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第38期直角三角形與分類(lèi)討論

xyz3i >《初中數(shù)學(xué)》

2016.07.27

關(guān)注

數(shù)學(xué)

學(xué)習(xí)講究邏輯性，分類(lèi)討論更是體現(xiàn)這種邏輯性，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略。

與三角形有關(guān)的分類(lèi)討論，除了等腰三角形外，還有直角三角形和相似三角形。上期我們討論學(xué)習(xí)了《等腰三角形與分類(lèi)討論》，這期我們繼續(xù)探究《直角三角形與分類(lèi)討論》。

我們知道，等腰三角形給出兩條邊求第三條邊或給出一角求另外兩角時(shí),要考慮所給的邊是腰還是底邊,所給出的角是頂角還是底角分類(lèi)解決。

那么，類(lèi)比等腰三角形的研究方法，我們對(duì)直角三角形進(jìn)行如下兩種情形的探究：

1.在直角三角形中給出兩邊的長(zhǎng)度,求第三邊

在直角三角形中給出兩邊的長(zhǎng)度,確定第三邊時(shí),若沒(méi)有指明直角邊和斜邊,要注意分情況進(jìn)行討論,然后利用勾股定理即可求解。

例1：若直角三角形的兩邊長(zhǎng)為3和4，則第三條邊長(zhǎng)為_(kāi)__________.

解析：直角邊和斜邊不確定，設(shè)第三邊為x,分兩種情況：

① 當(dāng)4為直角邊時(shí)，則第三邊為斜邊，由勾股定理，x=5；

② 當(dāng)4是斜邊時(shí)，則第三邊為直角邊，由勾股定理，x= √7；

綜上，第三邊長(zhǎng)為5或 √7.

2.直角頂點(diǎn)的位置不確定

一個(gè)三角形為直角三角形，沒(méi)有明確直角頂點(diǎn)，要對(duì)直角頂點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)討論，可分為三種情況。這種類(lèi)型的題目通常以二次函數(shù)為平臺(tái)，把二次函數(shù)、一次函數(shù)、直角三角形等知識(shí)融為一體，解答過(guò)程中運(yùn)用到方程思想、函數(shù)思想等數(shù)學(xué)思想方法。拋物線與直線型的綜合題之一即為直角三角形的存在性問(wèn)題，解答此類(lèi)問(wèn)題常常需要與相似三角形、勾股定理及其逆定理等知識(shí)聯(lián)系在一起．此類(lèi)問(wèn)題是中考的命題熱點(diǎn)之一．

例2：（2015云南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2 bx c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，直線y=kx n（k≠0）經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．

（1）分別求直線BC和拋物線的解析式（關(guān)系式）；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以B，C，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解析：

（1）易得BC:y=-3/4x 3,

拋物線：y=3/4x2-15/4x 3.拋物線對(duì)稱軸為x=5/2.

（2）△BCP是直角三角形，但是直角頂點(diǎn)不確定，所以要先對(duì)直角頂點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)討論，在具體求解中，我們可以用代數(shù)法或幾何法，根據(jù)題目的具體情況選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒ā?/span>

對(duì)于這一題，

如果選擇幾何法，要先分情況畫(huà)出正確的圖形，然后利用圖形的性質(zhì)建立等量關(guān)系，有一定的難度。

如果選擇代數(shù)法，在B或C為直角頂點(diǎn)的時(shí)候，分別求出過(guò)點(diǎn)B,點(diǎn)C且與直線BC垂直的直線的解析式，再與對(duì)稱軸直線聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可。但是當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的時(shí)候，就不好解決了。

所以我采用數(shù)形結(jié)合的辦法，先用兩點(diǎn)間距離公式表示出三邊長(zhǎng)的平方，再根據(jù)勾股定理列方程求解并檢驗(yàn)，由于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)已知，只需設(shè)出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，而點(diǎn)B和點(diǎn)C為定點(diǎn)，解方程的難度不大。

由題意可得C（0,3），B（4,0）,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（5/2，a）

則BC2=25；

PC2=25/4 （a-3）2；

PB2=9/4 a2；

①當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)PB是斜邊，

則PB2= BC2 PC2，9/4 a2=25 25/4 （a-3）2，解得a=19/3

P1(5/2, 19/3)

②當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)PC是斜邊，

則PC2= BC2 PB2，25/4 （a-3）2=9/4 a2 25，解得a=-2

P2(5/2, -2)

③當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)BC為斜邊，

則BC2 = PC2 PB2，25=25/4 （a-3）2 9/4 a2，解得a=3/2±√6，

P3(5/2, 3/2 √6), P4(5/2, 3/2-√6)

綜上所述，對(duì)稱軸上存在4個(gè)點(diǎn)，使得以B，C，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，分別是P1(5/2, 19/3)，P2(5/2, -2)，P3(5/2, 3/2 √6), P4(5/2, 3/2-√6).

題記：

此題的解法與參考答案解法不一樣，參考答案借助相似，建立等量關(guān)系，然后求解。但是找到對(duì)應(yīng)的相似不是很容易的事情。關(guān)于兩點(diǎn)間的距離公式是初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)里不包含的內(nèi)容，但是我的理解是課程標(biāo)準(zhǔn)是學(xué)生學(xué)完初中數(shù)學(xué)應(yīng)該達(dá)到的最低標(biāo)準(zhǔn)，所以可以在學(xué)習(xí)勾股定理的基礎(chǔ)上適當(dāng)補(bǔ)充。此題在B或C為直角頂點(diǎn)的時(shí)候，可以借助解析法，求出過(guò)B,C與BC垂直的直線，再求與對(duì)稱軸的交點(diǎn)。但是P為直角頂點(diǎn)的時(shí)候，利用初中的知識(shí)比較不好解決，其實(shí)也可以解決。

對(duì)于第3種情況，當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，下面分別用代數(shù)法和幾何法展示一下求解過(guò)程：

代數(shù)法：所有以BC為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)都在以BC為直徑的圓上，則圓心（2,3/2），根據(jù)圓的定義，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合，借助兩點(diǎn)間的距離公式，可得此圓上的點(diǎn)（x,y）滿足方程（x-2）2 (y-3/2) 2=25/4,由于P也在對(duì)稱軸上，x=5/2,代入此的方程，求得y=3/2± √6 ,就可以求出P的坐標(biāo)。

幾何法：過(guò)圓心M作與對(duì)稱軸垂直的直線，交對(duì)稱軸于點(diǎn)D，則MD垂直平分P3P4，

Rt△MP3D,中，MP3=5/2，MD=1/2，DP3= DP4,所以，P3(5/2, 3/2 √6), P4(5/2, 3/2-√6).

后記

分類(lèi)討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想。在直角三角形中，當(dāng)遇到直角邊、斜邊不確定或直角頂點(diǎn)不確定時(shí)，我們都需要進(jìn)行分類(lèi)討論，以保證其完整性，使之具有確定性。在具體求解中，可以用代數(shù)法或幾何法，更可以數(shù)形結(jié)合，找到數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，把數(shù)量關(guān)系和幾何直觀巧妙、和諧的結(jié)合在一起，化難為易，化繁為簡(jiǎn)。正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說(shuō)“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事非”。

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