菱形與雙動(dòng)點(diǎn)問題
解析：
（1）答案：6
（2）
（3）先觀察“全程動(dòng)畫”演示：
分類解答如下：
如圖，P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，OC=m(m為正數(shù)），過點(diǎn)P分別作PQ∥OA交OB于點(diǎn)Q，PM∥OB交OA于點(diǎn)M ．C為射線OA上任一點(diǎn)，連結(jié)CP并延長交OB于N點(diǎn)..
（1）若∠AOB=60°，OQ:OM:MC=1:4:2，探索CN、ON、OC之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊∠AOB的平分線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，問：1/OM－1/ON的值是否發(fā)生變化？如果變化，指出該值隨m的變化情況；如果不變，請(qǐng)說明理由．
（3）在（2）的條件下，若m＝3，菱形OMPQ的面積為S[1]，△NOC的面積為S[2]，求(S[1] /S[2])的取值范圍.
解析如下：
（1）
（2）
（3）
如圖，矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，F(xiàn)為射線BA上的一點(diǎn)，連接CF交BD于E點(diǎn)，交AD于G點(diǎn)，已知AF＝8，tan∠BCF＝1.5,
（1）求DG的長
（2）△BEF的面積；
（3）若矩形A'B'C'D'從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BA方向以每秒1個(gè)單位長度的速度平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤12）秒，矩形ABCD與△BEF重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍．
解析（解法多種，僅提供一種）：
（1）
（2）
（3）先觀察“全程”動(dòng)畫.
第一種情況：當(dāng)0≤t≤3時(shí)
第二種情況：當(dāng)3<t≤8時(shí)
第三種情況：當(dāng)8<t≤12時(shí)
全程圖象：
全程圖形和圖象：
如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D、E、F分別是AC、AB、BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿折線CD－DE－EF－FC以每秒7個(gè)單位長的速度勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒4個(gè)單位長的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作射線QK⊥AB，交折線BC－CA于點(diǎn)G．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P繞行一周回到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．
（1）D、F兩點(diǎn)間的距離是__________；
（2）射線QK能否把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分？若能，求出t的值．若不能，說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到折線EF－FC上，且點(diǎn)P又恰好落在射線QK上時(shí)，求t的值；
（4）連結(jié)PG，當(dāng)PG∥AB時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．
觀察“全程動(dòng)態(tài)圖”
(說明：本題的動(dòng)態(tài)圖的作圖視頻講解在《幾何畫板》使用——實(shí)例培訓(xùn)中)
圖文解析：（強(qiáng)調(diào)：本題從頭到尾均用三角函數(shù)的概念來解析，注意體會(huì)其中的過程）
(1)根據(jù)三角形的中位線定理和勾股定理不難得到DF=25
(2)依題意，QK必經(jīng)過矩形對(duì)角線的交點(diǎn)(當(dāng)然也經(jīng)過DF的中點(diǎn)).
（3）
（4）
第一種情況：
第二種情況：
在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.
(1) 將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG（如圖①）.求證：△AEG≌△AEF；
(2) 若直線EF與AB，AD的延長線分別交于點(diǎn)M，N（如圖②）.求證：(EF^2)=(ME^2) (NF^2)；
(3)將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖③），試探究線段EF，BE， DF之間的等量關(guān)系，并說明理由.
(說明：本題的動(dòng)態(tài)圖的制作視頻講解在《幾何畫板》使用——實(shí)例培訓(xùn)中)
解析：
（1）
（2）
（3）
?。?016·黑龍江龍東）已知：點(diǎn)P是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），分別過點(diǎn)A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)如圖1，易證OE=OF（不需證明）
（2）直線BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠OFE=30°時(shí)，如圖2、圖3的位置，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你對(duì)圖2、圖3的猜想，并選擇一種情況給予證明．
(說明：本題的動(dòng)態(tài)圖的制作視頻講解在《幾何畫板》使用——實(shí)例培訓(xùn)中)
解析：
（1）
（2）由（1）證明思路及中點(diǎn)的常用輔助線不難得到：
第一情況：
進(jìn)一步，
第二種情況：結(jié)論是：CF＝OE－AE. 類似證明.
……
思考：如果P點(diǎn)落在AC的延長上呢？ [類似結(jié)論和證明（略）]
如圖，已知：E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF，連接CF交BD于點(diǎn)G,連接BE交AG于點(diǎn)H，若正方形的邊長為2，求線段DH長度的最小值..
拓展：若E、F在直線AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CH，其他條件不變，畫出對(duì)應(yīng)的圖形，并求出CH的最大值和最小值.
圖文解析：
先找不變的量：
∠AHB＝90°（為定值）——聯(lián)想到“直徑所對(duì)圓周角為90°”
變式1：等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，AD=BD=6，E為直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，過A點(diǎn)作AH⊥BE于H，連接DH，求DH的長的最大值與最小值.
解析：
變式2：等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，AD=BD=6，E為直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，過A點(diǎn)作AH⊥BE于H，F(xiàn)是在線段BD上，且DF=2BF，連接FH，求FH的長的最大值與最小值.
解析：FH最小值的點(diǎn)：
FH最大值的點(diǎn)：
變式3：等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，AD=BD=6，E為直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿BE對(duì)折得到△BHE，連接DH，求DH的長的最大值與最小值.
解析：最小會(huì)值的點(diǎn)：
變式4：等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，AD=BD=6，E為直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB上的點(diǎn)，且AF=2BF，連接EF，將△AEF沿EF對(duì)折得到△HEF，連接DH，求DH的長的最大值與最小值.
解析：最小值的點(diǎn)
最大值的點(diǎn)
變式5：△ABD中，sinA＝0.6，AB=2，AD=3，E為直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿BE對(duì)折得到△BHE，連接DH，求DH的長的最大值與最小值.
解析：
變式6：條件與原題一樣，求CH的最小值和最大值.
解析：
最小值的點(diǎn)：
(思考題)變式7：
E、F是長寬比為4：3的矩形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE：DF=9：16，連接CF交BD于點(diǎn)G,連接BE交AG于點(diǎn)H，若AB=6，求線段DH長度的最小值.
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