分析了大型城市公交網(wǎng)絡(luò)的特點，為滿足乘客出行時各種不同的需求，綜合考慮換乘次數(shù)、出行時間與乘車費用等多種不同因素，通過構(gòu)造線路與站點、站點與站點的連接矩陣，結(jié)合矩陣算法與搜索算法的優(yōu)點，提出了一種分類多目標(biāo)優(yōu)化搜索算法。該算法搜索時間較短，能夠生成多條備選路徑供出行者選擇，能基本滿足自主查詢計算機系統(tǒng)的需要。
分析了大型城市公交網(wǎng)絡(luò)的特點，為滿足乘客出行時各種不同的需求，綜合考慮換乘次數(shù)、出行時間與乘車費用等多種不同因素，通過構(gòu)造線路與站點、站點與站點的連接矩陣，結(jié)合矩陣算法與搜索算法的優(yōu)點，提出了一種分類多目標(biāo)優(yōu)化搜索算法。該算法搜索時間較短，能夠生成多條備選路徑供出行者選擇，能基本滿足自主查詢計算機系統(tǒng)的需要。
對于公交線路查詢的數(shù)學(xué)模型， 國內(nèi)外學(xué)者提出了許多算法，包括迪杰斯特拉(Dijkstra)算法、弗羅伊德(Floyd) 算法與矩陣算法等[1]-[8]。其中Dijkstra算法穩(wěn)定性強，是目前公認(rèn)的最好算法。但是對公交線路來說，直接應(yīng)用Dijkstra算法求得最優(yōu)路徑問題存在著明顯不足。例如, Dijkstra算法要求網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D和表示網(wǎng)絡(luò)圖的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡潔，這對于復(fù)雜的城市公交網(wǎng)絡(luò)拓?fù)潢P(guān)系來說，就必須在對其進(jìn)行復(fù)雜的抽象后，合并成簡捷的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D，這無疑增加了程序的復(fù)雜性。此外，其它一些算法如：基于最小換乘次數(shù)的最優(yōu)路徑算法[9]與基于最短路徑查詢的城市公交網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Ｑ芯縖10]等，對中、小型公交網(wǎng)絡(luò)比較適合?？紤]到大型公交網(wǎng)絡(luò)中線路與站點較多且有地鐵線路的存在，一般的矩陣算法與搜索算法計算時間長，無法滿足自主查詢計算機系統(tǒng)的需要。人們在選擇公交出行線路時考慮的因素很多，如換乘次數(shù)是否最少、出行耗時是否最少與花費是否最少等。面對如此多的因素, 有時就很難做出準(zhǔn)確的判斷, 所以希望能夠得到一定的指導(dǎo)和多種出行方案以供選擇。大多數(shù)乘客在選擇公交線路出行時，首先考慮的是乘車是否方便，就換乘次數(shù)而言，一般不大于兩次；其次是乘車所花費的時間是否最少，這主要是通過公交線路的距離、換乘次數(shù)與換乘時間來衡量；在此基礎(chǔ)上最后考慮費用最低。公交線路應(yīng)同時考慮換乘次數(shù)、出行時間與乘車費用，地鐵線路應(yīng)以出行時間為主，同時考慮換乘次數(shù)，一般不考慮乘車費用。本文通過構(gòu)造線路與站點、站點與站點的連接矩陣，結(jié)合矩陣算法與搜索算法的優(yōu)點，提出了一種分類多目標(biāo)優(yōu)化搜索算法。具體分為三個數(shù)學(xué)模型：模型一只考慮公汽線路，在不超過兩次換乘的情況下，分別提供了以出行時間最短為第一目標(biāo)、乘車費用最少為第二目標(biāo)和乘車費用最少為第一目標(biāo)、出行時間最短為第二目標(biāo)的最佳乘車線路；模型二只考慮地鐵線路，以出行時間最短為目標(biāo)，地鐵站點可以直達(dá)，非地鐵站點可通過地鐵換乘得到最佳乘車線路；模型三考慮了步行小段距離再乘車或轉(zhuǎn)車的更為實際的情況。
1．模型假設(shè)
（1）假設(shè)出行者選擇乘車路線時換乘次數(shù)不超過兩次；
（2）假設(shè)車輛在行駛過程中不發(fā)生堵車；
（3）假設(shè)等待時間相同，不考慮乘車高峰等待時間過長問題；
（4）假設(shè)公汽、地鐵每站行駛時間相同；
（5）假設(shè)同一地鐵站對應(yīng)的任意兩個公汽站之間可以通過地鐵站換乘，其耗時相當(dāng)于公汽換乘地鐵的步行時間與地鐵換乘公汽的步行時間之和；
（6）假設(shè)地鐵票價相同，無論地鐵線路間是否換乘；
（7）如果考慮乘客選擇步行，假設(shè)換乘次數(shù)最多一次；
（8）假設(shè)一次出行步行次數(shù)不超過三次；
（9）假設(shè)每次步行時間與距離相同。
2．符號說明：
（1）A，B，C，…… 表示站點名稱，同時也表示站點號；
（2） 表示站點A在第 條線路中的位置；
（3） 表示從站點A到站點B的第 條線路；
（4） 表示第 條線路從站點A到站點B的直達(dá)費用；
（5） 表示第 條公汽線路從站點A到站點B的直達(dá)時間， 表示地鐵線路從站點A到站點B的直達(dá)時間， 分別表示公汽換乘公汽、地鐵換乘地鐵、地鐵換乘公汽、公汽換乘地鐵的平均耗時、同一地鐵站點的兩個公汽站點之間的步行時間， 表示相鄰公汽站之間平均行駛時間， 表示相鄰地鐵站之間平均行駛時間， 表示一次步行的時間；
（6） 表示第 條線路從站點A到站點B經(jīng)過的站數(shù)；
（7） 表示一次步行的距離；
（8） 表示與某站點A距離小于 的所有站點構(gòu)成的集合；
（9） 表示線路與站點的連接矩陣；
（10） 表示站點與站點的連接矩陣。
3．模型一：公汽線路數(shù)學(xué)模型
根據(jù)人們的出行習(xí)慣，在選擇從站點A到站點B的行車線路時，首先會先看是否有從站點A到站點B的直達(dá)線路，如果有會選擇直達(dá)方案，如果存在不止一條直達(dá)線路，再考慮所走路線的遠(yuǎn)近，選擇距離最近的乘車方案；如果沒有直達(dá)線路，就會考慮一次換車的方案，即判斷經(jīng)過站點A的線路與經(jīng)過站點B的線路是否有公共站點C，如果有則可以在公共站點C處換乘；如果沒有一次換乘方案，則又要考慮經(jīng)過站點A的線路上某一站點C，判斷經(jīng)過站點C的線路與經(jīng)過站點B的線路是否有公共站點D，如果有就再到站點D 換乘，兩次換乘可到達(dá)站點B；如果沒有，則需要轉(zhuǎn)乘三次或三次以上才可到達(dá)目的地。但基于現(xiàn)在的交通網(wǎng)絡(luò)越來越發(fā)達(dá)的情形，需換乘三次的情況已越來越少，另外，基于出行方便的心理，出行者很少愿意換乘三次，因此，為了簡化模型，我們假設(shè)換乘次數(shù)不超過兩次。
3.1直達(dá)數(shù)學(xué)模型
其中：單一票價 ；分段計價
，其中：
3.2換乘一次數(shù)學(xué)模型
3.3換乘兩次數(shù)學(xué)模型
3.4模型算法與設(shè)計
首先構(gòu)造線路與站點的連接矩陣 ，其中 表示站點 在第 條線路上， 表示站點 不在第 條線路上， 為線路總數(shù)，包括上行、下行與環(huán)行線路，為便于查找，線路相同的上下行與環(huán)行線路按不同的線路輸入， 為站點總數(shù)。
3.4.1直達(dá)數(shù)學(xué)模型算法與設(shè)計
(1)輸入乘車的起始站點A及終到站點B；
(2)求出經(jīng)過站點A 的所有線路集 ，任取一條線路 ，判斷站點B是否在線路 上，然后判斷站點A與站點B是否同向，即站點B在該線路上的位置是否大于站點A的位置（環(huán)行線路無需判斷）。具體求法是，在連接矩陣 的第A列中查找1所在行的位置，逐一判斷這些有1的行中第B列所在的位置是否也是1，如果不是1說明該行所表示的線路中包含站點A但不包含站點B，如果都是1，然后根據(jù)線路數(shù)據(jù)信息判斷 是否大于 ；
(3)如果沒有找到直達(dá)線路，或找到直達(dá)線路唯一，結(jié)束運行。否則在所有結(jié)果中尋找費用最小或出行時間最短的線路；
(4)如果費用最小或出行時間最短的直達(dá)線路唯一，結(jié)束運行。否則在所得線路中分別再搜索出行時間最短與乘車費用最小的直達(dá)線路，并輸出結(jié)果。
3.4.2一次換乘數(shù)學(xué)模型算法與設(shè)計
(1)輸入乘車的起始站點A及終到站點B；
(2)求出經(jīng)過站點A 的所有線路集 和經(jīng)過站點B 的所有線路集 .
(3)任取一條線路 與 ，判斷是否存在公共站點。在連接矩陣 中，將第 行與第 行相加，結(jié)果中如果有2存在，說明存在公共站點。
(4)線路 與 如果存在公共站點C=D，則判斷其是否同向，否則再換一條線路重新搜索；
(5)若公共站點對線路 與 都同向，則線路 與 為站點A到站點B的一次換乘線路，C或D為一次換乘站點，否則，換一條線路重新搜索，直至找到所有一次換乘線路為止。
(6)類似直達(dá)數(shù)學(xué)模型算法，計算最小乘車費用與出行時間，輸出一次換乘最佳線路。
3.4.3兩次換乘數(shù)學(xué)模型算法設(shè)計
(1)輸入乘車的起始站點A及終到站點B；
(2)求出經(jīng)過站點A 的所有線路集 和經(jīng)過站點B 的所有線路集 .
(3)任取一條線路 與 ，再在所有公交線路中任取一條不同于線路 、 的線路 ，其中 ， 為線路總數(shù)。用類似一次換乘數(shù)學(xué)模型的算法判斷線路 與 以及 與 是否存在公共站點C=E和F=D，如果存在，繼續(xù)判斷站點A與C、C與D以及D與B是否同向；
(4)如果存在公共站點C=E和F=D，而且站點A與C、C與D以及D與B都同向，則 、 與 為站點A到站點B的兩次換乘線路，C與D為兩次換乘站點，否則，換一條線路重新搜索，直至找到所有兩次換乘線路為止。
(5)類似直達(dá)數(shù)學(xué)模型算法，計算最小乘車費用與出行時間，輸出兩次換乘最佳線路。
4．模型二：地鐵線路數(shù)學(xué)模型
該模型中包含了地鐵線路，考慮到直接計算最優(yōu)路徑將十分復(fù)雜，將地鐵，公汽分開考慮，即將線路分為兩種情形，情形一是包含地鐵線路或公汽線路中包含地鐵站點的線路，情形二是不包含地鐵線路與地鐵站點的公汽線路。首先從情形一中篩選出不同需求的最佳線路，然后再與模型一得出的最佳線路作比較，進(jìn)而確定總的最佳線路。由于情形二已在模型一中研究，模型二只對情形一進(jìn)行討論。
乘坐地鐵一般費用較高，其主要目的在于如何縮短出行時間，因此模型二只考慮出行時間最短問題。模型二按照換乘次數(shù)又分為：地鐵直達(dá)模型，公汽換乘地鐵模型，地鐵換乘公汽模型，公汽換乘公汽再換乘地鐵模型，公汽換乘地鐵再換乘公汽模型，地鐵換乘公汽再換乘公汽模型。在換乘地鐵的模型中，包含了通過地鐵站進(jìn)行公汽換乘的情形，可能不進(jìn)行地鐵換乘。由于模型二所包含的模型較多，下面重點討論地鐵直達(dá)模型、公汽換乘地鐵模型與公汽換乘地鐵再換乘公汽模型。
4.1地鐵直達(dá)模型
該模型最短出行時間線路唯一，無需多線路優(yōu)化。
(1)起始站點與終到站點同在直線上；
(2)起始站點與終到站點同在環(huán)線上，換乘站點C與D同在環(huán)線上除外；
其中： 為地鐵環(huán)線總站數(shù)。
(3)起始站點A與終到站點B不同在直線或環(huán)線上，設(shè)C與D為換乘站點，A、B不同于C、D；
4.2公汽換乘地鐵模型
4.2.1模型建立
設(shè)起始站點A為非地鐵站點的某一公汽站點，終到站點B為地鐵站點M的某一公汽站點。
(1)線路 的終到站點C=B；
(4.2.1)
(2)線路 終到站點C為B所在的地鐵站點M的另一公汽站點；
(4.2.2)
(3)線路 的終到站點C為另一地鐵站點N( M)的某一公汽站點；
(4.2.3)
其中：N為A到B所有可行線路的總數(shù)。
4.2.2算法設(shè)計
(1)輸入乘車的起始站點A及終到站點B，A為非地鐵站點的某一公汽站點，B為地鐵站點M的某一公汽站點；
(2)任取一地鐵站點的某一公汽站點C，用模型一中的方法判斷是否存在A到C的直達(dá)公汽線路，如果存在，求出出行時間最短的線路，將其線路與站點C的所有信息保存，否則，對所有地鐵站的所有公汽站點進(jìn)行搜索；
(3)任取一條出行時間最短的線路 ，判斷站點B是否等于C，如果是，使用(4.2.1)式計算出行時間, 否則，轉(zhuǎn)下一步；
(4)判斷B所在的地鐵站點M的其它公汽站點是否等于C，如果是，使用(4.2.2)式計算出行時間，否則，轉(zhuǎn)下一步；
(5)設(shè)C所在的地鐵站點為N( M)，使用(4.2.3)式計算出行時間；
(6)搜索所有經(jīng)過站點A直達(dá)地鐵站點出行時間最短的線路。
如果每次所得時間小于現(xiàn)有出行時間，記錄線路與站點數(shù)據(jù)信息，放棄原數(shù)據(jù)信息；如果每次所得時間等于現(xiàn)有出行時間，在原有數(shù)據(jù)信息中添加新的線路與站點數(shù)據(jù)信息；否則原有數(shù)據(jù)信息不變。
4.3公汽換乘地鐵再換乘公汽模型
4.3.1模型建立
設(shè)起始站點A與終到站點B為非地鐵站點的公汽站點，M與N為連接A、B的兩地鐵站點，E、F分別為地鐵站點M、N中的一公汽站點。
(1)若M=N且E F（E=F為模型一中的直達(dá)或一次換乘模型）
(4.3.1)
(2)若M N
(4.3.2)
其中：N為A到B所有可行線路的總數(shù)。
4.3.2算法設(shè)計
(1)輸入乘車的起始站點A及終到站點B，A、B均為非地鐵站點的公汽站點；
(2)任取一地鐵站點的某一公汽站點C，用模型一中的方法判斷是否存在A到C的直達(dá)公汽線路，如果存在，求出出行時間最短的線路，將其線路與站點C的所有信息保存，否則，對所有地鐵站的所有公汽站點進(jìn)行搜索；
(3)任取一地鐵站點的某一公汽站點D，用模型一中的方法判斷是否存在D到B的直達(dá)公汽線路，如果存在，求出出行時間最短的線路，將其線路與站點D的所有信息保存，否則，對所有地鐵站的所有公汽站點進(jìn)行搜索；
(4)任取一條出行時間最短的線路 、 ，判斷C是否等于D，如果是，使用模型一中的直達(dá)模型或一次換乘模型計算出行時間，否則，轉(zhuǎn)下一步；
(5)判斷C所在的地鐵站點M是否等于D所在的地鐵站點N，如果相等，使用（4.3.1）計算出行時間；否則，轉(zhuǎn)下一步；
(6)使用（4.3.2）計算出行時間，并對所有出行時間最短的線路 、 進(jìn)行搜索。
如果每次所得時間小于現(xiàn)有出行時間，記錄線路與站點數(shù)據(jù)信息，放棄原數(shù)據(jù)信息；如果每次所得時間等于現(xiàn)有出行時間，在原有數(shù)據(jù)信息中添加新的線路與站點數(shù)據(jù)信息；否則原有數(shù)據(jù)信息不變。
5．模型三：允許步行小段距離的數(shù)學(xué)模型
在上面的算法中只有當(dāng)不同線路之間具有公共站點時才能夠進(jìn)行換乘，這樣計算出來的結(jié)果有時并不符合實際情況，比如在實際出行時可以直達(dá)或只需換乘一次便可到達(dá)目的地的情況，但計算出來的結(jié)果卻需要換乘兩次。出現(xiàn)這種情況的原因是忽視了現(xiàn)實生活中人們步行小段距離后乘車或換乘的現(xiàn)象。具體來說，人們可以就近乘車也可以步行小段距離后乘車；在換乘時，不一定下車后直接在下車的站點處換乘，往往需要步行小段距離到附近的站點去換乘；同時也可能出現(xiàn)下車后步行小段距離才到達(dá)目的地的情況。人們選擇這種方式通常可以減少換乘次數(shù)。如果允許步行次數(shù)可以為三次，即乘車前后與轉(zhuǎn)車允許步行小段距離，一般最多換乘一次即可到達(dá)目的地。
5.1步行直達(dá)模型
，
其中：單一票價 ；分段計價
，其中： ， 為步行次數(shù)。
5.2步行換乘一次數(shù)學(xué)模型
， 為步行次數(shù)。
5.3模型算法設(shè)計
類似地鐵站點中的公汽站點，將與某站點A距離小于 的所有站點構(gòu)成的集合計作 ，構(gòu)造站點與站點的連接矩陣 ，其中 為站點總數(shù)。當(dāng)站點 與站點 距離小于 時， ；否則，
5.3.1步行直達(dá)模型算法設(shè)計
(1)輸入乘車的起始站點A及終到站點B；
(2)任取站點 ，任取經(jīng)過C的一條線路 ，設(shè)C在 上可到達(dá)的站點為： ,若 ，則 為A到B的步行直達(dá)線路，此時，若C=A，B= ，則步行次數(shù)為0；若C=A，或B= ，則步行次數(shù)為1；否則步行次數(shù)為2，若 ，轉(zhuǎn)下一步；
(3)對經(jīng)過站點C的所有線路 進(jìn)行搜索，并對 中的所有站點進(jìn)行搜索。
如何判斷站點B是否屬于 ，具體做法是將站點連接矩陣 的 行相加，判斷站點B所在的列是否大于0，如果大于0，說明 ，然后再具體判斷B所在的集合，否則說明 ， 不是A到B的步行直達(dá)線路。
5.3.2步行換乘一次數(shù)學(xué)模型算法設(shè)計
(1)輸入乘車的起始站點A及終到站點B；
(2)任取站點 ，任取經(jīng)過C的一條線路 ，設(shè)C在 上可到達(dá)的站點為： ；任取站點 ，任取經(jīng)過D的一條線路 ，設(shè) 為線路 上可到達(dá)站點D的所有站點，對每一個 判斷是否屬于 。若 ，則 與 為A到B的步行換乘一次線路。此時，若A=C， ，D=B同時成立，則步行次數(shù)為0；若其中兩個等式成立，步行次數(shù)為1；如果只有一個等式成立，步行次數(shù)為2；否則，步行次數(shù)為3。若 ，則轉(zhuǎn)下一步；
(3)對所有 進(jìn)行搜索，對經(jīng)過站點D的所有線路 進(jìn)行搜索，對 中的所有站點進(jìn)行搜索；對經(jīng)過站點C的所有線路 進(jìn)行搜索，對 中的所有站點進(jìn)行搜索。
6.模型求解與檢驗
使用2007年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題中的數(shù)據(jù)，對模型進(jìn)行Matlab編程求解，所得結(jié)果見下表。
表：模擬結(jié)果
模型輸入 直達(dá)線路 換乘一次 換乘兩次 地鐵線路
(1)3359-1828 無 101分鐘(3元) 73分鐘(3元) 84.5分鐘(5元)
(2)1557-0481 無 無 106分鐘(3元) 116.5分鐘(5元)
(3)0971-0485 無 128分鐘(3元) 106分鐘(3元) 96分鐘(5元)
(4)0008-0073 無 83分鐘(2元) 67分鐘(3元) 53.5分鐘(5元)
(5)0148-0485 無 無 106分鐘(3元) 87.5分鐘(5元)
(6)0087-3676 無 65分鐘(2元) 46分鐘(3元) 30分鐘(3元)
最佳線路不唯一，換乘兩次的線路更多一些，比如：(1)3359-1828換乘兩次的最佳線路(都是73分鐘，3元)，共106條線路。下面是部分結(jié)果：
(1)S3359-S1828
L015下行 L201上行 L041上行
S3359 S2903 S0458 S1828 3元21站(73分鐘)
40 41 6 22 10 14(站點位置)
(2)S1557-S0481
L084下行 L189下行 L460下行
S1157 S1919 S3186 S0481 3元32站(106分鐘)
27 39 19 22 16 33(站點位置)
(3)S0971-S0485
L094上行 T1 L051上行
S0971 S567 D1 D21 S466 S0485 5元31站(96分鐘)
25 31 1 21 26 31(站點位置)
(4)S0008-S0073 5元13站（53.5分鐘）
L200上行 T1 T2 L103上行
S0008 S2534 D15 D12 D25 S525 S0073
2 8 15 12 4 2 2 4(站點位置)
(5)S0148-S0485
L024下行 T1 L051上行
S0148 S1487 D2 D21 S466 S0485 5元28站(87.5分鐘)
17 21 2 21 26 31(站點位置)
(6)S0087-S3676
T2
S0087 D27 D36 S3676 3元8站(30分鐘)
5 15 (站點位置)
7.模型的評價與改進(jìn)
7.1模型與算法的優(yōu)點
（1）通過構(gòu)造線路與站點、站點與站點的連接矩陣，大大縮短了程序運行時間，能基本滿足自主查詢計算機系統(tǒng)的需要。獲得直達(dá)、一次換乘與地鐵最佳線路的運行時間都可在瞬間完成；如果沒有一次換乘線路，獲得兩次換乘最佳線路的平均時間為1分30秒（S1557-S0481運行時間1分18秒；S0148-S0485運行時間1分32秒）；若存在一次換乘線路，特別在一次換乘線路較多時，獲得兩次換乘最佳線路的運行時間較長，但一般不超過5分鐘（S3359-S1828運行時間4分23秒；S0971-S0485運行時間4分56秒；S0087-S3676運行時間1分2秒；S0008-S0073運行時間26分49秒）。
（2）能夠生成多條備選路徑供出行者選擇，滿足了不同查詢者的需求。
（3）詳細(xì)分析了公汽環(huán)行線路、通過地鐵站點換乘等復(fù)雜情況。公汽環(huán)行線路中存在多個雙位站點（直行線路中也可能存在雙位站點），即同一站點在線路中有兩個位置。為了精確計算出行時間，分情況進(jìn)行了討論：①雙位站點為起始站點。當(dāng)終到站點在線路中的位置介于兩雙位站點之間時，雙位站點的位置取較小的，否則取較大的位置；②雙位站點為終到站點。當(dāng)起始站點在線路中的位置介于兩雙位站點之間時，雙位站點的位置取較大的，否則取較小的位置。通過地鐵站點換乘計算出行時間時，若換乘公汽站點相同，線路相同，出行時間為公汽直達(dá)時間；若換乘公汽站點相同，換乘公汽線路不同，出行時間為公汽一次換乘線路的出行時間；若在同一地鐵站點換乘，換乘公汽站點不同，出行時間為公汽直達(dá)時間，加上通過地鐵換乘的時間；若在不同地鐵站點換乘，出行時間為公汽線路與地鐵線路的直達(dá)時間，加上公汽換乘地鐵、地鐵換乘公汽的時間。
（4）只需對數(shù)據(jù)庫進(jìn)行部分修改與添加，所有程序稍加修改，即可適應(yīng)公交線路的變化。
7.2模型與算法的缺點
在一次換乘線路較多時，獲得兩次換乘最佳線路的時間較長。這可能與Matlab程序執(zhí)行效率較低有關(guān)。
7.3模型與算法的改進(jìn)
（1）繼續(xù)討論不太容易想到的細(xì)節(jié)問題；
（2）嘗試使用其它算法程序進(jìn)行求解；
（3）查找數(shù)據(jù)資料，對模型三進(jìn)行求解與檢驗。
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