的特質(zhì),否則當(dāng)他發(fā)現(xiàn)了流體靜力學(xué)中的浮力定律時(shí)是什么使得他從浴盆里跳出來(lái),連衣服都不穿,就沖到大街上大喊“Eureka”(拉丁語(yǔ)“我發(fā)現(xiàn)了”)?但是我們找不到關(guān)于他如何慶祝 π 的發(fā)現(xiàn)的記錄。 當(dāng)把 π 定義為周長(zhǎng)和直徑的比值后,如何進(jìn)一步計(jì)算圓的面積呢?通過(guò)推導(dǎo),可以得到半徑為 r 的圓的面積為 πr^2, 或許這一點(diǎn)比周長(zhǎng) / 直徑給出的定義更加有名. π 對(duì)周長(zhǎng)和面積的雙重職責(zé)是非常重要的. 這個(gè)結(jié)論是如何證明的呢?周長(zhǎng)可以被切分為很多狹長(zhǎng)的三角形底邊邊長(zhǎng)為 b,高度近視為半徑 r. 它們?cè)谠瓋?nèi)部形成了一個(gè)多邊形,圓的面積可以近似為這個(gè)多邊形的面積,讓我們首先將圓劃分成 1000 個(gè)三角形. 推導(dǎo)過(guò)程都將是近似操作. 我們可以將每對(duì)相鄰的三角形,拼成一個(gè)矩形(近似地), 它的面積為 b x r. 那么整個(gè)多邊形的面積將是 500 x b x r. 由于 500 x b 約等于半圓的周長(zhǎng),它的長(zhǎng)度是 π r, 在整個(gè)多邊形的面積為,π r x r = πr^2. 劃分的三角形越多,近似值會(huì)越接近實(shí)際值. 最后在極限上我們可以得出圓的面積為 πr^2. 阿基米德估算出 π 的值處在 223/71 和 220/70 之間. 正是因?yàn)榘⒒椎?,我們有了大家所熟知?nbsp;π 的近似值 22/7. 關(guān)于設(shè)計(jì) π 這個(gè)符號(hào)的榮譽(yù)要?dú)w功于很少人知道的威廉·瓊斯, 他是一個(gè)威爾士數(shù)學(xué)家, 在18世紀(jì)成了倫敦皇家學(xué)會(huì)的副主席. 物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家歐拉在圓周率的使用中將 π推廣開(kāi)來(lái). π 的精確數(shù)值 我們永遠(yuǎn)無(wú)法知道派的精確數(shù)值,因?yàn)樗且粋€(gè)無(wú)理數(shù),這一點(diǎn)被約翰·蘭伯特于1768年證明. π 的小數(shù)展開(kāi)是無(wú)窮無(wú)盡的,并且沒(méi)有可預(yù)測(cè)的模式,它的前20位是3.141592653879323846... 中國(guó)數(shù)學(xué)家所采用的 √10 的數(shù)值為: 3.16227766016837933199, 這個(gè)值在公元500年左右被婆羅摩笈所采用. 事實(shí)上,這個(gè)只比 3 這個(gè)粗略近似值要好一些,它和派相比,它和 π 相比到小數(shù)點(diǎn)后第二位才不相同, π 可以從一個(gè)數(shù)列計(jì)算. 一個(gè)著名的數(shù)列展開(kāi)式 但是這個(gè)數(shù)列需要一個(gè)很痛苦漫長(zhǎng)的過(guò)程,才能收斂到 π 計(jì)算是幾乎不可能的,歐拉找到了一個(gè)可以收斂到 π 的重要序列: 自學(xué)成才的天才拉馬努金想出一個(gè)漂亮的派的近似公式. 這個(gè)式子里僅涉及 2 的平方根: 數(shù)學(xué)家對(duì) π 是如此的著迷, 當(dāng)蘭伯特證明了它不可能是分?jǐn)?shù)的時(shí)候,德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼在 1882 年解決了一個(gè)關(guān)于 π 的最重要問(wèn)題. 他證明了 π 是 '超越'的, 既 π 不可能是代數(shù)方程(一個(gè)僅含x的指數(shù)項(xiàng)的方程)的解. 通過(guò)解決這個(gè)千古之謎,林德曼給出了'變圓為方'這一問(wèn)題的結(jié)論,此問(wèn)題為: 給定一個(gè)圓,如何利用一對(duì)圓規(guī)和直尺,構(gòu)造一個(gè)和它面積一樣的正方形. 林德曼最后證明了,這是不可能做到的. 如今化圓為方,就代表辦不到的事情. 對(duì)于 π 的精確計(jì)算快速發(fā)展著. 1853 年, 威廉·尚可斯宣稱已經(jīng)將它精確到了607位(實(shí)際上只今精確到了527位). 在當(dāng)代,計(jì)算機(jī)給予了江派精確到更多位的新的動(dòng)力,1949年,π 被精確到了小數(shù)點(diǎn)后2037位. 這是由 ENIAC 計(jì)算機(jī)經(jīng)過(guò)了 70 個(gè)小時(shí)的計(jì)算完成的,到了2002年 π 已經(jīng)精確到了令人咋舌的 124100000000 位, 而且這個(gè)數(shù)還在繼續(xù)增長(zhǎng). 如果我們準(zhǔn)備寫出 π 的精確值,尚克斯的計(jì)算結(jié)果僅僅需要14米,而2002年得到的這個(gè)結(jié)果,足可以繞地球大約62圈. 人們提出并解答了關(guān)于 π 的各種問(wèn)題,π 的這些數(shù)字是完全隨機(jī)的嗎?有沒(méi)有可能預(yù)測(cè)它的展開(kāi)式里有一段序列? 例如,有沒(méi)有可能在展開(kāi)式中出現(xiàn) 0123456789 這樣的序列,在20世紀(jì)50年代,人們認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題是不可知的,人們?cè)?nbsp;π 上已知2000位展開(kāi)式中沒(méi)有找到這樣的序列. 荷蘭數(shù)學(xué)界的領(lǐng)軍人物魯易茲·布勞威爾認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題毫無(wú)意義,因?yàn)樗嘈胚@個(gè)序列是不可能出現(xiàn)的,事實(shí)上,這個(gè)序列在1997年被找到了,它開(kāi)始于第 17387594880 位, 或者按照上面那個(gè)比喻,它所在的位置差 5000 公里就繞完地球整一圈了. 你可以在僅僅一千公里后就可以發(fā)現(xiàn) 10 個(gè)連續(xù)的 6, 卻要再繞地球一圈后再走6000公里才能找到 10 個(gè)連續(xù)的 7. π 的重要性 知道 π 的這么多位有什么用,畢竟大多數(shù)計(jì)算機(jī)僅僅需要小數(shù)點(diǎn)后幾位就夠了,對(duì)于絕大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用來(lái)說(shuō),或許十位以內(nèi)已經(jīng)足夠了,而阿基米德的近似值 22/7 也可能對(duì)大多數(shù)情況都已經(jīng)足夠好了. 但是, 對(duì)于 π 的廣泛展開(kāi)絕不是僅僅為了娛樂(lè). 他們除了能使那些自稱為'π 的朋友'的數(shù)學(xué)家們神魂顛倒外,還可以用于測(cè)試計(jì)算機(jī)性能極限. 或許關(guān)于 π 最離奇的一段故事是,印第安納州立法院曾經(jīng)試圖通過(guò)一條議案,以固定它的數(shù)值. 這個(gè)故事發(fā)生在19世紀(jì)末,一個(gè)名叫古德溫的醫(yī)學(xué)博士,提出一條議案,希望將 π 變成'易理解的'. 而這條議案面臨的實(shí)際問(wèn)題是: 提議者自己卻沒(méi)有能力知道她想要固定的值是多少. 值得慶幸的是, 在議案通過(guò)之前,他們意識(shí)到了對(duì)派進(jìn)行立法是一件多么荒唐的事情. 從那一天起,政客們便遠(yuǎn)離了 π.
來(lái)源:節(jié)選自《你不可不知的 50 個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)》
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