| 一、《幾何原本》思想方法的體例及特點(diǎn) 《幾何原本》共有十三篇，第一篇到第四篇是關(guān)于平面幾何一一直線形和圓的理論，第五篇是比例論，第六篇講平面相似形，第七、八、九篇?jiǎng)t闡述算術(shù)(數(shù)論)，第十篇是關(guān)于“不可通約量”的理論，第十一、十二、十三篇是關(guān)于立體幾何的理論和“窮竭法”。從內(nèi)容上來(lái)看，可以說(shuō)，包括了當(dāng)時(shí)希臘數(shù)學(xué)各個(gè)方面的成就?！稁缀卧尽匪枷敕椒ㄉ系奶攸c(diǎn)，可以表述如下。 （1）封閉的演繹體系 《幾何原本》就是一個(gè)最早的標(biāo)準(zhǔn)的演繹體系：由少數(shù)不定義的概念，如點(diǎn)售線、平面等等，和不證明的命題——公理與公設(shè)——出發(fā)，在需要的地方，定義出相應(yīng)的概念，按著一定的邏輯規(guī)則，演繹出所有其他命題來(lái)。在《幾何原本》的演繹體系中，公理是最一般的命題，它們是一系列演繹推理的前提，這個(gè)體系的所有其他命題，都是從公理(通過(guò)適當(dāng)?shù)亩x)推導(dǎo)出來(lái)的。除了推導(dǎo)所需要的邏輯規(guī)則外，《幾何原本》的由一系列公理、定義、定理等構(gòu)成的數(shù)學(xué)理論體系，原則上不必依賴于其他東西。當(dāng)然，在實(shí)際上，《幾何原本》在某些地方背離了這個(gè)原則：證明某些命題時(shí)運(yùn)用了公理和邏輯規(guī)則之外的“直觀”。但是，那只是個(gè)別的地方，并不影響體系的大局；而且，正是作為《幾何原本》的“缺陷”而受到了人們的指責(zé)的，后來(lái)的人們按歐幾里得的原意，不斷地在體系中排除直觀，得到更嚴(yán)格 的數(shù)學(xué)理論體系，其指導(dǎo)思想正是由《幾何原本》開始的。由于《幾何原本》的這種思想原則和結(jié)構(gòu)方式，從實(shí)質(zhì)上說(shuō)，《幾何原本》是一個(gè)比較完整的、相對(duì)封閉的數(shù)學(xué)理論體系。 （2）抽象化的內(nèi)容 《幾何原本》以及以它為代表的古希臘數(shù)學(xué)著述，都是論述一般的、抽象的數(shù)學(xué)概念和命題的，它們探討的只是概念和命題的各種邏輯關(guān)系，由一些給定了的概念和命題推演出另一些概念和命題。它不考慮產(chǎn)生這些概念和命題的社會(huì)背景，也不研究這些數(shù)學(xué)“模型”所由之產(chǎn)生的那些現(xiàn)實(shí)原型。比如在《幾何原本》中研究了“所有的”矩形(即抽象的“矩形”概念)的性質(zhì)，但卻不研究任何一個(gè)具體的矩形的實(shí)物的大小。又如在《幾何原本》中，研究數(shù)的若干性質(zhì)，但卻一點(diǎn)也不涉及具體的數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用。它用線段表示數(shù)，即一般的、抽象的數(shù)，用演繹推理研究其性質(zhì)。它排斥各種理論的實(shí)際應(yīng)用，重視抽象理論、鄙視具體運(yùn)用是《幾何原本》的基本傾向。 （3）公理化的方法 作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一種基本的表述方法和發(fā)展方式的公理法就是以歐幾里得的《幾何原本》開其端的。它采用了前面我們說(shuō)的比較嚴(yán)格的演繹體系——通常稱為公理體系，而建立公理體系的方法就稱為公理方法。歐幾里得的公理法對(duì)后世影響極大，《幾何原本》作為公理法的典范對(duì)數(shù)學(xué)以及科學(xué)的發(fā)展起了很大的作用?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)和各門科學(xué)中的公理法正是由《幾何原本》的公理法發(fā)展出來(lái)的。 作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一種基本的表述方法和發(fā)展方式的公理法就是以歐幾里得的《幾何原本》開其端的。它采用了前面我們說(shuō)的比較嚴(yán)格的演繹體系——通常稱為公理體系，而建立公理體系的方法就稱為公理方法。 《幾何原本》13篇，共給出475個(gè)(有的版本是477個(gè))命題，其中10個(gè)作為公理(原書分為5個(gè)“公理”，5個(gè)“公設(shè)”——公理是指在“所有”科學(xué)中都適用的而公設(shè)則僅適用于“幾何學(xué)”，現(xiàn)代人們不加區(qū)別，一概稱為公理)，其余465個(gè)命題都是由這些公理及有關(guān)概念的定義演繹推導(dǎo)出來(lái)的。在每一篇的開頭都先給出本篇中所需要的概念的定義，共給出119個(gè)定義。其中除了“點(diǎn)”、“線”、“面”等應(yīng)看作不定義的概念以及個(gè)別定義不確外，基本上都是符合邏輯上對(duì)定義的要求的。 從結(jié)構(gòu)上來(lái)看，在第一篇開頭給出了10個(gè)公理，這是對(duì)全書都有效的，然后給出23個(gè)定義，定義之后開始逐一引入和證明定理。定理的引入是有序的，因?yàn)樵谝粋€(gè)定理的證明中，允許采用的論據(jù)只有公理和前面已經(jīng)證過(guò)的定理。以后各篇除了不再給出公理外也都照此辦理，全書來(lái)看也符合這種有序性：后面各篇中可以利用前面各篇中的定義和定理作為證明的依據(jù)。除了個(gè)別定理的證明不夠嚴(yán)格，例如利用了圖形的直觀等，還有個(gè)別證錯(cuò)的以外， 大部分證明從今天的觀點(diǎn)來(lái)看也是正確的。 歐幾里得的公理法對(duì)后世影響極大，《幾何原本》作為公理法的典范對(duì)數(shù)學(xué)以及科學(xué)的發(fā)展起了很大的作用?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)和各門科學(xué)中的公理法正是由《幾何原本》的公理法發(fā)展出來(lái)的。 二 《幾何原本》的思想方法源遠(yuǎn)流長(zhǎng) 《幾何原本》可以說(shuō)是古希臘數(shù)學(xué)思想的集中表現(xiàn)，它把古希臘數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)思想方法的特點(diǎn)發(fā)揚(yáng)光大了?？疾旃畔ＥD數(shù)學(xué)思想的來(lái)源，則要追溯到古希臘人進(jìn)入文明的自然歷史條件。 希臘文明是一個(gè)海上文明，希臘半島被海灣地峽和高山分隔為彼此幾乎隔絕的小區(qū)域，又有愛琴海上和愛奧尼亞海上希臘兩邊諸島嶼，把希臘半島和小亞細(xì)亞)意大利連接起來(lái)。當(dāng)船在海上航行時(shí)，前后都有肉眼可以望得見的島嶼，能夠指示航程，這種條件幾乎是世界上任何其他地區(qū)都不具備的。希臘海上文明以向海外移民的方式進(jìn)行發(fā)展，移民點(diǎn)首先形成城邦國(guó)家，海外貿(mào)易成為極其重要的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)。 正是希臘奴隸制國(guó)家的這種獨(dú)特的城邦制度決定了古希臘文化以及數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。 在古希臘的社會(huì)生活中，需要應(yīng)用數(shù)學(xué)來(lái)解決的問(wèn)題，當(dāng)然包括辦理事務(wù)、商業(yè)貿(mào)易、以及最基本的社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐——農(nóng)業(yè)、手工業(yè)—一等方面的問(wèn)題。對(duì)于利用數(shù)學(xué)來(lái)解決這些問(wèn)題，—方面在古埃及數(shù)學(xué)，巴比倫數(shù)學(xué)中已小有基礎(chǔ)，稍加改變就可以應(yīng)用；另一方面由于古希臘城邦制度，大量使用奴隸勞動(dòng)，而同時(shí)，古希臘的手工業(yè)和商業(yè)都是私人的事業(yè)，因而實(shí)際上在頗大的程度上，它們也是由奴隸(管家)具體經(jīng)營(yíng)的，奴隸可以采用古代東方傳來(lái)的數(shù)學(xué)解決這些問(wèn)題。在奴隸社會(huì)中，奴隸主階級(jí)是不會(huì)從事奴隸所做之事的，這就使得作為奴隸主階級(jí)中人的古希臘數(shù)學(xué)家所創(chuàng)立的數(shù)學(xué)體系中不包含實(shí)際應(yīng)用數(shù)學(xué)的內(nèi)容。古希臘數(shù)學(xué)家十分鄙視“應(yīng)用”數(shù)學(xué)，這也是一個(gè)重要的原因。 那么當(dāng)時(shí)的社會(huì)實(shí)踐向數(shù)學(xué)家(他們都是哲學(xué)家)提出了什么問(wèn)題呢？提出了在政治生活中怎樣提高辯論技巧的問(wèn)題。由于古希臘的城邦制度，奴隸主階級(jí)成員都享有廣泛的民主，“民主生活又使得議事會(huì)、陪審法庭和公民大會(huì)成為說(shuō)話的藝術(shù)即雄辯術(shù)的廣闊的用武之地，雄辯術(shù)可以使一個(gè)普通公民成為民眾的領(lǐng)袖。” 辯論術(shù)成為希臘哲學(xué)家(他們也是數(shù)學(xué)家)所努力研究的對(duì)象，而數(shù)學(xué)是辯論術(shù)的有力工具。不過(guò)辯論術(shù)需要的數(shù)學(xué)和農(nóng)業(yè)、手工 業(yè)及商業(yè)中需要的數(shù)學(xué)是不一樣的。用數(shù)學(xué)作為辯論術(shù)的工具就要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確性、邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、發(fā)展數(shù)學(xué)證明的技巧和方法等等。實(shí)際上，古希臘的邏輯學(xué)就是與數(shù)學(xué)有關(guān)地發(fā)展起來(lái)的。 古希臘社會(huì)生活中的實(shí)踐需要，促使了數(shù)學(xué)演繹方法的發(fā)展，促進(jìn)了形式邏輯的發(fā)展，這種家展反過(guò)來(lái)又作用于數(shù)學(xué)，在一定程度上左右了數(shù)學(xué)發(fā)展的方向，于是逐漸發(fā)展了公理化的方法，強(qiáng)調(diào)抽象化的理論，形成了封閉的演繹體系。當(dāng)然，這個(gè)體系的形成是一個(gè)較長(zhǎng)的歷史過(guò)程。 古希臘的泰勒斯(Thales，約公元前624—547年)首先開始采用數(shù)學(xué)證明的方法，他是公認(rèn)的希臘哲學(xué)的鼻祖。泰勒斯早年是一個(gè)商人，曾游訪巴比倫、埃及等地，學(xué)到了古代的知識(shí)。后來(lái)開始從自然現(xiàn)象中去尋找真理，創(chuàng)立了伊奧尼亞學(xué)派。據(jù)說(shuō)，泰勒斯曾測(cè)量過(guò)埃及金字塔的高度，還預(yù)言過(guò)公元前585年5月28日發(fā)生的一次日蝕。他的最大的貢獻(xiàn)則是開始采用證明方法，它標(biāo)志著希臘人的數(shù)學(xué)走上了抽象化發(fā)展的道路。 稍后，有畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras，約公元前580—500年，希臘)及其學(xué)派的數(shù)學(xué)工作。他們企圖用數(shù)來(lái)解釋一切，不僅僅認(rèn)為萬(wàn)物都包含數(shù)，而且說(shuō)萬(wàn)物都是數(shù)。畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了勾股定理，可能他學(xué)派中的成員還給出了證明(西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理)，并且由此導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)。他們還找到用三個(gè)正整數(shù)表示直角三角形三邊長(zhǎng)的一種公式，發(fā)現(xiàn)了五種正多面體。在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派那里，數(shù)學(xué)完全離開了人們的實(shí)際應(yīng)用(泰勒斯還把數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題)成為一門抽象的科學(xué)。 公元前5世紀(jì)，雅典出現(xiàn)了智人學(xué)派，他們把數(shù)學(xué)與雄辯術(shù)、文法、邏輯、天文等結(jié)合起來(lái)探討。他們?cè)跀?shù)學(xué)上研究的中心問(wèn)題是尺規(guī)作圖的三大問(wèn)題：1．三等分任意角；2．倍立方—一求作一個(gè)立方體，使其體積是一已知立方體的二倍；3．化圓為方——求作一正方形，使其面積等于一已知圓。這三個(gè)問(wèn)題當(dāng)時(shí)并沒有解決，但對(duì)它的研究促進(jìn)了數(shù)學(xué)的抽象化發(fā)展，實(shí)際上，“智人”們探討作圖問(wèn)題的興趣并不在于圖形的實(shí)際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這些問(wèn)題，這是數(shù)學(xué)從實(shí)際應(yīng)用向理論研究過(guò)渡的一個(gè)重要的步驟。尺規(guī)作圖的研究為公理的形成奠定了基礎(chǔ)——關(guān)于尺規(guī)作圖的規(guī)定與后來(lái)歐幾里得《幾何原本》中的若干公理是一致的。 愛利亞(E1ea，意大利半島南端)學(xué)派的巴門尼德(Parmenides，約公元前6世紀(jì)末一公元前5世紀(jì)中葉以后，希臘)第一個(gè)采用了反證法，反證法的采用使得人們得到某種抽象的思想事物的“存在”性，從而實(shí)現(xiàn)了認(rèn)識(shí)中從個(gè)別到一般的轉(zhuǎn)化，對(duì)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展具有重大的意義。這一個(gè)學(xué)派的芝諾(Zeno，約公元前49—43年，希臘)在證明中使用了歸謬法，而且他提出的四個(gè)悖論(二分悖論，追龜悖論、飛箭不動(dòng)、運(yùn)動(dòng)場(chǎng)悖論)對(duì)邏輯的發(fā)展也起了巨大的推動(dòng)作用。 雅典學(xué)派的柏拉圖(Phton，約公元前427—347年，希臘)非常重視數(shù)學(xué)，論述了許多論證方法、定義方法及一些邏輯規(guī)律，他最先要求數(shù)學(xué)定義要準(zhǔn)確，假設(shè)要清楚并提出證明的某些邏輯要求。柏拉圖的學(xué)生亞里士多德(Aristotcles，公元前384—322，希臘)對(duì)古希臘數(shù)學(xué)體系的形成作出了重大貢獻(xiàn)。首先，他給出西方第一個(gè)邏輯系統(tǒng)；他對(duì)各種邏輯規(guī)律，例如矛盾律、排中律、同一律都作了論述，指出它們?cè)谶壿嬜C明中的重要意義；他發(fā)展了三段論法這種演繹推理的基本方法，實(shí)際上，他的三段論體系就是一個(gè)初級(jí)的公理體系，明顯的表現(xiàn)出公理化的傾向；他論述了一個(gè)體系內(nèi)不定義的概念和不證明的公理存在的必要性，并在實(shí)際上給出后來(lái)歐幾里得所采用的某些公理。亞里士多德奠定了古希臘數(shù)學(xué)的、邏輯基礎(chǔ)，歐幾里得正是在這個(gè)基礎(chǔ)上完成了自己的體系的。 《幾何原本》的公理化方法是一種嚴(yán)格的演繹推理方法，每一步推理都要求有根據(jù)，這種嚴(yán)格性本身就不能接受“無(wú)限”的觀念。這也是古希臘數(shù)學(xué)思想的一個(gè)傳統(tǒng)，亞里士多德就不承認(rèn)“實(shí)無(wú)限”——實(shí)際上的、真實(shí)存在的完成了的無(wú)限——的存在，他認(rèn)為只有“潛無(wú)限”——一種潛在的、不斷繼續(xù)的、不能完成的過(guò)程——概念?！稁缀卧尽防^承了這種思想并以一種數(shù)學(xué)體系來(lái)表達(dá)出這一點(diǎn)。但不承認(rèn)“實(shí)無(wú)限”與數(shù)學(xué)本身是有矛盾的，例如巴門尼德的存在性證明，芝諾的歸謬法，都是《幾何原本》中采用的有效論證方法，但它們實(shí)際上是依賴于“實(shí)無(wú)限”的觀念的——只有承認(rèn)無(wú)限集合是一個(gè)完成了的“存在”，才能對(duì)其使用排中律，這是反證法的依據(jù)。此外，“不可通約”量的“存在”也就是實(shí)無(wú)限的存在，在古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展之初，就由于發(fā)現(xiàn)不可通約量而引起了一場(chǎng)“危機(jī)”，這實(shí)際就是這種矛盾的——種表現(xiàn)。對(duì)這個(gè)矛盾，《幾何原本》采取了回避的辦法，例如一條直線的延長(zhǎng)可能，不說(shuō)成可以“無(wú)限”延長(zhǎng)，而說(shuō)成可以“任意”延長(zhǎng)；第五公設(shè)的表述方式最能體現(xiàn)這一點(diǎn)：不采用過(guò)直線外一點(diǎn)只能引該直線的一條平行線這一命題，而采用“如果一直線和兩直線相交，所構(gòu)成的兩個(gè)同側(cè)內(nèi)角之和小于兩直角，那么，把這兩直線延長(zhǎng)，它們一定在那兩內(nèi)角所在的一側(cè)相交”這種說(shuō)法，回避了檢驗(yàn)平行的無(wú)限延長(zhǎng)問(wèn)題。但回避并不等于不存在矛盾，《幾何原本》的—些缺點(diǎn)，例如有的地方過(guò)于依賴直觀沒有引入相應(yīng)公理夕在很大程度上也與這種“回避”有關(guān)，因?yàn)槔邕B續(xù)性也是依賴于“實(shí)無(wú)限”觀。 《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)由泰勒斯和畢達(dá)哥拉斯開其端的傳統(tǒng)發(fā)展的產(chǎn)物，可以說(shuō)是古希臘數(shù)學(xué)的最高成就。它開拓了數(shù)學(xué)思想發(fā)展的一個(gè)取之不竭的源泉，對(duì)人類文化的發(fā)展做出了重大的貢獻(xiàn)。但它本身，隨著希臘文明的興衰，卻有著一段曲折的經(jīng)歷。 公元前4世紀(jì)，由于馬其頓人征服了希臘，希臘文化得以傳到地中海沿岸的廣大地區(qū)，特別是埃及的亞歷山大成為學(xué)術(shù)的中心，希臘本土反而退居次要地位。公元前146年，羅馬人滅亡希臘，并主宰了地中海沿岸地區(qū)，亞歷山大的希臘學(xué)者仍能繼承前人的工作，數(shù)學(xué)上有所建樹。在當(dāng)時(shí)的社會(huì)急劇變化的情況下，數(shù)學(xué)也有了多方面的發(fā)展，如數(shù)論、大地測(cè)量、算術(shù)等，而歐幾里得《幾何原本》提供的體系上、思想方法上的范例仍然是一條主線。 公元325年，羅馬帝國(guó)君土坦丁大帝開始利用宗教作為統(tǒng)治工具，把一切學(xué)術(shù)都置于基督教神學(xué)的控制之下。529年，東羅馬 帝國(guó)皇帝查土丁尼下令關(guān)閉雅典的柏拉圖學(xué)園以及其他學(xué)校，嚴(yán)禁傳授數(shù)學(xué)。許多學(xué)者逃到敘利亞和波斯等地。希臘數(shù)學(xué)受到沉重的打擊。641年，亞歷山大被阿拉伯人占領(lǐng)，圖書館被毀，古希臘數(shù)學(xué)至此中斷。 這時(shí)的歐洲，已進(jìn)入中世紀(jì)的“黑暗時(shí)代”，數(shù)學(xué)受到了冷遇，《幾何原本》也無(wú)人問(wèn)津了。 |
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