前幾天，我看到了這樣一個問題：如何用火柴棒準確地搭出一個正方形？注意，由于沒有任何工具可以讓兩根火柴棒拼成一個 90° 角，因此用四根火柴棒隨意擺出一個四邊形，最多也只能是個菱形。要想拼出一個正方形，我們還得想些奇招來。
一個經(jīng)典的做法如上圖所示。先擺出線段 AB ，下面我們將要確定線段 AK 的位置，使得兩條線段成 90° 角。在 AB 上隨意找一個點 C ，以 AC 為底搭出兩個腰為 1 的等腰三角形 DAC 和 EAC 。容易看出， D 、 E 是關于 AB 對稱的兩個點。搭建一系列等邊三角形 △ADF 、 △AFG 、 △AGH ，確定出 D 關于 A 點的對稱點 H 。這樣， H 、 E 兩點就關于 AK 軸對稱了。再搭一個等邊三角形 AIE ，則 I 、 G 兩點也關于 AK 對稱。因此， HG 和 IE 的交點 J 就在 AK 上，自然 AK 的位置也就確定出來了。重復執(zhí)行以上操作，我們便能完成以 AB 為邊的整個正方形。
受此啟發(fā)，我們自然而然地想到了這樣一個問題：火柴棒的幾何作圖能力到底有多強？我們能僅憑借火柴棒找出三角形的外心嗎？我們能僅憑借火柴棒搭出一個正五邊形嗎？ 1939 年， T. R. Dawson 在一篇論文中證明了一個驚人的結論：火柴棒作圖與尺規(guī)作圖的能力完全一樣！換句話說，用尺規(guī)作圖能夠確定的點，用火柴棒作圖也能確定；而尺規(guī)作圖辦不到的事，火柴棒作圖也沒法辦到。也就是說，火柴棒作圖完全等價于尺規(guī)作圖！
為了證明這一結論，我們首先得給火柴棒作圖下一個定義。我們約定，用火柴棒作圖時只允許以下四種基本操作，它們就是火柴棒幾何中的“公理”：
1. 給定一點 A ，可以作一條通過 A 的單位長線段，或者以 A 為端點的單位長線段
2. 給定距離不超過單位長的兩點 A 、 B ，可以作一條通過 A 、 B 的單位長線段，或者以 A 為端點過 B 的單位長線段
3. 給定距離不超過單位長的兩點 A 、 B ，可以以 AB 為底作一個腰為單位長的等腰三角形 ABC 。
4. 給定距離不超過單位長的點 A 和直線 l ，可以作一條以 A 為端點，另一端點在 l 上的單位長線段
有了這些基本操作，我們便可以一步一步搭出火柴棒的幾何世界了。
延長一條線段
如上圖，搭出一系列等邊三角形，我們便能實現(xiàn)線段的延長。注意到線段 CD 與 AB 平行且相距 √3/2 個單位，因此我們還得到了一個非常有用的工具：將給定線段平移 √3/2 個單位。
找出長度小于單位長的線段的中點
如圖， AB 為已知線段。先作等腰三角形 ABC ；再作等邊三角形 BDC 和 AEC 。 BD 和 AE 的交點 F 就在等腰三角形的中線上。 CF 的延長線與 AB 的交點就是我們所求的點 G 。
由于 CG 還平分了 ∠ACB 和 ∠DCE ，因此我們相當于有了一個平分不超過 120° 且不等于 60° 的角的辦法。另外，由于 CG 還是 AB 的垂線，因此我們又有了過點 C 向已知線段作垂線的方法——先利用公理 4 擺出線段 CA 和 CB ，再找出 AB 的中點。即使 C 點離已知線段很遠，垂線照樣作得出，因為我們可以將已知線段不斷平移 √3/2 個單位，讓它與 C 的距離足夠近。不過，這里還是有一種特殊的情況：若 C 與已知線段的距離恰好是 √3/2 的整倍數(shù)，這么做就不行了。
找出長度等于單位長的線段的中點
假如 AB 是一條長度恰為單位長的已知線段。首先在 AB 上任取一點 C ，然后作等腰三角形 ADC 。作等邊三角形 CED ，與 AD 交于 F ；作等邊三角形 AGD ，與 CD 交于 H ； CE 和 AG 交于點 I 。那么， DI 與 FH 的交點 J 就是 FH 的中點。 BH 與 AD 交于點 K ， KJ 與 AB 交于點 L ，于是我們就成功地把 FH 的中點轉移到了 AB 的中點。
這個構造彌補了我們之前留下的空缺?，F(xiàn)在，我們不但能平分恰為 60° 的角，也能引出距離恰為 √3/2 的整倍數(shù)的垂線了。
過已知線段外的一點，作已知線段的平行線
不斷平移已知線段 AB ，直到它離點 C 足夠近。以 C 為端點，利用公理 4 引單位長線段 CD 、 CE 。反向延長 CE 到 F ，則 ∠DCF 的平分線 CG 就與 AB 平行。
找出距離大于單位長的兩點的中點
已知很遠的兩點 A 、 B 。向任意方向作單位長線段 AC ，過 B 作它的平行線段 BD 。利用一系列等邊三角形，構造逐漸向中間靠攏的中心對稱圖形，直到出現(xiàn)距離不超過單位長的對稱點 E 、 F 。 EF 的中點也就是 AB 的中點。
既然我們能找到任意線段的中點，平分大于 120° 的角也就不成問題了。
好了，準備工作基本結束，下面我們就來說明火柴棒作圖與尺規(guī)作圖的等價性。注意到，火柴棒作圖的四項基本操作都能用尺規(guī)作圖實現(xiàn)，因此火柴棒作圖是尺規(guī)作圖的子集。為了說明尺規(guī)作圖同時也是火柴棒作圖的子集，我們只需要用火柴棒實現(xiàn)尺規(guī)作圖的三個基本操作：作出過兩點的直線、作出直線和圓的交點，作出圓和圓的交點。
作出過兩點的直線
為了連接 AB ，首先找出 AB 的中點 C ，然后找出 AC 的中點 D ， BC 的中點 E ……如此下去，直到 AB 之間有足夠多的點，相鄰點的距離都小于單位長度。這樣，我們便可以用火柴棒連接很遠的兩點了。
作出直線和圓的交點
如圖，給定點 A 、點 B 、圓心 C 以及圓周上一點 D ，我們需要找到直線 AB 與（隱形的）圓 C 的交點 L 。過 C 作 CE⊥AB 。在 CE 的反向延長線上截取 CF=CD （這是可以辦到的，比如先作 ∠DCF 的角平分線，再過 D 作角平分線的垂線；后面還會反復用到這個技巧）。向任意方向作單位長度線段 FG 。過 E 作 CG 的平行線，交 FG 延長線于 H 。過 H 作 EC 的平行線，截取 HI=HG 。作 IJ∥HE 。最后，利用公理 4 作單位長線段 JK ，則過 C 平行于 JK 的直線與 AB 的交點就是所求點 L 。
為了證明其正確性，我們只需要說明 CL=CD 。圖中的一系列平行線和等長線段告訴我們， CE:CD = CE:CF = HG:GF = HI:GF = JE:GF = JE:JK = CE:CL ，因此 CL 是等于 CD 的。
作出圓和圓的交點
如圖，已知圓心 A 和圓周上一點 B ，圓心 C 和圓周上一點 D ，我們想要找出這兩個圓的交點。由于我們已經(jīng)能作直線與圓的交點了，因此為了作出兩圓的交點，只要能找出公共弦所在直線即可。而公共弦與連心線垂直，因此我們只需要找出公共弦與連心線的交點 L 即可。不妨把圓 A 的半徑記作 a ，把圓 C 的半徑記作 c ，再在連心線上找出 LK=LC ，則由勾股定理可得 a^2 - AL^2 = c^2 - CL^2 ，即 (a+c)(a-c) = AC·AK 。也就是說， AK 就等于 (a+c)(a-c)/AC 。我們將利用這個關系找出 K 點來。
過 C 作 AB 的平行線，截取 CE=CD 。作 EF∥CB ，則 AF 就等于 a+c 。過 B 作 AC 的平行線，截取 BG=BF 。截取 AH=AB ，然后作 BI∥GH ， AI 就等于 a-c 。作 IJ∥CF ，則 AJ 就等于 (a+c)(a-c)/AC 。最后，只需要截取 AK=AJ ，再找出 CK 的中點 L ，問題就圓滿解決了。
這樣一來，所有尺規(guī)作圖能夠辦到的事情，只用火柴棒也能辦到，一切火柴棒作圖問題都被終結掉了。不過，對火柴棒幾何的研究還遠未結束。如何簡化作圖過程，作出指定圖形最少需要多少根火柴棒……這些懸而為解的問題都還有待人們繼續(xù)探索。
