Mercator（1512～1594），生于Rupelmonde（現(xiàn)比利時(shí)某地，當(dāng)時(shí)屬于 Flanders——荷、法、比交界的地方），制圖學(xué)家、哲學(xué)家及數(shù)學(xué)家。擬定了著名的Mercator投影（正軸等角切圓柱），推動(dòng)了航海事業(yè)和Web地圖產(chǎn)業(yè)（這個(gè)您老沒(méi)想到吧～）發(fā)展；首次使用“Atlas”來(lái)表示地圖集，并延續(xù)至今。今年恰逢Mercator誕辰500周年，Esri曾專(zhuān)門(mén)撰文紀(jì)念，在此也向Mercator表示敬意。
（比利時(shí)法郎中的Mercator頭像，及Mercator投影和Atlas，via umich）
在Mercator投影發(fā)明之前，航海中使用的是最簡(jiǎn)單的plate carrée投影（現(xiàn)在天地圖還在用），最早由Ptolemy發(fā)明，投影公式簡(jiǎn)單到不能再簡(jiǎn)單了：x=lon， y=lat。但這個(gè)投影既不等角也不等積，特別在高緯度地區(qū)，與實(shí)際相差很大，所以并不實(shí)用。Mercator于1569年發(fā)明了Mercator投影，通過(guò)對(duì)普通透視圓柱投影的改進(jìn)，根據(jù)緯度越高的緯圈投影到圓柱上長(zhǎng)度變化越大，因此考慮緯度變長(zhǎng)時(shí)將對(duì)應(yīng)的經(jīng)線(xiàn)也拉長(zhǎng)，從而保證兩者之比恒定，即能等角。
在Mercator投影的海圖中，恒向線(xiàn)（Rhumb line）是一條直線(xiàn)，這對(duì)航海來(lái)說(shuō)有重要意義。沿恒向線(xiàn)航行不用改變航向就能到達(dá)目的地。比如你要從A航行到B，只需拿把尺子在Mercator海圖上將AB連起來(lái)，計(jì)算AB與經(jīng)線(xiàn)所成的角度，在航行中使用羅盤(pán)一直保持這個(gè)角度就能到達(dá)B了。但要注意，恒向線(xiàn)并不是球面上的最短距離。球面上兩點(diǎn)間的最短距離是大圓航線(xiàn)（Great circle）。在實(shí)際航海中，考慮到航行的距離和駕駛的方便性，往往是兩者結(jié)合起來(lái)使用。在近距離航海中，沿著恒向線(xiàn)朝一個(gè)方向航行就能到達(dá)目的地。遠(yuǎn)距離航行中，可以先繪制從出發(fā)到目的地的大圓航線(xiàn)，再將大圓航線(xiàn)分為幾段，每段按恒向線(xiàn)航行，這就能兼顧了距離和方便性了。當(dāng)然，實(shí)際中并沒(méi)那么簡(jiǎn)單。也可以想這么個(gè)問(wèn)題，你一直朝一個(gè)方向走（與經(jīng)線(xiàn)成一個(gè)恒定的角度），最終不是走到北極就是南極，除非你沿著經(jīng)緯網(wǎng)走，那能走回原地。所以，恒向線(xiàn)其實(shí)是一條螺旋線(xiàn)。
（大圓航線(xiàn)和恒向線(xiàn)在Mercator投影中的對(duì)比，via esri）
人類(lèi)征服海洋的過(guò)程是十分坎坷的，Mercator投影的發(fā)明只是一部分。直到偉大的Harrison發(fā)明了海鐘（1737），人類(lèi)才能在航海時(shí)精確地計(jì)算經(jīng)度，進(jìn)而保證航行的安全。Harrison發(fā)明海鐘又是一個(gè)百味雜陳的故事，有機(jī)會(huì)可以另說(shuō)，或者閱讀這本書(shū)。
雖然我沒(méi)推導(dǎo)過(guò)，但不妨礙我們看看起投影公式的真面容：
（Mercator投影正解公式）
（以赤道、本初子午線(xiàn)為原點(diǎn)）
使用的參數(shù)不做過(guò)多解釋?zhuān)瑓⒖吹貓D投影書(shū)籍。Mercator投影的最大優(yōu)點(diǎn)就是正形（conformal），
（變形橢圓，via wikipedia）
但與之相伴的在高緯度地區(qū)極度的失真（面積、距離），最經(jīng)典的是格陵蘭島和南美洲的大小差異，這個(gè)可以從投影公式中用到的正切函數(shù)看出。
（比例尺，via wikipedia）
Mercator并不很適合用來(lái)展現(xiàn)世界地圖，特別是一些專(zhuān)題圖的制作，面積與實(shí)際的差異實(shí)在是夸張，地圖也會(huì)撒謊的。在教育小孩的時(shí)候，最好不要用Mercator投影地圖，這可能會(huì)影響“世界觀(guān)”的呀。
自從Google Maps（2005）出現(xiàn)以來(lái)，現(xiàn)今全球范圍的Web地圖，用的空間參考都是Web Mercator投影（3857）。Web Mercator與Mercator相似，可以看下其投影公式：
（Web Mercator投影正解公式）
與Mercator投影的主要差別在于緯度的計(jì)算上，Google工程師為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，沒(méi)有使用橢球第一偏心率（e1），從而簡(jiǎn)化了投影公式。即將WGS84橢球在投影時(shí)看作了以其長(zhǎng)半軸（6378137）為半徑的正球體，而經(jīng)緯度坐標(biāo)還是參考WGS84的，這顯然與GIS中的空間參考規(guī)范不符。眾所周知，常用空間參考主要有投影坐標(biāo)系（PCS）與地理坐標(biāo)系（GCS）兩大類(lèi)，一個(gè)PCS建立在一個(gè)GCS之上，并要指定一個(gè)投影公式，這個(gè)投影公式是要以GCS為基準(zhǔn)的，不然定義PCS基于GCS就沒(méi)有意義了。但Google沒(méi)有這么做，這就搞亂了空間參考的標(biāo)準(zhǔn)體系，不過(guò)這樣我們可以從兩個(gè)角度來(lái)理解Web Mercator：
（1）GIS角度。如前所述，Web Mercator采用了兩個(gè)橢球，WGS84橢球和以WGS84長(zhǎng)半軸為半徑的正球。GCS用的是WGS84，而GCS投影到PCS時(shí)，使用的是正球，雖然地理坐標(biāo)是參考WGS84的，這點(diǎn)最關(guān)鍵！
（2）非GIS角度。從數(shù)學(xué)上看，投影無(wú)非是一個(gè)函數(shù)。Mercator投影利用了WGS84橢球的所有參數(shù)（a、b、e1、e2），而Web Mercator只不過(guò)使用了部分參數(shù)罷了（a）。這么理解，就能忽略橢球與正球的差異了，那Web Mercator就是Google參考Mercator投影發(fā)明的一種新投影。
值得注意的是，Web Mercator投影不是等角的，只是近似等角（near-conformality），Mercator投影是等角的。雖然我不能證明，但我可以理解。從投影公式去看，或者想象一下投影時(shí)橢球和正球的區(qū)別，顯然是能直觀(guān)地想明白的。
Google的Hack行為一來(lái)推動(dòng)了Web地圖的發(fā)展，并形成了一套標(biāo)準(zhǔn)，二來(lái)也攪亂了GIS界。EPSG開(kāi)始并不認(rèn)可這種投影，至少是不推薦，并不給其編號(hào)。但是坊間已經(jīng)應(yīng)用廣泛，并編之為900913，意指google。后來(lái)900913儼然成為了業(yè)界標(biāo)準(zhǔn)，EPSG數(shù)據(jù)庫(kù)中也就出現(xiàn)了3785這個(gè)投影，但沒(méi)過(guò)多久又換成了3857（3785與3857之間的差異后面再說(shuō)）。Esri方面，Esri的Web地圖開(kāi)始用的都是4326，到09年末才轉(zhuǎn)換為3857，并逐步停用了原先的4326。選擇3857自然有許多好處，比如這是業(yè)界標(biāo)準(zhǔn)，這樣大家都能互相mashup，一起建設(shè)和諧社會(huì)。4326的瓦片大小是512×512，3857是256×256，瓦片變小既能減少單張瓦片的網(wǎng)絡(luò)流量，又能縮小瓦片數(shù)目的規(guī)模，而且在一張256×256的瓦片正好能做一張世界地圖。
ArcGIS中的Web Mercator就是3785，Web Mercator（Auxiliary Sphere）就是3857。如果你有一份與Google Maps使用相同投影的數(shù)據(jù)A，但失去了投影信息，那么你在A(yíng)rcGIS中使用任何一個(gè)去定義（define）你的空間參考都是正確的。但是，假如你再將一份WGS84（4326）定義的GCS數(shù)據(jù)B與A去疊加，那么B與A3857可以直接疊加，而B(niǎo)與A3785就不能了，至少不能on the fly。為什么呢？這個(gè)通過(guò)看一下投影文件，結(jié)合前述的Web Mercator投影介紹，再自己實(shí)踐一下就能明白。
（3785投影文件）
（3857投影文件）
兩個(gè)比較明顯的區(qū)別：
（1）3785用的是正球體，3857用的是橢球體。
（2）3857的投影參數(shù)里面多了“Auxiliary_Sphere_Type: 0.0”。
也就是說(shuō)3785是以正球體上為基準(zhǔn)的，但其GCS還是參考WGS84；3857是以橢球體為基準(zhǔn)的，但投影時(shí)參考正球體，“Auxiliary_Sphere_Type: 0.0”的作用就在這里吧。
那么，我現(xiàn)在有一份4326的數(shù)據(jù)，分別要投影到3785和3875上，該怎么做呢？
對(duì)于3857，因?yàn)?857本身基于4326的，所以可以直接project。但是對(duì)于3785，就稍微麻煩點(diǎn)了，如果你直接project，那arcgis會(huì)提示你進(jìn)行橢球轉(zhuǎn)換，結(jié)果顯然會(huì)與你預(yù)期的不一致。所以你得先重新給這份4326的數(shù)據(jù)定義一個(gè)新的空間參考，定義一個(gè)空間參考并不改變其數(shù)據(jù)，而橢球轉(zhuǎn)換顯然是會(huì)改變數(shù)據(jù)的。根據(jù)3785所使用的橢球，為4326定義一個(gè)新的GCS（104199），就是6378137為半徑的正球體，然后再project到3785。這樣得到的數(shù)據(jù)會(huì)跟4326直接project到3857一致，但空間參考是不一致的，一個(gè)是3857，一個(gè)是3785。如果有興趣可以自己嘗試，我附了數(shù)據(jù)在后面。
顯而易見(jiàn)，3857比3785更合適一些，至少Datum是正常的。GIS的一大特征就是能疊加多源數(shù)據(jù)，3785這樣的投影在疊加數(shù)據(jù)就很尷尬了，這也是Esri最終使用3857的原因。Esri Dev Summit的視頻中也表示，3875和3785在數(shù)學(xué)上是一致的，如果要考慮疊加數(shù)據(jù)，建議使用3857。其實(shí)我覺(jué)得3785現(xiàn)在基本上沒(méi)什么用了，只是Esri自己凌亂狀態(tài)下定義的一個(gè)過(guò)渡空間參考：P
回過(guò)頭看，Google 工程師的一次偷懶行為，破壞了GIS界的規(guī)范，還最終逆襲成為了事實(shí)上的標(biāo)準(zhǔn)，讓人唏噓不已。如果Google使用的是正常的Mercator投影，同樣也可以在一張256×256的瓦片中容納世界地圖，只不過(guò)南北的跨度略有差異，這樣既能保證真正的等角，又符合GIS規(guī)范，也不會(huì)給我們帶來(lái)這么困擾。同樣，如果Esri或者EPSG能更有話(huà)語(yǔ)權(quán)，那或許也不會(huì)有Web Mercator的存在了。只能說(shuō)IT和GIS相遇，失意的總是GIS，至少目前是這樣的。
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空間參考本身比較復(fù)雜，所以文中難免有所疏漏和錯(cuò)誤，請(qǐng)批評(píng)、指正。另外，現(xiàn)今GIS中的地圖學(xué)課程越來(lái)越式微，地圖投影等學(xué)習(xí)也十分薄弱。個(gè)人覺(jué)得，GIS的教育是很失敗的，但是教育失敗并不是我們止步的借口，而是我們更應(yīng)發(fā)奮的緣由之一。
附：文中所提及的相關(guān)資料，包括數(shù)據(jù)、代碼及投影文件等
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