【147】1229【360】
低年級(jí)介紹了一些特殊方法解題，高年級(jí)介紹了一些常用定理。大家看一看了解一下。背下來最好。
[一年]
如下圖所示。商店的貨架上堆放著一堆火腿腸。你能很快地算出它的總數(shù)有多少根嗎？
[二年]
把整數(shù)10分拆成三個(gè)不同的自然數(shù)之和共有多少種不同的分拆分式？
[三年]
下面算式中每一個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字.當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時(shí)算式成立？
[四年]
如下圖，計(jì)算下列各格點(diǎn)多邊形的面積，統(tǒng)計(jì)每個(gè)圖形周界上的格點(diǎn)數(shù)與圖形內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù).
[五年]
承四年
以上我們所研究的格點(diǎn)多邊形都是屬于正方形格點(diǎn)問題.也就是它的格點(diǎn)都是由兩組互相垂直相交的平行線的交點(diǎn)構(gòu)成的.每一個(gè)小方格都是一個(gè)小正方形.下面我們進(jìn)行另外一種格點(diǎn)多邊形的研究，即三角形格點(diǎn)問題.
所謂三角形格點(diǎn)多邊形是指：每相鄰三點(diǎn)成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等邊三角形.規(guī)定它的面積為1，以這樣的點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出的多邊形為三角形格點(diǎn)多邊形.
例 如下頁圖（a），有21個(gè)點(diǎn)，每相鄰三個(gè)點(diǎn)成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等邊三角形.計(jì)算三角.形ABC的面積.
[六年級(jí)]
如圖，BC=CE，AD=CD，求三角形ABC的面積是三角形CDE面積的幾倍？
【答案部分】
[一年]
如下圖所示。商店的貨架上堆放著一堆火腿腸。你能很快地算出它的總數(shù)有多少根嗎？
解：從上向下數(shù)，每層的火腿腸的根數(shù)組成一個(gè)自然數(shù)串，1，2，3，4，5，6，7，8，9
方法1：利用湊十法求和
方法2：用兩串?dāng)?shù)“頭尾相加”法求和
和=90÷2=45
這種自然數(shù)串的求和方法很巧妙，很重要，希望同學(xué)們能學(xué)會(huì)它。
[二年]
把整數(shù)10分拆成三個(gè)不同的自然數(shù)之和共有多少種不同的分拆分式？
[三年]
下面算式中每一個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字.當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時(shí)算式成立？
分析 由于是三位數(shù)加上三位數(shù)，其和為四位數(shù)，所以“真”=1.由于十位最多向百位進(jìn)1，因而百位上的“是”=0，“好”=8或9。
?、偃簟昂谩?8，個(gè)位上因?yàn)?+8＝16，所以“啊”=6，十位上，由于6＋0＋1=7≠8，所以“好”≠8。
②若“好”=9，個(gè)位上因?yàn)?＋9=18，所以“啊”=8，十位上，8＋0＋1=9，百位上，9＋1=10，因而問題得解。
真=1，是=0，好=9，啊=8
[四年]
如下圖，計(jì)算下列各格點(diǎn)多邊形的面積，統(tǒng)計(jì)每個(gè)圖形周界上的格點(diǎn)數(shù)與圖形內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù).
解：列表如下：
我們對(duì)表內(nèi)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積都等于周界上的格點(diǎn)數(shù)除以2減1再加上圖形內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù).如果用S表示面積，用N表示圖形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)，用L表示周界上的格點(diǎn)數(shù)，再列成下表，它們之間的關(guān)系就更清楚了.
這就是說：圖形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)與它周界上的格點(diǎn)數(shù)的一半的和（N+L/2）與它的面積S的差永遠(yuǎn)恰好是1.
下圖面積是多少？用上述公式很快就可以求出了.
解：圖形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)N=21.
圖形周界上的格點(diǎn)數(shù)L=9.
圖形面積S=N+L/2-1
=21+4.5-1
=24.5（面積單位）.
[五年]
承四年
以上我們所研究的格點(diǎn)多邊形都是屬于正方形格點(diǎn)問題.也就是它的格點(diǎn)都是由兩組互相垂直相交的平行線的交點(diǎn)構(gòu)成的.每一個(gè)小方格都是一個(gè)小正方形.下面我們進(jìn)行另外一種格點(diǎn)多邊形的研究，即三角形格點(diǎn)問題.
所謂三角形格點(diǎn)多邊形是指：每相鄰三點(diǎn)成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等邊三角形.規(guī)定它的面積為1，以這樣的點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出的多邊形為三角形格點(diǎn)多邊形.
例 如下頁圖（a），有21個(gè)點(diǎn)，每相鄰三個(gè)點(diǎn)成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等邊三角形.計(jì)算三角.形ABC的面積.
解法1：如圖（b）所示，在△ABC內(nèi)連接相鄰的三個(gè)點(diǎn)成△DEF，再連接DC、EA、FB后是△ABC可看成是由△DEF分別延長(zhǎng)FD、DE、EF邊一倍、一倍、二倍而成的，不難得到S△ACD=2， S△AEB=3， S△FBC=4，所以S△=1+2+3+4=10（面積單位）.
解法2：如圖（d）所示：
作輔助線可知：平行四邊形ARBE中有6個(gè)小正三角形，而△ABE的面積是平行四邊形ARBE面積的一半，即S△ABE=3，平行四邊形ADCH中有4個(gè)小正三角形，而△ADC的面積是平行四邊形ADCH面積的一半，即S△ADC=2.平行四邊形FBGC中有8個(gè)小正三角形，而△FBC的面積是平行四邊形FBGC的一半，即：
S△FBC=4.
所以三角形ABC的面積是
1+2+3+4=10（面積單位）.
關(guān)于三角形格點(diǎn)多邊形的面積同樣有它的計(jì)算公式：如果用S表示面積，N表示圖形內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù)，L表示圖形周界上的格點(diǎn)數(shù)，那么：S=2×N+L-2，就是格點(diǎn)多邊形面積等于圖形內(nèi)部所包含格點(diǎn)數(shù)的2倍與周界上格點(diǎn)數(shù)的和減去2.例如例8中，N=4，L=4；所以S=2×N+L-2=2×4+4-2=10（面積單位）.
[六年級(jí)]
如圖，BC=CE，AD=CD，求三角形ABC的面積是三角形CDE面積的幾倍？
解：連結(jié)BD，在△ABD與△BCD中，因?yàn)锳D=DC，又因?yàn)檫@兩個(gè)三角形的高是同一條高，所以S△ABD=S△BCD．在△BCD與△DCE中，因?yàn)锽C=CE，又因?yàn)檫@兩個(gè)三角形也具有同一條高，所以有S△BCD=S△CDE．因此，S△ABC=S△ABD+S△BCD=2S△CDE．
從以上的推導(dǎo)中看一看這兩個(gè)三角形面積之比與這兩個(gè)三角形的邊有什么關(guān)系．
CE于M，如下圖，
在△ACM與△DCN中，有AC∶CD=AM∶DN．因此，
即，當(dāng)兩個(gè)三角形各有一個(gè)角，它們的和是180°時(shí)，這兩個(gè)三角形的面積之比等于分別夾這兩個(gè)角的兩條邊的長(zhǎng)度乘積之比．
類似可知，當(dāng)兩個(gè)三角形各有一個(gè)角，它們相等時(shí)，這個(gè)結(jié)論也成立．
解：在△ABC與△CDE中，因?yàn)锳D=DC，所以AC=2CD，又因?yàn)锽C=CE，所以S△ABC=2×1×S△CDE=2S△CDE．
答：△ABC的面積是△CDE面積的2倍．
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