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計(jì)算機(jī)內(nèi)部是以二進(jìn)制形式表示數(shù)據(jù)和進(jìn)行運(yùn)算的；計(jì)算機(jī)內(nèi)的地址等信號(hào)常用十六進(jìn)制來表示，而人們?nèi)粘Ｓ至?xí)慣用十進(jìn)制來表示數(shù)據(jù)。這樣要表示一個(gè)數(shù)據(jù)就要選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)字符號(hào)來規(guī)定其組合規(guī)律，也就是要確定所選用的進(jìn)位計(jì)數(shù)制。各種進(jìn)位制都有一個(gè)基本特征數(shù)，稱為進(jìn)位制的“基數(shù)”?；鶖?shù)表示了進(jìn)位制所具有的數(shù)字符號(hào)的個(gè)數(shù)及進(jìn)位的規(guī)律。下面就以常用的十進(jìn)制、二進(jìn)制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制為例，分別進(jìn)行敘述。

一、常用的三種計(jì)數(shù)制

1、十進(jìn)制（Decimal）

十進(jìn)制的基數(shù)是10，它有10個(gè)不同的數(shù)字符號(hào)，即0、1、2、3、…、9。它的計(jì)數(shù)規(guī)律是“逢十進(jìn)一”或“借一當(dāng)十”。處在不同位置的數(shù)字符號(hào)具有不同的意義，或者說有著不同的“權(quán)”。所謂的“權(quán)”就是每一位對(duì)其基數(shù)具有不同的倍數(shù)。例如，一個(gè)十進(jìn)制數(shù)為

123．45=1*102+2*101+3*100+4*10-1+5*10-2

等號(hào)左邊為并列表示法，等號(hào)右邊為多項(xiàng)式表示法，顯然這兩種表示法表示的數(shù)是等價(jià)的。在右邊多項(xiàng)式表示法中，1、2、3、4、5被稱為系數(shù)項(xiàng)，而102、101、100、10-1、10-2等被稱為該位的“權(quán)”。

一般來說，任何一個(gè)十進(jìn)制數(shù)”都可以采用并列表不法表不如下：

N10=dn-1d n-2…d1d0. d-1d-2…d-m

其中，下標(biāo)n表示整數(shù)部分的位數(shù)，下標(biāo)m表示小數(shù)部分的位數(shù)，d是0~9中的某一個(gè)數(shù)，即di∈（0，1，…，9）。同樣，任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)N都可以用多項(xiàng)式表示法表示如下：

N10=dn-1*10n-1+…+d1*101+d0*100+d-1*10-1+…+d-m*10m

其中，m、n為正整數(shù)，di 表示第i位的系數(shù)，10i 稱為該位的權(quán)。所以某一位數(shù)的大小是由各系數(shù)項(xiàng)和其權(quán)值的乘積所決定的。

2、二進(jìn)制（Binary）

二進(jìn)制的基數(shù)是2，它只有兩個(gè)數(shù)字符號(hào)，即0和1。計(jì)算規(guī)律是“逢二進(jìn)一”或“借一當(dāng)二”。例如：

（101．01）2=1*23+1*22+0*21+1*20+0*2-1+1*2-2

任何一個(gè)二進(jìn)制數(shù)Ｎ都可以用其多項(xiàng)式來表示：

N2=dn-1*2n-1+dn-2*2n-2+…+d1*21+d0*20+d-1*2-1+d-2*2-2+…+d-m*2-m

式中任何一位數(shù)值的大小都可以用該位的系數(shù)項(xiàng) di 和權(quán)值 2i 的積來確定。

3、十六進(jìn)制（Hexadecimal）

十六進(jìn)制的基數(shù)為16，它有16個(gè)數(shù)字符號(hào)、即0~9、A~F。其中 A、B、C、D、E、F 分別代表十進(jìn)制數(shù)的10、11、12、13、14、15。各位之間“逢十六進(jìn)一”或者“借一當(dāng)十六”。各位的權(quán)值為 16i。例如：

（2C7.1F）16=2*162+12*161+7*160+1*16-1+15*16-2

二、3種計(jì)數(shù)制之間的相互轉(zhuǎn)換

對(duì)于同一個(gè)數(shù)，可以采用不同的計(jì)數(shù)制來表示，其形式也不同。如：

（11）10=（1011）2=（B）16

1、R 進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的方法

具體的方法是先將其并列形式的數(shù)寫成其多項(xiàng)式表示形式，然后，經(jīng)計(jì)算后就可得到其十進(jìn)制的結(jié)果。這種方法披稱為按權(quán)展開法。對(duì)于一個(gè)任意的R進(jìn)制數(shù)N都可以寫成如下形式：

N = dn-1 dn-2…d1 d0d-1d-2…d-m = dn-1*Rn-1+…+d1*R1+d0*R0+d-1*R-1+…+d-m*R-m

其中，R 為進(jìn)位基數(shù)，Ri 是對(duì)應(yīng)位的權(quán)值，di 為系數(shù)項(xiàng)，特此式求和計(jì)算之后，即可以完成 R 進(jìn)制數(shù)對(duì)十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換。

例如，寫出（1101.01）2、（10D）16的十進(jìn)制數(shù)。

（1101.01）2=1*23+1*22+0*21+1*20+0*2-1+0*2-2 =8+4+1+0.25 ＝13.25

（10D）16=1*162+0*161+13*160 = 256＋13 = 269

2、十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)觸方法

十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)一般分為兩個(gè)步驟，即整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換和小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換。

（1）整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換

除2取余法：這種方法是由于 D10=N2=dn-1*2n-1+dn-2*2n-2+…d1*21+d0*20，所以具體方法是把給定的十進(jìn)制整數(shù)除以2，取其余數(shù)作為二進(jìn)制整數(shù)最低位的系數(shù) do，然后繼續(xù)將整數(shù)部分除以2，所得余數(shù)作為二進(jìn)制整數(shù)次低位的系數(shù) d1，一直重復(fù)下去，最后可以得到二進(jìn)制整數(shù)部分。

例如，將（327）10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。

所以，（327）10=d8 d7 d6 d5 d4 d3 d2d1 d0=（101000111）2。

此方法可擴(kuò)展為陳 R 取余法。如將 R 設(shè)為16，則可將十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)槭M(jìn)制整數(shù)。

減權(quán)定位法：因?yàn)?D10=N2=dn-1*2n-1+dn-2*2n-2+…d1*21+d0*20，所以二進(jìn)制多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)都有自己的權(quán)值。若該項(xiàng)系數(shù)值為 di=0，則該項(xiàng)值為0，否則 di 應(yīng)為1。根據(jù)這一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可提出減權(quán)定位的轉(zhuǎn)換方法：將十進(jìn)制數(shù)依次從二進(jìn)制高位權(quán)值進(jìn)行比較：若夠減則對(duì)應(yīng)位 di=1，減去該位權(quán)值后再往下比較；若不夠減則對(duì)應(yīng)值 di=0，越過該位與低一位的權(quán)值比較，如此進(jìn)行直到余數(shù)為0為止。

例如，將（327）10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。因?yàn)?12（29）> 327 > 256（28），所以從權(quán)值256對(duì)應(yīng)值開始比較。

所以，（327）10＝（101000111）2。

（2）小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換

轉(zhuǎn)換的方法是采用乘2取整數(shù)表示法。由于 D10=d-1*2-1+d-2*2-2+…d-m*2-m，所以具體方法是把給定的十進(jìn)制小數(shù)乘以2，取其整數(shù)部分作為二進(jìn)制小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后的第一位系數(shù)；然后再將乘積的小數(shù)部分繼續(xù)乘以2，取所得積的整數(shù)部分作為小數(shù)后的第二位系數(shù)；依次重復(fù)做下去，就可以得到二進(jìn)制小數(shù)部分。

例如，將（0．8125） 10。轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)。

所以，（0.8125）10=d0 d-1 d-2 d-3 d-4=（0.1101）2。

在計(jì)算中可以按照所需的小數(shù)點(diǎn)位數(shù)，取其結(jié)果位近似值。

此方法可以擴(kuò)展為乘R取整法．如將R變?yōu)?6，則可將十進(jìn)制小數(shù)部分直接變?yōu)槭M(jìn)制小數(shù)。

3、二進(jìn)制與十六進(jìn)制的轉(zhuǎn)換

（1）二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制

4位二進(jìn)制數(shù)的所有組合可表示十六進(jìn)制數(shù)的16個(gè)代碼，它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：

進(jìn)制轉(zhuǎn)換的具體方法：從小數(shù)點(diǎn)開始，分別向左、向右，每4位二進(jìn)制數(shù)為一組用十六進(jìn)制數(shù)值來書寫。若小數(shù)點(diǎn)左側(cè)位數(shù)不是4的倍數(shù)，則最左側(cè)用0補(bǔ)充；若小數(shù)點(diǎn)右側(cè)位數(shù)不是4的倍數(shù)，則最右側(cè)用0補(bǔ)充。

例如，（110110111.01101）2=（0001 1011 0111.0110 1000）2 =（1B7.68）16。

（2）十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制

具體的轉(zhuǎn)換方法是：將每個(gè)十六進(jìn)制數(shù)用4位二進(jìn)制數(shù)來書寫，轉(zhuǎn)化后最左側(cè)或者最右側(cè)的0在書寫的時(shí)候可以省去。例如：

（7AC.DE）16=（111 1010 1100.1101 111）2

例1：把（5／16）10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。

解：5／16=5×2-4=（101 2*（0.0001）2=（0.0101）2

小數(shù)點(diǎn)向左移4位等于乘以2-4。

例2：把（19．125） 10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)。

解：首先把整數(shù)部分（19）10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)：

（19）10=16+2+1=24+21+20=（10011）2

再把小數(shù)部分（0．125）10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)：

0.125*2=0.25 0

0．25*2=0.5 0

0．5*2=1 1

所以，（0.125）10=（0.001） 2。

把整數(shù)與小數(shù)部分合起來結(jié)果為

（19.125）10=（10011.001）2=（13.2）16