高等幾何（仿射，射影幾何等） 對于 計算機(jī)圖形學(xué)，計算機(jī)視覺等研究是非常重要的基礎(chǔ)知識。
我是國內(nèi)工科畢業(yè)，現(xiàn)在美國讀計算機(jī)視覺的博士。以前覺得自己的數(shù)學(xué)很好，其實只是會考試，會計算，會一些小技巧而已。并不真懂?dāng)?shù)學(xué)。
真正使我在數(shù)學(xué)方面有了一些真切理解的，是我在深入的思考了線性代數(shù)和高等幾何之后的事情了。
其實微積分是比較簡單的，而且學(xué)習(xí)的思路可以沿襲中國中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)思路。但是線性代數(shù)（以及泛函分析）和高等幾何其中蘊涵的方法，思路跟我們傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容有較大的區(qū)別了。如果僅僅滿足于會做微積分，會解題，那并不困難，但是要真正理解數(shù)學(xué)，可能需要對線性代數(shù)和高等幾何下一番功夫了。
我這里僅僅是就一個一般工程師所需要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)而言的，對于特定的研究，可能還需要有一些專門的數(shù)學(xué)知識。對于數(shù)學(xué)專業(yè)的，我覺得你有足夠的時間去思考，揣摩數(shù)學(xué)到底本質(zhì)是什么了。
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線性代數(shù)，國內(nèi)的教學(xué)，以前一上來就是行列式，有很多復(fù)雜的行列式計算題目，其實這根本不反映線性代數(shù)的根本的思想。我覺得線性代數(shù)從應(yīng)用方面，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)解方程組，包括矛盾方程組（最小二乘法）；在實際中最有用的是一般的矩陣（m?。絥），而不是方陣。就數(shù)學(xué)思想方面來說，向量空間，線性空間的概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心基礎(chǔ)觀念，其重要性超過微積分。
對工程實踐中大量存在的線性問題，線性代數(shù)，數(shù)值線性代數(shù)，是最重要的工具。數(shù)值線性代數(shù)的重要性超過數(shù)值分析。
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高等幾何，主要是向大家揭示了多種不同公理體系并行存在的可能性。非歐幾何對一個人對數(shù)學(xué)的理解是非常必要的沖擊。光知道歐氏幾何，不知道射影幾何，非歐幾何，對公理化數(shù)學(xué)的理解必然保留在一個低的水平上。希爾波特的 幾何公理 一書 本身沒有用到多少高深的概念，但是其反映的是現(xiàn)代公理化思想。
射影幾何本身在數(shù)學(xué)研究內(nèi)，已經(jīng)死掉了，正如，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)家不會成天研究平面歐式幾何的難題一樣，盡管有些初中生就能看懂的平面幾何題目可能難倒不少數(shù)學(xué)家。但是射影幾何在應(yīng)用上，尤其是計算機(jī)圖形學(xué)上，是個基礎(chǔ)。
基于上面的分析，我覺得一個真正希望打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的人，應(yīng)該相當(dāng)注意代數(shù)，幾何的繼續(xù)學(xué)習(xí)，不要停留在滿足于知道一個名詞，會算，要真正去思考，領(lǐng)會這些東西的實質(zhì)。
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關(guān)于數(shù)學(xué)歷史學(xué)習(xí)的一些建議
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不了解歷史，很容易自卑?？粗炭茣系膰?yán)謹(jǐn)和美輪美奐，一個人很容易懷疑自己的智力。但是當(dāng)你了解了歷史上數(shù)學(xué)發(fā)展過程的種種曲折之后，你就知道，其實這些都是經(jīng)過整理，包裝后的結(jié)果。
歷史上一些革命性的觀念，多是樸素的。最初的發(fā)現(xiàn)者，未必就清楚的明了其發(fā)現(xiàn)的價值。
而很多有價值的觀念，來自于科學(xué)，工程的實踐。
了解一個觀念，一個理論產(chǎn)生，發(fā)展，修繕的歷史，對于真正的理解他，對于一個人真正進(jìn)入“角色”，有極其重要的意義。
如果光是看教科書，而不看數(shù)學(xué)歷史的話，就如同歷史研究者光看正史，不看野史一樣，掌握的東西很可能是不完整，不全面的。
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中國高等數(shù)學(xué)教育缺陷芻議
我簡單的羅列一下我的看法，具體內(nèi)容尚待日后補充。
1 重計算，輕思想
2 重微積分，輕代數(shù)，幾何
3 重理論嚴(yán)謹(jǐn)，輕實際應(yīng)用
4 與計算機(jī)時代的要求不相銜接
5 重抽象，輕直觀
按照中國高等工程數(shù)學(xué)的教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，筆者算一個相當(dāng)好的學(xué)生，但是真正回想起來，中國高等工程教育給我的，只是會解一些題目，掌握一些手算技巧罷了。對于真正的數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)會的不多，更不用說得心應(yīng)手的予以運用了。
我個人業(yè)余讀了以下的幾本書，也提出來跟大家共享一下，
1 項武義 在香港科技大學(xué)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)講義（網(wǎng)上可以下載電子版）， 高屋建瓴， 深入淺出。 項以前是伯克利的數(shù)學(xué)教授 早在1980年代，項就在北大講微積分課程，并出了書，微積分大意
2 龔升 的 微積分五講 臺灣數(shù)學(xué)傳播雜志上看的，國內(nèi)據(jù)說出書了，但是還沒看到 據(jù)說同時還有一本從 module的角度講線性代數(shù)的，也沒看。龔是以院士水平講大學(xué)基礎(chǔ)課
3 MIT Strang G 教授的 線性代數(shù)，應(yīng)用數(shù)學(xué)系列講座， 請google "MIT 18.06" "MIT 18.085" "MIT 18.086" 有錄像 我覺得Strang G 先生最大的成功就是把線性代數(shù)中最重要的思想給突出出來了。他有一本書 linear algebra and its applications 他有一項本事，在課上從來沒有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，但是把理論，定理都滲透在很簡單的例子里面了。他的課程跟中國國內(nèi)老師的中規(guī)中矩的教學(xué)形成了鮮明的對比（指的是工科教學(xué)）。
他講的應(yīng)用數(shù)學(xué)以矩陣，線性代數(shù)為基本語言，符合現(xiàn)代計算數(shù)學(xué)的潮流，我覺得很值得參考。他的應(yīng)用數(shù)學(xué)書籍 一本是1986年出的，一本是2007年新出的，現(xiàn)在網(wǎng)上有三章免費下載，這里不具體寫了（有心人找的到）
例子，
以前華中理工大學(xué) 于寅 教授出過一本 現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ) ，據(jù)說是華工博士生教材。這本書可以當(dāng)作國內(nèi)工科數(shù)學(xué)教學(xué)的代表。里面除了把數(shù)學(xué)系的基本書抄錄，拼湊一下以外，基本沒有考慮到工科學(xué)生的特點，當(dāng)然可能作者本身也沒有這個功力和閱歷能寫好一本真正結(jié)合工程實際的好數(shù)學(xué)書了。
4 國內(nèi)齊民友教授 出了一本 重溫微積分， 這本書，我覺得對提高數(shù)學(xué)專業(yè)的人的分析素養(yǎng)，很有裨益，但是對工科數(shù)學(xué)關(guān)心的人，不必太花時間了。因為個人認(rèn)為分析不是工科數(shù)學(xué)的重點。而國內(nèi)在分析數(shù)學(xué)上的訓(xùn)練，足夠你去進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)其他的東西了。
順帶說一句，據(jù)齊先生的說法，重溫微積分，是依照蘇聯(lián) 辛欽的 數(shù)學(xué)分析八講 來寫的。他很多年前翻譯的那本小黃書筆者是見過的，但是沒有仔細(xì)研究。
我始終覺得數(shù)學(xué)的美，更多的反映在代數(shù)和幾何上，分析的東西，沒有太多的美在里面。
