一、選擇題
1 、△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E是BC上的點(diǎn)，∠BAD=∠DAE=∠EAC，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 2個(gè)
B. 3個(gè)
C. 4個(gè)
D. 6個(gè)
【正確答案】D
【題目解析】
考點(diǎn)：等腰三角形的判定．
分析：由已知條件，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°、角的平分線的性質(zhì)求得各個(gè)角的度數(shù)，然后利用等腰三角形的判定進(jìn)行找尋，注意做到由易到難，不重不漏．
解答：
解：AB=AC，∠ABC=36°，
∴∠BAC=108，
∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°．
∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6個(gè)．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個(gè)角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵．
2、如圖，P、Q是△ABC邊BC上的兩點(diǎn)，且QC=AP=AQ=BP=PQ，則∠BAC為（）
A. 125°
B. 130°
C. 90°
D. 120°
【正確答案】D
【題目解析】
考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)．
分析：先根據(jù)BP=QC=PQ=AP=AQ求證△APQ為等邊三角形，△ABP為等腰三角形，△AQC為等腰三角形，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠QAC和∠BAP的度數(shù)即可．
解答：解：∵BP=QC=PQ=AP=AQ，
∴△APQ為等邊三角形，△ABP為等腰三角形，△AQC為等腰三角形，
∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，
在△ABP和△CAQ中，，
∴△ABP≌△ACQ，
同理：∠BAP=30°，
∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是判定出△APQ為等邊三角形，△ABP為等腰三角形，△AQC為等腰三角形，然后利用三角形外角的性質(zhì)即可求解．
3、如圖，在△ABC中，AB=AC，AD=DE，若∠BAD=18°，∠EDC=12°，則∠ADE=（ ）
A. 56°
B. 58°
C. 60°
D. 62°
【正確答案】A
【題目解析】
考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)．
分析：設(shè)∠ADE=x°，則∠B+18°=x°+12°，可用x表示出∠B和∠C，再利用外角的性質(zhì)可表示出∠DAE和∠DEA，在△ADE中利用三角形內(nèi)角和可求得x．
解答：解：設(shè)∠ADE=x°，且∠BAD=18°，∠EDC=12°，
∴∠B+18°=x°+12°，
∴∠B=x°﹣6°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x°﹣6°，
∴∠DEA=∠C+∠EDC=x°﹣6°+12°=x°+6°，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE=x°+6°，
在△ADE中，由三角形內(nèi)角和定理可得
x+x+6+x+6=180，
解得x=56，即∠ADE=56°，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及外角的性質(zhì)，用∠ADE表示出∠DAE和∠DEA是解題的關(guān)鍵．
4 、如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE，則△CDE的周長(zhǎng)為（ ）
A. 20
B. 12
C. 14
D. 13
【正確答案】C
【題目解析】
考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的性質(zhì)．
分析：根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD⊥BC，CD=BD，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE=CE=?AC，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解．
解答：解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，
∴AD⊥BC，CD=BD=?BC=4，
∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，
∴DE=CE=?AC=5，
∴△CDE的周長(zhǎng)=CD+DE+CE=4+5+5=14．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
5、上午8時(shí)，一條船從海島A出發(fā)，以15n mile/h（海里/時(shí)，1n mile=1852m）的速度向正北航行，10時(shí)到達(dá)海島B處，從A、B望燈塔C，測(cè)得NAC=42°，NBC=84°．則從海島B到燈塔C的距離為（ ）
A. 45n mile
B. 30n mile
C. 20n mile
D. 15n mile
【正確答案】B
【題目解析】
考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)；方向角．
專題：應(yīng)用題
分析：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，求證∠C=∠NAC，然后即可證明BC=AB，從而求得B到C的距離．
解答：解：∵∠NBC=84°，∠NAC=42°，
∴∠C=84°﹣42°=42°．
∴∠C=∠NAC，
∴BC=AB，
∵上午8時(shí)，一條船從海島A出發(fā)，以150n mile/h的速度向正北航行．10時(shí)到達(dá)海島B處，
∴BC=AB=15×2=30n mile．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6 、已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 2α+∠A=180°
B. α+∠A=90°
C. 2α+∠A=90°
D. α+∠A=180°
【正確答案】A
【題目解析】
考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
專題：壓軸題．
分析：由AB=AC，根據(jù)等邊對(duì)等角，即可得∠B=∠C，又由BF=CD，BD=CE，可證得△BDF≌△CED（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求得∠B=∠C=α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求得答案．
解答：解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵BF=CD，BD=CE，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠EDC，
∵α+∠BDF+∠EDC=180°，
∴α+∠BDF+∠BFD=180°，
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，
∴∠B=α，
∴∠C=∠B=α，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2α+∠A=180°．
故選：A．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
7 、下列說(shuō)法：①角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；
②等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；
③三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)且這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；
④等腰三角形的一邊長(zhǎng)為8，一邊長(zhǎng)為16，那么它的周長(zhǎng)是32或40．
其中，所有正確說(shuō)法的序號(hào)是（ ）
A. ①②③
B. ②③④
C. ①③
D. ②④
【正確答案】C
【題目解析】
考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)判斷①；
根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)判斷②；
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷③；
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系及周長(zhǎng)的定義判斷④．
解答：
解：①角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，說(shuō)法正確；
②等腰三角形底邊上的高、中線與頂角的角平分線互相重合，說(shuō)法錯(cuò)誤；
③三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)且這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，說(shuō)法正確；
④等腰三角形的一邊長(zhǎng)為8，一邊長(zhǎng)為16，那么它的周長(zhǎng)是40．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，熟記性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．
8 、如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；
②DE=BD+CE；
③△ADE的周長(zhǎng)等于AB與AC的和；
④BF=CF．
其中正確的有（ ）
A. ①②③
B. ①②③④
C. ①②
D. ①
【正確答案】A
【題目解析】
考點(diǎn)：等腰三角形的判定；角平分線的性質(zhì)．
分析：由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)．
解答：
解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分線，CF是∠ACB的平分線，
∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，
∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴DF=DB，F(xiàn)E=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，
∴△ADE的周長(zhǎng)AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，及等角對(duì)等邊來(lái)判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵．
9 、如圖，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△APQ是以PQ為底的等腰三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（ ）
A. 2.5秒
B. 3秒
C. 3.5秒
D. 4秒
【正確答案】D
【題目解析】
考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)．
專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．
分析：設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，則AP=20﹣3x，當(dāng)APQ是等腰三角形時(shí)，AP=AQ，則20﹣3x=2x，解得x即可．
解答：
解：設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)△APQ是等腰三角形時(shí)，AP=AQ，
AP=20﹣3x，AQ=2x
即20﹣3x=2x，
解得x=4．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)這一知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題涉及到動(dòng)點(diǎn)，有一定的拔高難度，屬于中檔題．
二、簡(jiǎn)答題 (1題)
已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°．點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且DB=DC，∠DCB=30°．點(diǎn)E為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AE=AB．
（1）求∠ADE的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)M在DE上，且DM=DA，求證：ME=DC．
【正確答案】
解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB= =75°，
∵DB=DC，∠DCB=30°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°，
∵AB=AC，DB=DC，
∴AD所在直線垂直平分BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=?∠BAC=15°，
∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°；
（2）連接AM，
∵∠ADE=60°，DM=AD，
∴△ADM是等邊三角形，
∴∠ADB=∠AME=120°
∵AE=AB，
∴∠ABD=∠E，
在△ABD和△AEM中，
∴△ABD≌△AEM（AAS），
∴BD=ME，
∵BD=CD，
∴CD=ME．
【題目解析】
【分析】
（1）易求∠ABD的大小，易求AD所在直線垂直平分BC，根據(jù)等腰三角形底邊三線合一性質(zhì)可得AD平分∠BAC，根據(jù)三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角性質(zhì)即可解題；
（2）連接AM，易證△ABD≌△AEM，可得BD=ME，根據(jù)BD=CD即可求得ME=CD．
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