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重慶南開中學(xué)高2020屆第三次月考21題：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式

2019.12.26

驚聞快2020了，時(shí)間轉(zhuǎn)瞬即逝。

此去洪崖洞不遠(yuǎn)。

2018，龍貓上映，2019，千與千尋又火了一把，而我與宮崎駿的距離，比冥王星還要遠(yuǎn)。

九開八閉十七門，翠微門上掛彩緞，千廝門外雪如山。

年復(fù)一年……

1 圍觀

一葉障目，抑或胸有成竹

導(dǎo)數(shù)與數(shù)列、不等式結(jié)合，歷來是考試的難點(diǎn)。像這種題，導(dǎo)數(shù)通常只是個(gè)噱頭，真正考查的是數(shù)列不等式。

我是蠻喜歡這樣的題的，兼具導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的優(yōu)良品質(zhì)，真正體現(xiàn)思維的高度。

證明數(shù)列不等式的方法不勝枚舉，常用的是“放縮法”和“數(shù)學(xué)歸納法”。另外，證明過程中也時(shí)常夾雜分析法、綜合法，構(gòu)造法，以及反證法。

數(shù)學(xué)歸納法早已被邊緣化，導(dǎo)數(shù)又并非莫名，因此，暗示性很明顯——放縮法。

2 套路

手足無措，抑或從容不迫

3 腦洞

浮光掠影，抑或醍醐灌頂

本題完全可以摒棄第1問，它與整個(gè)題目格格不入。杵在這兒無非是為了送分，不至于得分率太難看。

可見命題者為了整體水平也是操碎了心。

盡管第2問不難，但卻是第3問的基礎(chǔ)，能否完美地解答本題，關(guān)鍵在此。

法1，結(jié)合第2問得出不等式，利用不等式放縮，裂項(xiàng)累加便可證明結(jié)論。

法2，就當(dāng)本題只有第3問好了，數(shù)學(xué)歸納法暴力證明（注：ln2≈0.69）。

使用數(shù)學(xué)歸納法，兩個(gè)步驟缺一不可，第1步奠基，第2步遞推。奠基不一定從第1項(xiàng)開始，遞推必定用到歸納假設(shè)。

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，時(shí)常出現(xiàn)歸納無法過渡，這時(shí)不妨先證明一個(gè)加強(qiáng)命題，然后實(shí)現(xiàn)對原不等式的證明。

另外，本題亦可從結(jié)論入手：

法3并非別出機(jī)杼，除了形式，與法1并無二致。倒是法1中的放縮猶如神來之筆，結(jié)論恰到好處。就算有第2問的強(qiáng)勢鋪墊，也未必能應(yīng)用自如。

是命題者道德的淪喪？還是人性的扭曲？

無論是哪種，我都笑出了豬叫。

是不是恍然大悟？

有了上述結(jié)論，如法炮制，還可玩出更多花樣。

4 操作

行同陌路，抑或一見如故

興來一揮百紙盡，駿馬倏忽踏九州。
我書意造本無法，點(diǎn)畫信手煩推求。

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