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新的數(shù)學(xué)方法和概念，常常比解決數(shù)學(xué)問題本身更重要?——華羅庚
1.子集
1.1子集是一個數(shù)學(xué)概念，它的基本定義有三種不同的表述方法：
1.1.1文字語言表述：對于兩個非空集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說 A? B(讀作A包含于B)，或 B? A(讀作B包含A)，稱集合A是集合B的子集。
集合的包含關(guān)系和實數(shù)的大小關(guān)系有相似之處,記號? 和≦有相似之處,開口指向'較大的一邊'
1.1.2圖形語言表述（圖形此處僅示意作用）：
三種不同的圖形樣式使用的技巧與場合自然也不同，哪個更加形象、直觀、易理解就見仁見智了。
1.1.3數(shù)學(xué)符號表示：如果任意a∈A則a∈B，那么集合A稱為集合B的子集（subset）。
注：“任意”在數(shù)學(xué)中有專用字符?是上下顛倒的大寫字母A,“存在”用左右鏡像的字母E表示，此處以課本常用字符為參考。
1.2真子集
1.2.1文字語言表示：如果A ? B，而集合B中至少有一個元素不屬于集合A，則稱集合A是集合B的真子集。
1.2.2圖形語言同上，注意差異。
1.2.3數(shù)學(xué)符號表示：如果A ? B，且存在x∈B但x?A,則稱集合A是集合B的真子集。
1.2.4性質(zhì)
性質(zhì)1：任何一個集合是它本身的子集.
性質(zhì)2：如果一個集合的元素有n個，那么它的子集有2n個（注意空集的存在），非空子集有2n —1個，真子集有2n —1個，非空真子集有2n —2個。
證明：對于集合中的每個元素來講，在它的子集中要么被選到，要么不被選到，只有這兩種選擇，故每個元素被選中的可能性是2，n個元素，故子集個數(shù)共有2×2×2×…×2=2n 。其余從略。
性質(zhì)3：子集就是一個集合中的全部元素是另一個集合中的元素，有可能與另一個集合相等；
真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素，但不存在相等。
1.3空集
1.3.1空集的是指不含任何元素的集合稱為空集。
1.3.2空集是一切集合的子集。
證明（反證法）：按照子集的定義，這條性質(zhì)是說 { } 的每個元素x都屬于A。若這條性質(zhì)不為真，那 { } 中至少有一個元素不在A中。由于{ }中沒有元素，也就沒有{ }的元素不屬于A了，得到{ }的每個元素都屬于 A， 即{ }是A的子集。
表示方法:用符號?或者{ }表示。
1.3.3性質(zhì)與注意點
性質(zhì):：空集是任何非空集合的真子集。 ?只有一個子集就是自身，沒有真子集。
注意點1：空集不是無;它是不含有任何元素的集合。
:注意點2：{?}為有一個字符為?元素的集合，而不是空集（一般此處的?不作空集理解，否則會帶來很多麻煩）。初學(xué)者由于對符號的不理解使其成為集合理解的一個難點?？梢詫⒓舷胂蟪梢粋€裝有其元素的袋子：袋子可能是空的，但袋子本身確實是存在的。
這樣理解就比較直觀：{ }=?。
注意點3：實數(shù)0與空集是兩個不同的概念，不能把0或{0}與?混為一談。{0}是含有一個元素0的集合，?是不含任何元素的集合，因此，有??{0}，不能寫成?={0} 或?∈{0}。
注意點4：元素與集合之間只能用“∈”或“?”，集合與集合之間只能用“?，?，=” 或真子集的符號。二者不可以混淆。
2.集合相等
集合A?與集合B相等，是指A?的每一個元素都在B?中，而且B中的每一個元素都在A中．以下敘述實質(zhì)是一致的，只是表達(dá)方式不同而已．
①集合A與集合B的元素完全相同，則稱集合A等于集合B．
②對于兩個集合A?和B，如果A?B，同時B?A?，那么就說這兩個集合相等，記作?A?=?B．
注：這個定義是一般指在有限集的范圍內(nèi)，不是無限集。
3.對閱讀材料的重新解構(gòu)與解讀
蘇版教材在本章最后有“有限集與無限集”的閱讀材料，目的想讓同學(xué)們認(rèn)識有限與無限的區(qū)別與聯(lián)系，可惜內(nèi)容太少，不太容易說透說明白道理，聰明點可能了解個大概，笨點的走馬觀花地看看就算了。當(dāng)然很多的老師與學(xué)生根本就不看，因為考不到嗎？在寶山腳下轉(zhuǎn)了一圈而空手還，可惜、可嘆、可笑、可氣??！
3.1這是個抖機靈的問題嗎？
我們知道全體整數(shù)有無限個，全體自然數(shù)也有無限個，如果有人問你“整數(shù)的個數(shù)與自然數(shù)的個數(shù)那個多？”自然數(shù)是整數(shù)的一部分，難道部分可以等于整體嗎？同理有理數(shù)和整數(shù)哪個多呢？無理數(shù)和有理數(shù)哪個多呢？……
由此類比出線段都是一樣長的嗎？線段和直線那個更長一些？線段上的點和平面上的點哪個多？和空間中的點相比呢？
實際上這些問題都指向了——有限與無限的相關(guān)問題？
3.2神來之筆不過是舊相識
集合（有限集）的相等告訴我們，當(dāng)且僅當(dāng)兩個集合的元素完全相同時這兩個集合是相等的，如何判斷兩個集合相等呢？
一一對應(yīng)
教室里有45個座位，老師走進(jìn)教室，一看每個座位都有一個人，他就不需要點名也知道今天無人缺席，這是因為座位和人之間構(gòu)成了一一對應(yīng)的關(guān)系，從而聽課的人數(shù)和座位一樣多。假如此時空了一個座位，我們立刻知道，聽課的學(xué)生就少了一人，這是因為“部分小于整體”的原因，然而這是在有限情形的規(guī)律。對于無限的情形，又會怎樣呢？
借鑒這個方法（說起容易做起難，借鑒容易建立系統(tǒng)就更難了）：如果我們在兩個無限集的元素之間能建立起某種“一一對應(yīng)”，我們就說這兩個無限集的元素“一樣多”。即“一樣多”的唯一意義也是其本質(zhì)含義是“可以一一對應(yīng)”。在拙文一位高中數(shù)學(xué)教師眼中的“數(shù)學(xué)計算”（三） 集合的概念與康托爾中介紹了“希爾伯特旅館”，他的解決思路你現(xiàn)在明白了嗎？有限與無限是兩個多么迷人而又調(diào)皮的小東西！
3.3出人意料的解法——無字天書
歐幾里得
埃及王問道：“幾何之道，更有捷徑否？”歐幾里得對曰：“夫幾何一途，若大道然，王安得獨辟另途也？”——李善蘭（中國數(shù)學(xué)家，1811～1882）《幾何原本》中譯本序
聰明的你知道下面幾個圖各說明那兩個集合間的一一對應(yīng)嗎？
答案：（從上到下）
正整數(shù)與正偶數(shù)一樣多；
正整數(shù)與整數(shù)一樣多；
不等長的線段上的點一樣多；
線段上的點和直線上的點一樣多。
問題：你能證明圓上的點和直線一樣多嗎？
3.4追問與證明
是不是所有的無限集合間的元素都能建立“一一對應(yīng)”的關(guān)系？也就是說所有的無限集的元素個數(shù)都是一樣多的嗎？事實并非如此，有理數(shù)就不是和無理數(shù)一樣多的。
3.4.1有理數(shù)可人，可數(shù)可列
如下圖的康托爾的對角線法則就是說明有理數(shù)可數(shù)可列的，如圖我們可以人為的給出一種編號方案，我們把以正整數(shù)為分子的正既約分?jǐn)?shù)們排成下列無窮的方陣，每橫行分子一致，分母從小到大排列，下面方陣中囊括一切正有理數(shù)，在按箭頭所示的次序來編號，1編成1號，2/1編成2號，1/2編成3號，1/3編成4號，2/2因為重復(fù)去掉，故3/1編成5號，如此下去…每個正有理數(shù)都會遲早獲得唯一的一個指定的編號。
再把0編成0號，（下面是給負(fù)有理數(shù)編號）把這些號碼皆乘以2，把得到的新號碼2k（皆偶數(shù)）減1所得的奇數(shù)碼賦予與帶有2k碼的那個有理數(shù)相反的數(shù)，比如說 “1/2編碼本來是3號” 現(xiàn)在變成了6號，6—1=5則是—1/2的號碼，如此，全體有理數(shù)皆編了序號0,1,2,3，…
有理數(shù)全體的這種可以有序化或曰“可數(shù)性”是有理數(shù)名符其實的一個“有理”的表現(xiàn)。
3.4.2無理數(shù)煩人，神出鬼沒
無理數(shù)從誕生那天起，就不停地為人類帶來麻煩，先有發(fā)現(xiàn)者希伯索斯被投進(jìn)大海，后有
康托爾死于精神病院，而中間足足橫跨2000多年。
無理數(shù)也是無窮多個，例如
是一個無理數(shù)α1，它無限又不循環(huán)。若把①中的數(shù)字1全部擦掉則得α2，α2也是無理數(shù)，把α2中的數(shù)字2全擦掉，則得到無理數(shù)α3，如此可以得到無窮個無理數(shù)，這些無理數(shù)α1，α2，α3，…αn…和全部的有理數(shù)可以一一對應(yīng)，α1與0號有理數(shù)是一對兒，α2與1號有理數(shù)是一對兒，…，αk+1與k號有理數(shù)是一對，可見無理數(shù)的部分已經(jīng)和全體有理數(shù)一樣多。
無理數(shù)集合中的元素不可以編號。這只需證明（0,1]中的實數(shù)不可編號。
用反證法，若可以把（0,1]中的實數(shù)編號成t1,t2,t3,…tn…，其中
其中tij∈{0,1,2,3,…,9},i,j,是自然數(shù)，且每個ti中的右端有無限個數(shù)字不是零，例如0.5寫成0.499…9…（你明白其中的道理嗎？可以用無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式來證明）.觀察對角線上的數(shù)字列t11,t22,t33,…，tnn,…取
則十進(jìn)小數(shù)a=0.a1a2…an…∈（0,1],且a?{t1,t2,…,tn,…},此與（0,1]中的全體實數(shù)是{t1,t2,…,tn,…}矛盾的，可見（0,1]內(nèi)的實數(shù)是不可以編號的。
若（0,1]中全體無理數(shù)可以編號為β1，β2，…,βn，…又知（0,1]中的全體有理數(shù)可以編號為γ1,γ2,…,γn…,考慮數(shù)列γ1,β1,γ2,β2,…,γk,βk，…②則（0,1]中的全體實數(shù)可按②的次序編碼，與上述證明出的事實相矛盾，至此知（0,1]中的全體無理數(shù)進(jìn)而全體無理數(shù)不能編碼。
無理數(shù)們的這種不可數(shù)性是它們“無理”的一種表現(xiàn)。從而可以清楚的看到無理數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)比有理數(shù)多，通俗的講，有理數(shù)可以一個一個的地數(shù)，而無理數(shù)則多到不可勝數(shù)。
3.4.3你中有我，我中有你
聯(lián)系
每兩個有理數(shù)之間必有無理數(shù)，每兩個無理數(shù)之間必有有理數(shù)，但是無理數(shù)仍然比有理數(shù)多得多，就好比把一滴墨水滴到一碗水里，充分地攪勻，這是碗里的水也變成了的黑色，我們能說一滴墨水比一碗水多嗎？有理數(shù)和無理數(shù)也是這樣的。
我們知道數(shù)軸上的點和實數(shù)是一一對應(yīng)的，那么有理數(shù)和無理數(shù)是怎樣分布的呢？有理數(shù)是一個一個的離散的小珠子，看似無間實際有間；無理數(shù)像串珠的絲線，看似有間其實無間。二者皆處處稠密，但有理數(shù)卻被無理數(shù)的所覆蓋、所淹沒。如果說有理數(shù)是稀飯鍋里的米粒，無理數(shù)就是湯！
3.4.4康托爾的偉大貢獻(xiàn)
數(shù)學(xué)的本質(zhì)在於它的自由?——康扥爾(Cantor)
康托爾在以上問題的基礎(chǔ)之上，提出“勢”這個概念，他告訴我們，并認(rèn)識到無限集合是可以有不同的“勢”的。標(biāo)記符號為???(由希伯來字母??????演變而來)加角標(biāo)表示可數(shù)集(包括自然數(shù))的勢標(biāo)記為??，下一個較大的勢為??，再下一個是?2，以此類推。
阿列夫數(shù)用來衡量集合的大小，而無限只是定義成實數(shù)線上的最大的極限或擴展的實軸上的端點。某些阿列夫數(shù)會大于另一些阿列夫數(shù)，而無限只是無限而已。
比如自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)的“勢”是??，而無理數(shù)、實數(shù)的“勢”是??。
康托爾在1873年證明了實數(shù)集的勢大于自然數(shù)集．這不但意味著無理數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于有理數(shù)，而且顯然龐大的代數(shù)數(shù)與超越數(shù)相比而言也只成了滄海一粟，如同有人描述的那樣：“點綴在平面上的代數(shù)數(shù)猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數(shù)構(gòu)成．”
如同我們前面所講的，正因為康托爾的超前思維，受到了很多不公正的待遇，在洪水猛獸般的攻擊和誹謗面前，他為自己證明說：“數(shù)學(xué)在其發(fā)展過程中應(yīng)當(dāng)是完全自由的，對數(shù)學(xué)設(shè)定任何多余的限制只會帶來更大的危險。數(shù)學(xué)的本質(zhì)是自由！……我宣布，我們的數(shù)學(xué)科學(xué)必須擺脫形而上學(xué)的桎梏，我們需要自由發(fā)展。”
康托爾的天才特質(zhì)和創(chuàng)新精神，讓他有勇氣一個人獨對狂風(fēng)暴雨，在很長時間內(nèi)他都是一個人在戰(zhàn)斗。在數(shù)學(xué)史上，如此激烈的交戰(zhàn)是前所未有的，它關(guān)系到的是數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，是科學(xué)的爭論，無關(guān)政治、物質(zhì)利益的爭論。
著名的俄羅斯數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫總結(jié)這場戰(zhàn)爭是說：“康托爾的不朽功績，在于他向無窮的冒險邁進(jìn)，他對似是而非的傳統(tǒng)，流行的成見，哲學(xué)的教條，以及最大的數(shù)學(xué)家的權(quán)威進(jìn)行了全方位的戰(zhàn)斗，他不屈不撓地成為一門新學(xué)科的創(chuàng)造者，這門學(xué)科已在今日成了全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。”
注：
有限集不一定是可數(shù)集.令N是正整數(shù)的全體,且N＝{1,2,3,……,n},如果存在一個正整數(shù)n,那么N叫做有限集合.但是你數(shù)得清集合里面有多少個元素嗎,當(dāng)然不能咯.
空集也被認(rèn)為是有限集合.但是空集里面摸有元素.
