即使在完全失聰?shù)淖詈髱啄辏惗喾?/span>(Beethoven)依然創(chuàng)作了弦樂四重奏，鋼琴奏鳴曲第30,31,32號，莊嚴彌撒和第九交響曲。對于一個沒有聽覺的人來說，音樂是什么？我無法回答，但是我想應該是超越了音樂本身。也許歐拉可以回答，在生命最后的八年里，他生活在一個完全黑暗的世界，雙目失明卻沒能阻止他繼續(xù)一篇又一篇的發(fā)表了占他一生百分之五十的論文。音樂對于貝多芬，數(shù)學對于歐拉也許只是他們存在的方式。不論他們自身如何改變，要么繼續(xù)這種方式，要么消失。
三大牛人的概念已經(jīng)深入人心，其實數(shù)學史上還有所謂的四杰，多出來這位就是本章的主人公歐拉。牛頓去世的時候歐拉十九歲，歐拉去世的時候高斯只有六歲，應該說歐拉趕上了好時候，牛頓和萊布尼茲留下了一個威力巨大的工具，微積分，卻沒有人能夠真正駕馭它。歐拉是第一個真正征服微積分的人。
歐拉的成長再次證明了數(shù)學史是一部天才史，天賦在這部歷史里是普遍現(xiàn)象。如果你覺得天才如SheldonCooper的人物只是The Big BangTheory劇集里虛構出的角色的話,那么在真實的數(shù)學史里我們可以在很多人的身上找到sheldon的身影，唯一不同的就是，他們都還有著至少正常的的情商。在數(shù)學家第三集團的陣容里，不乏聰明而勤奮的人，他們通過良好的教育縮小了與天才的差距，卻永遠也不能真正跟上天才的腳步，因為天才不是教育能培養(yǎng)出來的。歐拉進入巴塞爾大學是13歲，在前面我們提到過伯努利家族的人也是這所大學培養(yǎng)出來的，而歐拉能夠順利的進入沒有少年班的巴塞爾大學也有約翰?伯努利的功勞。當時約翰在巴塞爾大學任數(shù)學教授，也正是他推薦歐拉進入巴塞爾大學，當校長表示不支持錄取如此年輕的歐拉時，約翰說，“對于天才，年齡不能成為進入大學的一種限制?！?5歲的歐拉完成本科，16歲時取得了藝術碩士的學位，19歲得到博士學位，同一年歐拉獨立完成了他的第一項研究---船舶的桅桿配置---論述了在一艘船上應該有多少桅桿和在什么位置裝置這些桅桿，現(xiàn)在看來這不是什么重要的問題，但是在那個大航海時代這是關系到對海洋控制的國家利益問題。這個題目是當年巴黎金獎的題目，遺憾的是歐拉只獲得了安慰獎---榮譽提名,不過此后歐拉十二次榮獲巴黎金獎算是彌補了這個小小的遺憾。26歲的時候，歐拉接替丹尼爾?伯努利成為圣彼得堡科學院數(shù)學研究所的首席研究員，在33歲的時候離開俄國，到普魯士任柏林研究院首席數(shù)學研究員。在59歲的時候，受邀再次回到俄國，并在圣彼得堡度過了生命中最后的十七年。
關于歐拉的趣聞軼事不少,少年時數(shù)過天上的星星,幫老爸智改過羊圈,還自己發(fā)現(xiàn)了“完全數(shù)”,今天我挑戰(zhàn)一下向大眾傳播數(shù)學知識的高難度任務,講講歐拉在29歲解決的格尼斯堡七橋問題。這個問題本身并不復雜。如圖所示，
格尼斯堡這個城市被一條叫做Pregel的河分為四部分,兩岸(B和D)和兩座河心島(A和C),這四部分土地由七座橋按照圖中給出的方式連通在了一起,假設有一個人想散步,在散步過程中要求每座橋都經(jīng)過并且只經(jīng)過一次,而且起點與終點相同, 這樣的散步可以做到嗎? 當?shù)鼐用駥@個問題很感興趣, 很多人都親自實踐試圖找出答案,并因此掀起了一股全民健身的熱潮。我看了一下這個城市的航拍圖, 又用谷歌地圖估算了一下距離,從B出發(fā)經(jīng)5,1到D，再由4，7回到B，光這一圈就的有8公里左右，如果還要盡可能的走過每一座橋，那怎么也得10K了，好在沒有人因為研究這個問題而猝死。到了1735年,當?shù)鼐用癫淮蛩阍僭嚵?/span>,決定請人來幫忙。候選人有兩個,一個是歐拉,一個是當時世界馬拉松的冠軍,最后頭腦戰(zhàn)勝了身體，歐拉獲勝,被邀請到格尼斯堡研究這個問題。經(jīng)過一年的思考，歐拉終于得到了解答，這個散步是MissionImpossible,也就是說只有湯姆?克魯斯才能完成,考慮到幾百年以后阿湯哥才出生，所以七橋問題無解。下面我就給大家講解一下無解的原因。首先七橋問題不是一個數(shù)學問題，所以第一步我們要把它轉(zhuǎn)化為等價的數(shù)學問題，也就是下面這張圖。
圖二
ABCD四片土地被簡化為了四個點，有人說不對啊，我從B區(qū)的一個地方出發(fā)回到B區(qū)另外一個地方還是不滿足回到起點的要求啊。從B區(qū)任意一點到B區(qū)的另外任意一點都有不經(jīng)過任何一座橋的路線，所以你要是從B區(qū)任意一點出發(fā)做到不重復走過每座橋一次再回到B區(qū)任意一點，那實際上已經(jīng)解決了這個問題。七座橋被簡化成了7條連接這四個頂點的（?。┚€段，A和B之間有兩條弧線對應兩座橋連接AB兩區(qū)。又有人說不行啊，你把橋簡化的這么細，我又沒練過平衡木，走的時候掉下去怎么辦？這你不用擔心，在你掉下去之前，我已經(jīng)把你踹下去了。理解了這兩張圖是等價的,等價的數(shù)學問題就是從ABCD任意一個頂點出發(fā)，一筆畫出圖二中的圖形并回到起點，所謂一筆畫就是筆不離開紙不重復的畫出每一條邊。讓我們看兩個例子，比如說“田”字不能一筆畫，而“口”字和“串”字就可以一筆畫，不過“串”字的一筆畫不能回到起點，如下圖
在我給出最后的結論之前還要定義兩個名詞，奇點和偶點。所謂奇點就是有奇數(shù)條線與之相連的一個頂點，例如圖二中的ABCD，A有五條線相連，而BCD各有三條線相連,所以他們都是奇點。偶點就是有偶數(shù)條線與之相連，比如“田”字中心的那個點，有四條線與之相連。再讓我們來想想他們各自的性質(zhì)。在我們試圖一筆畫的過程中，要到達一個奇點總要通過一條和它相連的線，而要離開一個奇點，因為不能重復，所以還需要另外一條和它相連的線，一來一去需要兩條線，再來再去又需要兩條線，可是一共有奇數(shù)條線與它相連，所以總會富裕出一條。也有例外就是當這個點是起點或者終點，要么不需要進來要么不需要離開。而偶點就沒有這些問題，你總是可以選擇一半的線作為進路另一半作為退路。結論很簡單，一個圖形里面如果所有定點都是偶點，或者只有兩個奇點，那么這個圖形可以一筆畫出來。不過都是偶點的情形可以取任意點作為起點并在結束的時候回到起點，而兩個奇點的情況只能取其中之一作為起點，另外的奇點作為終點。回到七橋問題，因為四個點都是奇點，所以不能一筆畫。上面的這個結論被稱為歐拉定理，這個定理不僅解決了七橋問題，實際上這個定理回答了所有一筆畫問題。
孤立的解決一個困難的問題有時候有些意義，但是一流的數(shù)學家總是試圖找出或者創(chuàng)造出一個一般的方法去解決所有同類的問題。這是判斷一個數(shù)學家成就時候的一個重要標準，牛頓創(chuàng)造了數(shù)學史上可以說最有威力的工具---微積分；高斯統(tǒng)一了數(shù)論里面許多孤立的命題并給出了一般方法；亞里士多德就更牛了，從數(shù)學到哲學，從教育到社會，他都是一個體系一個體系的來，雖然今天看來，他的許多關于自然科學的結論是錯誤的，而且他的數(shù)學知識水平還不如現(xiàn)在一個普通的大學畢業(yè)生，但都絲毫不妨礙他憑借可以作為一般方法并包含近代數(shù)學思想萌芽的系統(tǒng)化理論躋身于超一流數(shù)學家的行列。七橋畫問題并不是一個很復雜的問題，在今天一筆畫問題只是小學奧林匹克數(shù)學競賽的題目，但是通過七橋問題，歐拉不但徹底解決了一筆畫問題，而且開啟了一個新的數(shù)學分支---圖論。這并不是歐拉的主要貢獻，他的主要貢獻是建立了數(shù)學里最重要的分支之一---分析。在歐拉之前，數(shù)學是代數(shù)和幾何雙雄爭霸，在歐拉之后數(shù)學變成了代數(shù)，幾何，分析三足鼎立。時至今日，即使數(shù)學的小分支可能有幾百個甚至更多，這個三足鼎立的大局面依然成立。
終于結束了這次漫長科普之旅，還是讓我們回到對歐拉本人的注意上面來吧。歐拉有兩個重要的天賦，第一是計算能力，第二是記憶力。關于記憶力，歐拉可以從頭到尾不猶豫地背誦出一本近萬行的史詩巨著《埃涅阿斯紀》，并能指出他所背誦的那個版本的每一頁的第一行和最后一行是什么。除此之外，歐拉還可以背出前100個素數(shù)中任何一個的10以內(nèi)的次方。而且即使在晚年，歐拉也可以記起他在青年時寫過的所有筆記。關于計算能力有一個非?？鋸埖睦?，有一次歐拉的兩個學生把一個復雜的收斂級數(shù)的17項加起來，算到第50位數(shù)字，兩人相差一個數(shù)字，歐拉為了確定究竟誰對，沒有借助任何工具，沒有電腦，沒有計算器，沒有用一支筆一張紙，只憑心算把錯誤給找了出來。順便提一下，高斯也有著不同尋常的記憶力和心算能力，他從來不用查對數(shù)表，對數(shù)表里的任何數(shù)字要么他記憶了下來要么他可以輕易地心算出來。對于今日的數(shù)學來說，心算能力顯得并不是那么重要，各種各樣的計算器，計算機和軟件可以替代我們做各種各樣的運算，不過對于青少年來說，超強心算能力也許可以被看做數(shù)學天賦的一種表露。
歐拉在31歲的時候就失去了右眼的視力，左眼在60歲的時候已經(jīng)只剩下一小部分視力，到68歲完全失明。就像失去聽覺的貝多芬可以完全不受外界雜音的干擾，只聆聽來自他內(nèi)心的聲音一樣，失去視力的歐拉，變得對自己頭腦里那些計算更為敏銳，在最后失明的八年里，他的效率更高了，前面說過他完成了一生中一半的著作。如果歐拉一生只有少量的著作，那么一半也沒有多少，可事實正好相反，歐拉是歷史上著作第二多的人，一共有886本書籍和論文，而且他64歲時的一場大火燒毀了他當時的全部手稿，否則會有更多的著作。這個記錄直到二十世紀才被匈牙利數(shù)學家保羅·埃爾德什打破。除了數(shù)字，還有兩則故事可以看出歐拉的多產(chǎn)，當歐拉在圣彼得堡科學院工作的時候，他把完成的論文堆成一摞，每完成一篇就把新論文放到最上面，每當科學院學報需要出版的時候，印刷工人就會取走最上面的幾篇，所以歐拉論文的出版順序并不是他寫作的順序，有時候歐拉對一個問題寫了一系列的論文，結果后面的先發(fā)了，后面一期反倒發(fā)的是之前的結果，更為夸張的是，在歐拉死后80年，圣彼得堡科學院還在發(fā)表他的論文。在1909年的時候，瑞士科學院試圖整理收集并出版歐拉全部的著作，為此籌措了8萬美元，在當時已經(jīng)是一筆巨款了，結果因為在圣彼得堡科學院又發(fā)現(xiàn)了歐拉的大量手稿而告吹。
歐拉是一個可以在任何環(huán)境任何條件下工作的數(shù)學家，他一共有過13個子女，據(jù)說他寫論文的時候可以把最小的嬰兒放在腿上，讓其他大一點的孩子圍著他玩。這一點是我最羨慕歐拉的地方，我目前每天只負責在幾個特定的時間段哄我女兒入睡，而我除了抱著她以外，什么也干不了。不過有一點是我想要指責歐拉的，這13個子女只有五個長大成人，可能有疾病或者什么其他因素，作為父親的我實在是無法理解。
歐拉還有一個很大的貢獻就是在數(shù)學的推廣與教育上，包括第一次引進介紹一些符號如圓周率π，自然數(shù)e,虛數(shù)單位i,正弦sin,，余弦cos,求和符號Σ和一般函數(shù)f(x)。而且歐拉的文學功底很好，寫起東西來文辭優(yōu)美，他為了向腓特烈大帝的侄女，安哈爾特-德始公主介紹數(shù)學,力學,物理光學,天文學等課程，他給公主寫了一系列的信件作為教材，后來這些信件編輯成《致一位德國公主的信》，號稱世界上第一本科普讀物，被印成了7種文字的單行本。
1783年9月的一天，歐拉在喝著茶跟孩子玩的時候，中風發(fā)作。手中煙斗掉了，只說出一句話“我死了”。 “歐拉便停止了生命和計算?！保╤eceased to calculate and to live）法國數(shù)學家孔多塞如是說。
最后我想用--世界上最美數(shù)學公式，完美結合了π，e，i---歐拉公式的一個特例來結束這章。
