一、奧妙無窮的河圖洛書
河圖洛書是中國古代傳說中的兩則圖像，《尚書》、《周易》、《論語》、《管子》、《墨子》等書中多有記載，其真實性得到近年在安徽巢湖凌家灘出土的文物的支持。據(jù)傳河圖洛書乃是周易八卦陰陽五行學說發(fā)祥的源頭，隱含著天文地理無窮的奧秘。本文僅就其一在數(shù)論方面的一些性質(zhì)做些探討。
二、 數(shù)字分布的均衡性
先畫一個3行3列的九宮格。要把1，2，3 … 9的整數(shù)填到9個格子里，使得各行、各列和兩條對角線上的數(shù)字之和相等。因為9個數(shù)之和
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋６＋７＋８＋９?。健。矗?/span>
所以平均3個數(shù)之和是
45 ÷ 3 ＝ 15
因為在九宮格里有縱橫交叉的4條線都要通過中心的小格，這中心的小格是關鍵之所在。每條線上的3個數(shù)之和都是15，則中心的小格只能填入5，而線上的其他兩個數(shù)字之和為10。這樣，1，2，3 … 9的整數(shù)取出5之后剩下的8個數(shù)分成了4對，每對之和都是10：
1 ＋ 9 ＝ 10
2 ＋ 8 ＝ 10
3 ＋ 7 ＝ 10
4 ＋ 6 ＝ 10
現(xiàn)在我們再來看最大的數(shù)字9應當填在哪個格子里。設想把9填在九宮格的某個角上的格子里，那么，與這個小格同行的2個數(shù)字之和應是6，與這個小格同列的2個數(shù)字之和也應當是6。然而這是不可能的，因為只有
2 ＋ 4 ＝ 6
并沒有另外的可能。所以數(shù)字9只能填在某一行或某一列的中間的格子里。不失一般性，我們把它填在第1行的中間的格子里，而把2和4填在這一行的另外的兩個格子里。
9、2、4三個數(shù)填好之后，1、8、6三個數(shù)位置也就確定了。剩下只有一對數(shù)字3和7，根據(jù)每個列的數(shù)字之和都是15的要求，很容易確定它們的位置。
9個數(shù)字都填好之后，我們來檢查一下。各行數(shù)字之和都是15：
4 ＋ 9 ＋ 2 ＝ 15
3 ＋ 5 ＋ 7 ＝ 15
8 ＋ 1 ＋ 6 ＝ 15
各列的數(shù)字之和也是15：
4 ＋ 3 ＋ 8 ＝ 15
9 ＋ 5 ＋ 1 ＝ 15
2 ＋ 7 ＋ 6 ＝ 15
兩條對角線上的數(shù)字之和也是15：
4 ＋ 5 ＋ 6 ＝ 15
2 ＋ 5 ＋ 8 ＝ 15
至此，我們看到了九宮格里的數(shù)字在整數(shù)加法的意義上表現(xiàn)出美輪美奐的均衡性。
三、 八個視圖同一結構
九宮格的填法是不是只有一種？實際上，我們把上面填好的九宮格逆時針旋轉，就可以得到另外3種圖形，我們把這4種圖形翻轉過來又得到4種圖形。一共有8種不同的圖形。還有沒有其他的可能性呢？沒有了。
但是我們仔細觀察這8種不同的圖形，發(fā)現(xiàn)每個圖形內(nèi)部各個小格里邊的數(shù)字的相互關系竟然都是一樣的。也就是說，這8種圖形具有同樣的一個結構，它們不過是這個唯一的結構在8個不同的方向上投影的視圖而已。這樣我們只研究其中的任意一個視圖的性質(zhì)，對于這個結構的其他所有視圖都是適合的。
四、新發(fā)現(xiàn)的力矩平衡原理
設想把通過數(shù)字4、5、6對角線作為軸線，通過數(shù)字9、7的平行于這個軸線的斜線到軸線的距離為1個單位，則通過數(shù)字8的平行于這個軸線的斜線到軸線的距離為2個單位。我們發(fā)現(xiàn)這3個數(shù)字關于這個軸線的力矩達到平衡：
2 × 8 ＝ 9 ＋ 7
同樣有：
2 × 2 ＝ 3 ＋ 1
2 × 4 ＝ 7 ＋ 1
2 × 6 ＝ 3 ＋ 9
如果我們把同一軸上的兩個力矩平衡的等式相加，還是保持力矩的平衡：
2 × 8 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 2 × 2 ＋ 9 ＋ 7
2 × 4 ＋ 3 ＋ 9 ＝ 2 × 6 ＋ 7 ＋ 1
當然，如果我們把通過數(shù)字5的縱線或者橫線作為軸，力矩也還是保持平衡的：
4 ＋ 9 ＋ 2 ＝ 8 ＋ 1 ＋ 6
4 ＋ 3 ＋ 8 ＝ 2 ＋ 7 ＋ 6
如果我們在九宮格的中心打一個小孔，穿一條小繩把九宮格吊起來，設想每個數(shù)字都具有相應的權重，那么這個九宮格將保持一種十分完美的平衡。
