一．問題的引入：
在學習了作軸對稱圖形之后，人教版八年級上冊P42，有這樣一個問題
在這個問題中，利用軸對稱，將折線轉(zhuǎn)化為直線，再根據(jù)“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，等相關的知識，得到最短線段，這一類問題也是當今中考的熱點題型。通常會以：直線、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、拋物線等為載體。本文試圖對這一類問題進行分類，在每一類中有若干題型，且給出了基本的解答。若掌握了下面列舉的題型，讓學生能夠明白與軸對稱相關的線段之和最短問題在這些載體中的表現(xiàn)形式，則能收到舉一反三，事倍功半的效果。
二．數(shù)學模型：
為方便歸類，將以上三種情況統(tǒng)稱為“兩邊之和大于第三邊型”
1.如圖，直線l和l的異側(cè)兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。
2.如圖，直線l和l的同側(cè)兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。
3.如圖，點P是∠MON內(nèi)的一點，分別在OM，ON上作點A，B。使△PAB的周長最小
為方便歸類，將這種情況稱為“兩點之間線段最短型”
4.如圖，點P，Q為∠MON內(nèi)的兩點，分別在OM，ON上作點A，B。使四邊形PAQB的周長最小。
為方便歸類，將以上兩種情況，稱為“垂線段最短型”
5.如圖，點A是∠MON外的一點，在射線ON上作點P，使PA與點P到射線OM的距離之和最小
6. .如圖，點A是∠MON內(nèi)的一點，在射線ON上作點P，使PA與點P到射線OM的距離之和最小
三.兩邊之和大于第三邊型(一)直線類
1．如圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設水管的費用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少？
作點B關于直線CD的對稱點B'，連接AB'，交CD于點M
則AM+BM = AM+B'M = AB'，水廠建在M點時，費用最小
如右圖，在直角△AB'E中，
AE = AC+CE = 10+30 = 40
EB' = 30
所以：AB' = 50
總費用為：50×3 = 150萬
2．如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，設CD=x.
(1)用含x的代數(shù)式表示AC＋CE的長；
(2)請問點C滿足什么條件時，AC＋CE的值最小?
(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請構圖求出代數(shù)式
(二)角類
4．兩條公路OA、OB相交，在兩條公路的中間有一個油庫，設為點P，如在兩條公路上各設置一個加油站，，請你設計一個方案，把兩個加油站設在何處，可使運油車從油庫出發(fā)，經(jīng)過一個加油站，再到另一個加油站，最后回到油庫所走的路程最短.
分析 這是一個實際問題，我們需要把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，經(jīng)過分析，我們知道此題是求運油車所走路程最短，OA與OB相交，點P在∠AOB內(nèi)部，通常我們會想到軸對稱，分別做點P關于直線OA和OB的對稱點P1、P2 ，連結(jié)P1P2分別交OA、OB于C、D，C、D兩點就是使運油車所走路程最短，而建加油站的地點，那么是不是最短的呢？我們可以用三角形的三邊關系進行說明.
解：分別做點P關于直線OA和OB的對稱點P1、P2，
連結(jié)P1P2分別交OA、OB于C、D，
則C、D就是建加油站的位置.
若取異于C、D兩點的點，
則由三角形的三邊關系，可知在C、D兩點建加油站運油車所走的路程最短.
點評：在這里沒有詳細說明為什么在C、D兩點建加油站運油車所走的路程最短，請同學們思考弄明白。
5．如圖∠AOB = 45°，P是∠AOB內(nèi)一點，PO = 10，Q、P分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值．
分別作點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2，
交OA、OB于點Q，R，連接OP1，OP2，
則OP = OP1 = OP2 = 10
且∠P1OP2 = 90°
由勾股定理得P1P2 = 10
(三)三角形類
6．如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為
即在AC上作一點P，使PB+PE最小
作點B關于AC的對稱點B'，連接B'E，交AC于點P，則B'E = PB'+PE = PB+PE
B'E的長就是PB+PE的最小值
在直角△B'EF中，EF = 1，B'F =3
根據(jù)勾股定理，B'E =
7．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC＋ED的最小值為_______。
即是在直線AB上作一點E，使EC+ED最小
作點C關于直線AB的對稱點C'，連接DC'交AB于點E，則線段DC'的長就是EC+ED的最小值。
在直角△DBC'中
DB=1，BC=2，根據(jù)勾股定理可得，DC'=
8．等腰△ABC中，∠A = 20°，AB = AC = 20，M、N分別是AB、AC上的點，求BN+MN+MC的最小值
分別作點C、B關于AB、AC的對稱點C’、B’，連接C’B’交AB、AC于點M、N，則BN+MN+MC= B’N+MN+MC’ = B’C’，BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值
∵∠BAC’ = ∠BAC，∠CAB’ = ∠CAB
∴∠B’AC’ = 60°
∵AC’ = AC，AB’ = AB，AC = AB
∴AC’ = AB’
∴△AB’C’是等邊三角形
∴B’C’ = 20
9．如圖，在等邊△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一點，M是AD上的一點，且AE = 2，求EM+EC的最小值
(四)正方形類
10．如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一動點，DN＋MN的最小值為_________。
即在直線AC上求一點N，使DN+MN最小
故作點D關于AC的對稱點B，連接BM，
交AC于點N。則DN＋ＭＮ＝BN＋ＭＮ＝ＢＭ
線段ＢＭ的長就是DN＋ＭＮ的最小值
在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８，
則ＢＭ＝１０
故DN＋ＭＮ的最小值是１０
12．在邊長為2㎝的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為____________㎝（結(jié)果不取近似值）.
即在AC上求一點P，使PB+PQ的值最小
因為點B關于AC的對稱點是D點，所以連接DQ，與AC的交點P就是滿足條件的點
DQ = PD+PQ = PB+PQ
故DQ的長就是PB+PQ的最小值
在直角△CDQ中，CQ = 1 ，CD = 2
根據(jù)勾股定理，得，DQ =
13．如圖，四邊形ABCD是正方形， AB = 10cm，E為邊BC的中點，P為BD上的一個動點，求PC+PE的最小值；
連接AE，交BD于點P，則AE就是PE+PC的最小值
在直角△ABE中，求得AE的長為5
15．如圖，若四邊形ABCD是菱形， AB=10cm，∠ABC=45°，E為邊BC上的一個動點，P為BD上的一個動點，求PC+PE的最小值；
點C關于BD的對稱點是點A，過點A作AE⊥BC，交BD于點P，則AE就是PE+PC的最小值
在等腰△EAB中，求得AE的長為
