一、奧妙無窮的河圖洛書
河圖洛書是中國古代傳說中的兩則圖像,《尚書》、《周易》、《論語》、《管子》、《墨子》等書中多有記載,其真實性得到近年在安徽巢湖凌家灘出土的文物的支持。據(jù)傳河圖洛書乃是周易八卦陰陽五行學說發(fā)祥的源頭,隱含著天文地理無窮的奧秘。本文僅就其一在數(shù)論方面的一些性質(zhì)做些探討。
二、 數(shù)字分布的均衡性
先畫一個3行3列的九宮格。要把1,2,3 … 9的整數(shù)填到9個格子里,使得各行、各列和兩條對角線上的數(shù)字之和相等。因為9個數(shù)之和
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6+7+8+9?。健。矗?/span>
所以平均3個數(shù)之和是
45 ÷ 3 = 15
因為在九宮格里有縱橫交叉的4條線都要通過中心的小格,這中心的小格是關鍵之所在。每條線上的3個數(shù)之和都是15,則中心的小格只能填入5,而線上的其他兩個數(shù)字之和為10。這樣,1,2,3 … 9的整數(shù)取出5之后剩下的8個數(shù)分成了4對,每對之和都是10:
1 + 9 = 10
2 + 8 = 10
3 + 7 = 10
4 + 6 = 10
現(xiàn)在我們再來看最大的數(shù)字9應當填在哪個格子里。設想把9填在九宮格的某個角上的格子里,那么,與這個小格同行的2個數(shù)字之和應是6,與這個小格同列的2個數(shù)字之和也應當是6。然而這是不可能的,因為只有
2 + 4 = 6
并沒有另外的可能。所以數(shù)字9只能填在某一行或某一列的中間的格子里。不失一般性,我們把它填在第1行的中間的格子里,而把2和4填在這一行的另外的兩個格子里。
9、2、4三個數(shù)填好之后,1、8、6三個數(shù)位置也就確定了。剩下只有一對數(shù)字3和7,根據(jù)每個列的數(shù)字之和都是15的要求,很容易確定它們的位置。
9個數(shù)字都填好之后,我們來檢查一下。各行數(shù)字之和都是15:
4 + 9 + 2 = 15
3 + 5 + 7 = 15
8 + 1 + 6 = 15
各列的數(shù)字之和也是15:
4 + 3 + 8 = 15
9 + 5 + 1 = 15
2 + 7 + 6 = 15
兩條對角線上的數(shù)字之和也是15:
4 + 5 + 6 = 15
2 + 5 + 8 = 15
至此,我們看到了九宮格里的數(shù)字在整數(shù)加法的意義上表現(xiàn)出美輪美奐的均衡性。
三、 八個視圖同一結構
九宮格的填法是不是只有一種?實際上,我們把上面填好的九宮格逆時針旋轉,就可以得到另外3種圖形,我們把這4種圖形翻轉過來又得到4種圖形。一共有8種不同的圖形。還有沒有其他的可能性呢?沒有了。
但是我們仔細觀察這8種不同的圖形,發(fā)現(xiàn)每個圖形內(nèi)部各個小格里邊的數(shù)字的相互關系竟然都是一樣的。也就是說,這8種圖形具有同樣的一個結構,它們不過是這個唯一的結構在8個不同的方向上投影的視圖而已。這樣我們只研究其中的任意一個視圖的性質(zhì),對于這個結構的其他所有視圖都是適合的。
四、新發(fā)現(xiàn)的力矩平衡原理
設想把通過數(shù)字4、5、6對角線作為軸線,通過數(shù)字9、7的平行于這個軸線的斜線到軸線的距離為1個單位,則通過數(shù)字8的平行于這個軸線的斜線到軸線的距離為2個單位。我們發(fā)現(xiàn)這3個數(shù)字關于這個軸線的力矩達到平衡:
2 × 8 = 9 + 7
同樣有:
2 × 2 = 3 + 1
2 × 4 = 7 + 1
2 × 6 = 3 + 9
如果我們把同一軸上的兩個力矩平衡的等式相加,還是保持力矩的平衡:
2 × 8 + 3 + 1 = 2 × 2 + 9 + 7
2 × 4 + 3 + 9 = 2 × 6 + 7 + 1
當然,如果我們把通過數(shù)字5的縱線或者橫線作為軸,力矩也還是保持平衡的:
4 + 9 + 2 = 8 + 1 + 6
4 + 3 + 8 = 2 + 7 + 6
如果我們在九宮格的中心打一個小孔,穿一條小繩把九宮格吊起來,設想每個數(shù)字都具有相應的權重,那么這個九宮格將保持一種十分完美的平衡。