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    “數(shù)”無疑是數(shù)學最主要的研究對象（之一？），數(shù)是最簡單的，也是最復雜的。對于數(shù)，你知道多少呢？就讓我這個半瓶子先來晃蕩一下，也許非數(shù)學專業(yè)的朋友會有興趣。科學網(wǎng)上高手如云，我是拋磚引玉，錯了自有高人指正。

1. 自然數(shù)與整數(shù)

    小孩兩、三歲就開始數(shù)數(shù)了。通常的目標是從一數(shù)到十，再到一百，等等。在小孩心目中，“數(shù)”總是與個數(shù)聯(lián)在一起的，一個手指頭是“1”，兩個手指頭是“2”，等等，小孩開始學加減法也是掰著手指頭數(shù)的。這其實也就是人類最早對數(shù)的認識。通常我們用十進制數(shù)就是因為人類有十個手指頭。從計算機科學看，人類如果一開始就使用二進制或三進制很可能更方便。瑪雅人計數(shù)大概是手指頭，腳趾頭一齊上，所以是20進制。

    小孩數(shù)數(shù)為什么不從零開始呢？因為“零”其實并不好懂。你可以說，“零”對應(yīng)“沒有”，但在數(shù)中加入“沒有”對小小孩也許并不好理解。零的記號“0”是印度人發(fā)明的，被稱為是“對世界文明的杰出貢獻”。

    在自然數(shù)（以及0）上做加、減法也很自然。那是東西的增、減。減是加的逆運算。要使減法總能做，就必須引入“負數(shù)”?！?/span>負數(shù)”也是印度人首先引入的，他們把它看作財產(chǎn)和債務(wù)的對立或直線的兩個方向。現(xiàn)在我們看“負數(shù)”覺得很合理，但其實，遲至十八世紀英國還有數(shù)學家對負數(shù)發(fā)出抗議。由于引進“負數(shù)”，就有了整數(shù)（記作Z）。整數(shù)使得加法和它的逆運算總能實現(xiàn)。在數(shù)學上把它抽象成一種結(jié)構(gòu)，稱為“群”。

    一個非空集合S，加上一個運算?，稱為一個群，如果它滿足

    （i）封閉性：設(shè)a,b∈S，則a?b∈S；

    （ii）結(jié)合律：(a?b)?c=a?(b?c)；

    （iii）單位元：存在e∈S，使對任意a∈S，有a?e=e?a=a；

    （iv）逆元：對任意a∈S，存在唯一的逆元a?1∈S，使得a?a?1=a?1?a=e。

如果一個群還滿足

（v）交換律：a?b=b?a，則稱其為阿貝爾群。

    容易檢驗整數(shù)及其加法，(Z,+)，是一個阿貝爾群。

    自然數(shù)分為兩類，一類數(shù)只能被“1”和自己整除，稱為素數(shù)，如果除“1”和自己外，還有其他整數(shù)因子，則稱為合數(shù)。素數(shù)無窮多，這是歐幾里德在公元前270年證明的：反證，設(shè)其有限，將所有素數(shù)相乘再加一，它除了“1”和自己沒有其他因子，所以也是素數(shù)。它又比所有素數(shù)都大，故得矛盾。

    素數(shù)雖然無窮多，但在越大的自然數(shù)里分布越稀。一個粗略的估計是，當n大的時候，大約有n/logn個小于n的素數(shù)。這稱為素數(shù)定理。素數(shù)的分布是數(shù)論中最引人關(guān)注的一個問題，至今不知其解。黎曼猜想正是因為與素數(shù)分布有關(guān)，被稱為數(shù)論中最重要（可能也是最困難）的一個猜想。

2. 有理數(shù)與無理數(shù)

    早期的數(shù)是和幾何聯(lián)在一起的，用尺規(guī)作圖很容易做出一條線段的m/n。因此，分子與分母都是整數(shù)的數(shù)稱為有理數(shù)，也就是合理的數(shù)。古代畢達哥拉學派（公元前500年左右）將數(shù)學作為宗教來崇拜，他們對數(shù)學做了許多杰出貢獻，包括畢氏定理（勾股定理）、正多面體等。但他們只承認有理數(shù)，相信“萬物皆數(shù)”。派中一人因說出他發(fā)現(xiàn)了正方形對角線與邊不能公度（即不是有理數(shù)），就被眾人沉入海底。

    到底什么是無理數(shù)？中學數(shù)學將其定義為無限不循環(huán)小數(shù)，這在數(shù)學上是不嚴格的。一種較為普遍應(yīng)用的定義是所謂“戴德金（Dedekind）分割”。將所有有理數(shù)分為兩組（A|B），A為上類，B為下類，即A中每個數(shù)都比B中數(shù)大。那么，或者A中有最小數(shù)，或B中有最大數(shù)，這時，分割就定義了這個界數(shù)（有理數(shù)）。第三種情況是A中沒有最小數(shù)且B中沒有最大數(shù)，這時，分割就定義了一個無理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)。于是，有理數(shù)的所有可能分割就與實數(shù)一一對應(yīng)。這個定義有點麻煩，但用它定義實數(shù)運算或研究實數(shù)性質(zhì)都極其方便。

    大家熟悉的無理數(shù)，最多的是用根式表示的，如2√，也有不能用根式表示的，如π，e…。實數(shù)可能是自然科學中用得最多的數(shù)域。

3. “數(shù)”集合的大小

    一個有限集，它的大小可以用其數(shù)量來表示。這個數(shù)也稱集合的勢（Cardinal Number）。一個集合S，它的勢一般用|S|表示。對于一個有限集，設(shè)|S|=k，那么，它有多少不同的子集呢？答案是2k。這是因為在一個子集里，S的每個元有兩種可能：屬于或不屬于這個子集。

    那么，兩個無限集怎么比大小呢？數(shù)學上是這么定義的：對兩個無限集A和B，如果存在一個一對一的映射，則稱它們勢相等（一樣多），如果A與B的一個子集一一對應(yīng)，但A與B不能一一對應(yīng)，則B的勢比A大。

    “數(shù)”從一開始就是用來表示物體數(shù)量的多少，于是一類數(shù)有多少本身也成了一個重要問題。自然數(shù)是可數(shù)的，它的勢稱為可數(shù)勢，記為?0. 那么，整數(shù)是不是可數(shù)的呢？如果令0?1，1?2，?1?3，2?4，?2?5…就可見整數(shù)與自然數(shù)一一對應(yīng)。于是，整數(shù)可數(shù)。也就是：整數(shù)與自然數(shù)一樣多！你也許會問：自然數(shù)是整數(shù)的子集，怎么會一樣多呢？這個多少，是由我們定義所決定的。無限集的一個特點就是，它可以與自己的一個真子集一一對應(yīng)。

    中學時看過一個講“無窮大”的故事，說一家人請客，來了無窮多客人。天下雨，每個客人帶一把傘來。宴會中來了個小偷，偷走了幾把傘。等宴會結(jié)束，每個客人還能拿到一把傘，誰也沒發(fā)現(xiàn)傘少了。

    表面上比整數(shù)“大”得多的有理數(shù)集，其實也是可數(shù)的。這不難，可以用分母大小排序。那么，實數(shù)是不是可數(shù)的呢？如果它可數(shù)，把實數(shù)排成x1, x2, x3, ?。定義一個數(shù)z，它小數(shù)點后第一位與x1 小數(shù)點后第一位不一樣，小數(shù)點后第二位與x2小數(shù)點后第二位不一樣，小數(shù)點后第三位與x3小數(shù)點后第三位不一樣，如此等等，那么，z應(yīng)該排第幾位呢？那一位都不是。因此，實數(shù)集不可數(shù)。實數(shù)集的勢稱連續(xù)勢，記作?.

    所謂連續(xù)統(tǒng)假定就是說，不存在一個集合，它的勢比?0大，又比?小。

    實際上，我們可以證明：2?0=?. 也就是，可數(shù)集的所有子集具連續(xù)勢。還可以證明，任何集合S都不可能跟它的子集族2S等勢。因此，世界上不存在最大的集合，因為它的子集族一定比它大。

4. 復數(shù)

    最早引進并系統(tǒng)使用復數(shù)的是意大利數(shù)學家R. Bombelli（1526-1572），其目的就是為了解方程，例如x2+1=0。于是有了a+bi，這里a,b是實數(shù)，i2=?1。如果說，引進“負數(shù)”還有一定實際背景的話，那么，“復數(shù)”從一開始真的是人類頭腦的自由創(chuàng)造物。中國傳統(tǒng)注重實用，關(guān)于“負數(shù)”或“復數(shù)”這些概念都沒有在中國古代數(shù)學書中出現(xiàn)。

    使用復數(shù)對解方程確實意義重大。代數(shù)方程理論的一個漂亮結(jié)果就是“代數(shù)基本定理”，它斷言：一個n次方程有且僅有n個根。當然，這些根未必都能用公式表出。中學生學過二次方程求根公式，根包括復根或重根。其實，3次及4次方程求解也不難。5次或5次以上方程沒有公式解。這在后面還會談到。

    復數(shù)以及以復數(shù)為變量的復變函數(shù)，后來得到許多應(yīng)用。最簡單的是電學中交流電的幅值與相位的表示。還記得早年學復變函數(shù)時對保角變換導出的茹科夫斯基曲線印象深刻，它可以用來計算飛機機翼升力。看來，純粹數(shù)學不必依賴于應(yīng)用，一個好的數(shù)學理論大概總會被后來人用上。

5. 代數(shù)數(shù)與超越數(shù)

    無理數(shù)可以分成兩類，一類像2√，31/3+2，等等，它們是某個有理系數(shù)多項式的根。這類數(shù)叫代數(shù)數(shù)。不是代數(shù)數(shù)的無理數(shù)，稱為超越數(shù)。我們最熟悉的超越數(shù)有π，e等。

    一個代數(shù)數(shù)，它所滿足的最低次代數(shù)方程的次數(shù)就稱為代數(shù)數(shù)的次。如2√是2次的，31/3+2 是3次的。一個代數(shù)數(shù)x如果是n次的，那么xt，t≥n就可以表示成：1,x,?,xn?1的一個有理線性組合。而具有這種性質(zhì)的數(shù)也必是代數(shù)數(shù)。

    代數(shù)數(shù)的有理倍數(shù)、乘積、倒數(shù)也都是代數(shù)數(shù)。不難證明，代數(shù)數(shù)也是可數(shù)的。

    有一個重要的數(shù)學分支叫代數(shù)數(shù)論。對此，除了名字我什么也不懂。由于代數(shù)數(shù)只有?0，那么，超越數(shù)就有?之多，也就是遠比代數(shù)數(shù)多。但（以前看到過）要證明一個數(shù)是超越數(shù)卻很難。人們現(xiàn)在知道的獨立的超越數(shù)似乎還很少。

6. 數(shù)域

    通常說，在一個數(shù)集合里，如果可以做“加、減、乘、除”，那么，這個集合就叫一個數(shù)域。嚴格地說，一個集合S，其上有兩種運算，記作+和×。如果

    （i）(S,+)是一個阿貝爾群，單位元記作0；

    （ii）(S?{0},×)也是一個阿貝爾群；

    （iii）加乘滿足分配律（如：(a+b)×c=a×c+b×c，等），

    那么，(S,+,×)就稱為一個域。

    最常用的數(shù)域是：（i）有理數(shù)域（Q）；（ii）實數(shù)域（R）；（iii）復數(shù)域（C）。那么，整數(shù)是不是域呢？代數(shù)數(shù)是不是域呢？留點懸念給大家吧。

    常用的還有一類域，是有限域：設(shè)p>1為素數(shù)，記Zp={0,1,?,p?1}，在Zp上定義模p加法和模p乘法，它就是個域。例如，Z5={0,1,2,3,4}，加法定義為：a+b(mod5)，即1+2=3；3+4=2，等。同樣，乘法定義為：a×b(mod5)，即3×2=1，等。

    把2√添加到有理數(shù)域Q上，就能生成一個新的域Q(2√)={a+b2√|a,b∈Q}。這叫域的擴張。有興趣不妨證明一下它的確是域。域的擴張是伽略華理論的基礎(chǔ)。規(guī)矩不能三等分任意角，五次方程沒有公式解等都可以由它證明。這篇博文本想介紹，但已經(jīng)太長，只好留以后再談了。

7. 復數(shù)、對偶數(shù)、雙曲數(shù)

    復數(shù)可以看著實系數(shù)的2維向量，這個向量空間以{1,i}為基底。特點是，兩個“向量”（復數(shù)）可以做乘法，結(jié)果還是一個“向量”。有乘法的向量空間在近世代數(shù)（或曰抽象代數(shù)）中稱為“代數(shù)”。跟“群”、“域”一樣，“代數(shù)”也是近世代數(shù)中一個重要代數(shù)結(jié)構(gòu)。把復數(shù)看成代數(shù)時不考慮除法。

    搞非線性控制的人都知道，微分流形上的向量場在李括號這種乘法下變成一個代數(shù)，稱為李代數(shù)。李代數(shù)是一個非常重要的非交換代數(shù)，因為每個李群都有一個自己的李代數(shù)。但一個李代數(shù)可以對應(yīng)多個李群，這涉及到復疊空間。中學學的三維向量加上叉積，就是最簡單的李代數(shù)。

    那么，還有沒有其他的2維代數(shù)呢？其實，我們只要加一個ξ，那么{a+bξ|a，b∈R}就是一個2維向量空間。于是，只要定義乘法就可以了。定義乘法等價于定義ξ2。因為只要ξ2定了，再由分配律，乘法也就定了。

    我們可以自由地定ξ2。當ξ2=?1，就有復數(shù)；如果定義ξ2=0，那么，得到的2維代數(shù)中的元素稱為對偶數(shù)（Dual Number）；如果定義ξ2=1，那么，得到的2維代數(shù)中的元素稱為雙曲數(shù)（Hyperbolic Number）。

    對偶數(shù)與雙曲數(shù)在力學與工程中都有很多應(yīng)用。近年來，在控制論中也有人用。

    除了這三個2維代數(shù)，還有沒有其他實系數(shù)2維代數(shù)了呢？我曾經(jīng)用矩陣半張量積方法證明：在同構(gòu)等價意義下只有這三種。這大概是早已知道的結(jié)果，只是自己不知出處而已。 

8. 尋找其他數(shù)域

    在實系數(shù)的代數(shù)里，除了復數(shù)，還有其他數(shù)域嗎？容易證明，對偶數(shù)、雙曲數(shù)都不是數(shù)域（沒有除法）。于是2維代數(shù)中只有復數(shù)才是域了。那么，高維代數(shù)中會不會有域呢？

    多年前自己在國外“Comp. Math and Appl.”雜志上發(fā)表過一篇討論關(guān)于實系數(shù)有窮維代數(shù)結(jié)構(gòu)的文章。其實，當時自己心里想找的就是這種域。文章最后還提到，不知這種域有沒有？審稿時沒碰上有關(guān)專家，結(jié)果給自己留了一條笑柄。

    其實，這是歷史上早已討論過的問題。歷史上許多數(shù)學家，包括哈密頓，都尋找過“3維復數(shù)”，但當然都失敗了。魏爾斯特拉斯在1861年證明了：實系數(shù)的有限維結(jié)合代數(shù)中，只有兩個數(shù)域：一維的實數(shù)域與二維的復數(shù)域。我們應(yīng)該感到高興：我們知道的這類數(shù)域不比數(shù)學家們少！

9. 四元數(shù)

    哈密頓沒找到“3維復數(shù)”，但他沒白忙呼，他找到了四元數(shù)。四元數(shù)集可表示為 {a+bi+cj+dk|a,b,c,d∈R}。其上的乘法怎么定義呢？令i2=j2=k2=?1，i×j=?j×i=k，j×k=?k×j=i，k×i=?i×k=j。

    容易證明，四元數(shù)每個非零元都有逆。實際上，它對加法是一個阿貝爾群，對乘法也是群，加乘滿足分配律。它或許是最接近于域的高維代數(shù)。缺的那一點就是乘法沒有交換律。

    四元數(shù)在力學中有很大用處，搞控制的人都知道，對一個剛體（如衛(wèi)星、導彈）的姿態(tài)，用四元數(shù)描述比用歐拉角描述的優(yōu)點在于，它可以避免90度或0度時三角函數(shù)間斷這種不連續(xù)困境。

10. 后記

    因為上次寫關(guān)于數(shù)學的博文時，提到關(guān)于有理數(shù)與實數(shù)的連續(xù)統(tǒng)假定，還犯了個錯，就有心寫一篇關(guān)于數(shù)的博文。本文主要是憑記憶寫的，沒有細查參考文獻，錯誤難免，歡迎拍磚。