《微積分及其應(yīng)用》和《多元微積分及其應(yīng)用》封面
作者 | 林開亮
今年6月，科學(xué)出版社出版了 Lax & Terrell 的《多元微積分及其應(yīng)用》中譯本，這是《微積分及其應(yīng)用》（中譯本由科學(xué)出版社2018年出版）的續(xù)篇。考慮到《微積分及其應(yīng)用》頗受讀者歡迎，作為譯者，我們這里對(duì)這兩卷書略作介紹，希望有助于大家更好地了解它們。
當(dāng)今之世，Lax 與 Serre 可以說是當(dāng)時(shí)最高壽（今年兩位均94歲，Lax略長(zhǎng)）的大數(shù)學(xué)家。非常巧的是，兩位都是 Wolf 獎(jiǎng)、Abel 獎(jiǎng)得主，而且兩位都非常擅于寫書。Serre 的書《數(shù)論教程》、《有限群的線性表示》中譯本列入高等教育出版社“丘成桐數(shù)學(xué)翻譯叢書”；Lax 的書《線性代數(shù)及其應(yīng)用》和《泛函分析》中譯本均列入人民郵電出版社“圖靈叢書”。不過這幾本教材都面向數(shù)學(xué)專業(yè)的研究生。我們這里所介紹的微積分教材則面向本科生，尤其是非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生。
《泛函分析》封面
早在1976年，Lax 就與他的妻子 Anneli 一起寫了一本微積分教材，后于1980年由人民教育出版社出版其中譯本《微積分及其應(yīng)用與計(jì)算》。如 Lax于2005年在接受 Abel 獎(jiǎng)的訪談中所透露的：“在我的微積分書中，代替逐點(diǎn)連續(xù)性，我提倡一致連續(xù)性……我也有許多其他想法，我還想重寫我的微積分教材，我在找一位好的合作者?！盠ax 找到的合作者就是康奈爾大學(xué)數(shù)學(xué)系的Terrell，他們重寫的教材即《微積分及其應(yīng)用》與《多元微積分及其應(yīng)用》，均收入斯普林格出版社的品牌叢書——本科生數(shù)學(xué)教材(UTM)，分別于2014年與2017年出版。順便說一句，UTM 與其姊妹 GTM（研究生數(shù)學(xué)教材，Serre的兩本教材就屬于該系列）是兩套非常有影響力的數(shù)學(xué)叢書，國(guó)內(nèi)世界圖書出版公司引進(jìn)了其影印版，對(duì)于當(dāng)代的大學(xué)生和研究生來說，直接閱讀英文版應(yīng)該沒有困難。而世界圖書出版公司近期組織翻譯了UTM叢書中的幾本名著，分別是：鐘開萊的《初等概率論》與《隨機(jī)積分導(dǎo)論》，沙法列維奇的《代數(shù)教程》(此書高中生就可以閱讀)、Stephen Abbott的《分析入門》與杜武亮的《流形導(dǎo)引》（此書我也參與翻譯）。
六年前，當(dāng)我在為大一新生上高等數(shù)學(xué)（一個(gè)更好的稱謂是“微積分”）而備課時(shí)，發(fā)現(xiàn)了 Lax & Terrell 的《微積分及其應(yīng)用》，如獲至寶。于是邀請(qǐng)昔日的好友一起翻譯此書，兩卷書前后共譯五年。作為譯者，我們從中也受益匪淺。下面就簡(jiǎn)單談?wù)勎覍?duì)這兩卷書的認(rèn)識(shí)。
Lax 強(qiáng)調(diào)對(duì)理論與應(yīng)用的結(jié)合。在理論方面，這兩卷書不拘泥于瑣碎細(xì)節(jié)，利用一些方便常用的定義（如一致連續(xù)與一致收斂、光滑有界集）簡(jiǎn)化了對(duì)定理的理解與證明。這在第二卷《多元微積分及其應(yīng)用》尤其顯著。眾所周知，對(duì)多元函數(shù)的教學(xué)，兩個(gè)緊密相關(guān)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是：1、曲線積分與曲面積分；2、格林定理、散度定理與斯托克斯定理。借助于向量分析的語言，Lax & Terrell 在《多元微積分及其應(yīng)用》第七、八章將這兩部分內(nèi)容作了簡(jiǎn)單明了的闡述。我們相信，想要對(duì)這些內(nèi)容獲得清晰認(rèn)識(shí)的讀者，是絕不會(huì)失望的。說到這里，我聯(lián)想起臺(tái)灣中央研究院數(shù)學(xué)所前所長(zhǎng)劉太平教授在《數(shù)學(xué)傳播》的一篇專訪中指出的教學(xué)問題：“我們教書有太多的東西要教，比如微積分, 當(dāng) Stokes 定理都學(xué)過了, 但卻連較初等的, 像 divergence (散度)代表什么，常沒有時(shí)間仔細(xì)想過?！?Lax & Terrell 在《多元微積分及其應(yīng)用》第3.5節(jié)就專門介紹了散度與旋度。（順便提一句，受到這一節(jié)內(nèi)容的啟迪，我與另一位譯者吳艷霞在一篇即將發(fā)表的小文中解釋了為何不在高維空間提旋度的概念：因?yàn)槌巳S空間與七維空間以外，其他維數(shù)的歐氏空間沒有合適的旋度。）
在應(yīng)用方面，Lax 舉了許多來自生活與物理的例子。例如，很突出的一個(gè)例子，第一卷最后一章講到了概率，在第二卷積分舉例時(shí)又提及概率密度函數(shù)(pdf)的重要概念，進(jìn)而在最后一章偏微分方程舉例時(shí)提到了薛定諤方程以及量子力學(xué)的概率解釋。另一個(gè)典型的例子，是從萬有引力定律推導(dǎo)開普勒三定律，這是牛頓的偉大功績(jī)之一。講到這里，我想分享另一位 Abel 獎(jiǎng)得主 I. Singer 的第一次邂逅數(shù)學(xué)的經(jīng)歷（見即將出版的《數(shù)學(xué)與物理》，高等教育出版社“數(shù)學(xué)與人文”叢書第31輯）：“我高中時(shí)就對(duì)科學(xué)感興趣，并獲得密歇根大學(xué)的獎(jiǎng)學(xué)金。在密歇根的頭一年，我覺得沒有什么挑戰(zhàn)性，很失望，當(dāng)一天和尚撞一天鐘，直到在微積分的課堂上，我們的老師講到牛頓如何從他的平方反比定律推導(dǎo)出行星的橢圓軌道。我感覺到，奇妙的事情發(fā)生了，這是富有智慧與美妙的事情！我現(xiàn)在仍然能感受這一點(diǎn)，而且常常跟那些門外漢說：'只要想一想人類智慧是何等的卓越；在一張紙上就可以演算出行星的軌道！’真是令人難以置信，事實(shí)上恰當(dāng)?shù)恼f應(yīng)該是，令人敬畏。我為那個(gè)推導(dǎo)感到激動(dòng)；這加強(qiáng)了我投身科學(xué)的決定?！蔽蚁?，我們的微積分課堂尤其需要這樣激動(dòng)人心的例子。Lax & Terrell 的教材就是一個(gè)豐富的礦藏。
這兩本書有大量的習(xí)題，并且書后有部分習(xí)題的答案。其中有許多習(xí)題都是有趣的，尤其值得一提的是，在第二卷的練習(xí)2.55，作者引導(dǎo)讀者去證明代數(shù)基本定理（要知道，這結(jié)果可是大數(shù)學(xué)家高斯1799年博士論文的主題）！
我想還應(yīng)該指出，考慮到我們的許多大一新生在高中對(duì)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)并不系統(tǒng)，而 Lax & Terrell 的第一卷專辟章節(jié)講三角函數(shù)，因此《微積分及其應(yīng)用》會(huì)成為新生學(xué)習(xí)微積分的絕佳伴侶。
最后，我要特別說明，自《微積分及其應(yīng)用》中譯本出版后，我們又發(fā)現(xiàn)不少可以改進(jìn)或改正的地方，因此特別列出一個(gè)勘誤清單（后臺(tái)回復(fù) Lax可直接下載），供讀者參考。歡迎大家多提寶貴意見。
第一卷出版有熱心朋友在知乎上做了宣傳，見這里https://zhuanlan.zhihu.com/p/40274687。
確實(shí)，誠(chéng)如這位朋友指出的，“這本書要說有什么缺點(diǎn)，那就是定價(jià)178元實(shí)在貴得離譜?！逼鋵?shí)我們所有譯者看到這個(gè)定價(jià)都覺得超出我們的想象，第二卷更是定價(jià)高達(dá)188元。于我們譯者而言，翻譯這兩卷書我們其實(shí)沒有多少稿酬，實(shí)際上還掏了七八萬給出版社引進(jìn)中譯本版權(quán)（感謝我的恩師曾慷慨解囊贊助出版）。我們?yōu)槭裁匆鲞@種事情呢？因?yàn)槲覀冎幌胱尨蠹铱吹絃ax的新書，希望對(duì)大家有益。我們所有譯者，并不希望出版社定價(jià)這樣高，因?yàn)檫@偏離了我們的初衷——讓更多的人讀到這兩本書！我寫本文也不是要吹捧這兩本書，我的見解與知乎上這位朋友一樣：Lax的書，無須我多言！我只希望大家知道，學(xué)習(xí)微積分有這么兩本書，多一個(gè)選擇。
《微積分及其應(yīng)用》
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《多元微積分及其應(yīng)用》
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《微積分及其應(yīng)用》一書目錄
《多元微積分及其應(yīng)用》一書目錄
譯后記
本書《多元微積分及其應(yīng)用》是《微積分及其應(yīng)用》的續(xù)篇，本著對(duì)作者Peter Lax和Maria Terrell的喜愛崇敬與對(duì)讀者的負(fù)責(zé)到底，我們趁熱打鐵完成了本書的翻譯。
本書延續(xù)了作者一貫簡(jiǎn)明清晰的文風(fēng)，舉例豐富，注重背景，生動(dòng)有趣。與其他同類教材相比，本書的一個(gè)特色是專辟章節(jié)介紹了守恒律與偏微分方程之初等理論。這些內(nèi)容是Lax本人之專長(zhǎng)（偏微分方程）所在，因此完全可以理解他會(huì)在課程中引入。在他而言，守恒律乃數(shù)學(xué)之美妙的體現(xiàn)，參見http://www.concinnitasproject.org/portfolio/，中譯文《大雅之美：十位大數(shù)學(xué)家心中最美的公式》見“數(shù)立方”網(wǎng)站（http://mathcubic.org/article/article/index/id/515.html）。為方便讀者更好地理解，我們專門邀請(qǐng)了北京工業(yè)大學(xué)的劉繼濤老師翻譯了《激波的形成與衰減》，這是Lax 多年前發(fā)表于《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》的一篇美文，該譯稿收入即將出版的《數(shù)學(xué)與物理》（高等教育出版社“數(shù)學(xué)與人文”叢書第31輯）。
考慮到有些讀者可能對(duì)兩位作者不太了解，我這里略說幾句，以增進(jìn)你對(duì)本書的認(rèn)識(shí)。
先說作者。Peter Lax是1926年出生的匈牙利裔美籍?dāng)?shù)學(xué)家，1949年在紐約大學(xué)獲得博士學(xué)位，之后一直留校任教。Lax在學(xué)術(shù)上成就卓越，先后榮獲美國(guó)國(guó)家科學(xué)獎(jiǎng)?wù)拢?986）、Wolf數(shù)學(xué)獎(jiǎng)（1987）、Abel獎(jiǎng)（2005）以及俄羅斯的 Lomonosov金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)拢?013）。Lax是美國(guó)科學(xué)院院士，挪威文理學(xué)院院士，美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)士。2005年，Springer出版了Lax的兩卷本《論文選集》。在通俗寫作方面，Lax先后三次榮獲美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)的寫作獎(jiǎng)，附錄收入的《激波的形成與衰減》曾兩次獲獎(jiǎng)，另一篇獲獎(jiǎng)作品是1965年發(fā)表于《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》第72卷的文章《偏微分方程的數(shù)值解》。這些主題都滲透到本書中，見第八章和第九章。Lax著述豐富，其教材尤其受師生喜愛，除了我們的微積分譯著，被譯成中文的，還有《微積分及其計(jì)算與應(yīng)用》（即《微積分及其應(yīng)用》之前身）、《線性代數(shù)及其應(yīng)用》和《泛函分析》。其中，后兩本基于其研究生課程講義，線性代數(shù)與泛函分析都是Lax最喜歡講授的研究生課程；而另一門則是偏微分方程（見本書第九章，這個(gè)主題在普通的多元微積分教材中并不多見），其講義《雙曲偏微分方程》（2006）尚未有中譯本。
在他為接受Abel獎(jiǎng)所寫的自傳（見Helge Holden 和Ragni Piene 主編的The Abel Prize 2003–2007 The First Five Years一書第187頁）中，Lax分享了他對(duì)數(shù)學(xué)的看法：
Mathematics is sometimes compared to music; I find a comparison with painting better. In painting there is a creative tension between depicting the shapes, colors and textures of natural objects, and making a beautiful pattern on a flat canvas. Similarly, in mathematics there is a creative tension between analyzing the laws of nature, and making beautiful logical patterns.
我的翻譯（也見《當(dāng)代大數(shù)學(xué)家畫傳》關(guān)于Lax的篇目）如下：
數(shù)學(xué)有時(shí)被拿來與音樂比較，但我覺得與繪畫比較更恰當(dāng)。在繪畫時(shí)，在描述自然對(duì)象的形狀、顏色、紋理與在帆布上勾勒出一幅漂亮的圖案之間存在創(chuàng)造性張力。類似地，在數(shù)學(xué)中，在分析自然定律與構(gòu)造優(yōu)美的邏輯模式之間也存在創(chuàng)造性張力。
在《當(dāng)代大數(shù)學(xué)家畫傳》中，Lax 進(jìn)一步補(bǔ)充說：
我所做的大部分工作都源于物理學(xué)建議的一些問題，例如聲波的傳播，它們被散射的方式，流體中激波的形成與傳播。不論何種問題，其數(shù)學(xué)必須要優(yōu)美。這些問題中有許多都引出了純數(shù)學(xué)中的有趣問題。
Lax在純數(shù)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)之間游刃有余，研究和教學(xué)都出類拔萃，乃世所罕有的數(shù)學(xué)大師。
Lax 一共培養(yǎng)了55名博士，其中有4位華裔，而現(xiàn)任職于牛津大學(xué)數(shù)學(xué)所的陳貴強(qiáng)教授則是Lax的博士后（1987—1989）。
本書的另一位作者M(jìn)aria Terrell是康奈爾大學(xué)數(shù)學(xué)系的退休教授，研究領(lǐng)域是幾何與數(shù)學(xué)教育。
本書共12位譯者，分別是：
林開亮（第一、五章），西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院；
吳艷霞（第一章），山東財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院；
張雅軒（第二章），中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院；
崔曉娜（第三章），河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院；
姚少魁（第三章），北京市第八十中學(xué)國(guó)際部；
陳敏茹（第四章），河南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；
王 兢（第五、六章），中央民族大學(xué)理學(xué)院；
任文輝（第六章），內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院；
崔繼峰（第六章），內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院；
邵紅亮（第七章），重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；
劉 帥（第八章），西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院；
鄭霽光（第九章），復(fù)旦發(fā)展研究院金融研究中心；
譯者大部分是我的同學(xué)（本科或研究生），有不少是我在首都師范大學(xué)排球場(chǎng)上的球友。我們的合作，是飽含著深情與懷念的協(xié)同作戰(zhàn)。特別值得一提的是，負(fù)責(zé)翻譯第三章的姚少魁、崔曉娜夫婦。在翻譯《微積分及其應(yīng)用》期間，曉娜懷著第一個(gè)寶寶，在翻譯本書期間，曉娜懷著第二個(gè)寶寶。作為孕婦本來就很受累，還要伏案翻譯，其辛勞可想而知（幸虧Lax的書只有兩卷）！各位譯者年齡相仿，身處學(xué)校，承受著教學(xué)和科研的壓力，肩負(fù)著生活與工作的重?fù)?dān)，但仍然像擠殘剩不多的牙膏那樣，擠出一點(diǎn)一滴的時(shí)間，以飽滿的熱情和專業(yè)的精神，認(rèn)真完成各個(gè)章節(jié)的翻譯并校訂原書。在某種意義上，我們的翻譯稱得上是一種浪漫的合作，其目標(biāo)只是為了給各位讀者呈現(xiàn)出一本盡善盡美的《多元微積分及其應(yīng)用》。我想我們已經(jīng)接近這個(gè)目標(biāo)了，希望各位讀者也滿意。
在個(gè)別地方我們補(bǔ)充了一些腳注或是對(duì)行文做了小幅度的調(diào)整，也是希望能夠幫助讀者更好地理解本書。原則上講，多元微積分的理論與一元微積分的理論平行，因此對(duì)那些讀過第一卷《微積分及其應(yīng)用》的讀者來說，繼續(xù)跟進(jìn)《多元微積分及其應(yīng)用》是水到渠成、自然而然的選擇。通常的多元微積分教材，對(duì)曲線積分和曲面積分的講述不夠清晰，以至于學(xué)生這一塊內(nèi)容往往不得要領(lǐng)。本書的處理（見第七章）抽繭剝絲簡(jiǎn)潔明了，尤其值得推薦給各位讀者。如前所述，第八章關(guān)于守恒律的部分有些高深，一般讀者適當(dāng)了解即可。
最后，我們想強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，正如書名所提示的，本書注重理論之應(yīng)用——用行話來說——就是“理論聯(lián)系實(shí)際”，希望讀者能消化書中各個(gè)例題并輔以適當(dāng)練習(xí)以吸收理論，學(xué)以致用，充分領(lǐng)會(huì)本書的精神。毫無疑問，即便是作為已經(jīng)在課堂上講過幾遍微積分的教師、在科研中運(yùn)用過微積分的研究工作者，我們自己也從這兩卷書中受益匪淺。愿各位讀者亦有共鳴。
本書翻譯出版得到以下項(xiàng)目的資助， 國(guó)家自然科學(xué)基金No.11605142（劉帥）、No.11601044（邵紅亮）、No.11801314（吳艷霞）、內(nèi)蒙古自治區(qū)自然科學(xué)基金No. 2018LH01016和內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目No. ZD201613（崔繼峰）以及中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金Z109021708（林開亮），特表感謝。
感謝本書作者之一的 Maria Terrell 及其夫君 Robert E. Terrell 與我們及時(shí)溝通，這使得本書的翻譯順利了許多。Maria Terrell還在其個(gè)人主頁（http://pi.math.cornell.edu/~maria/）給出了《微積分及其應(yīng)用》和本書的一個(gè)印刷錯(cuò)誤清單（a list of typos）。
感謝北京市朝陽區(qū)教育研究中心的張浩博士、內(nèi)蒙古大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的顏昭雯教授、為我們校對(duì)了部分章節(jié)的譯稿，感謝天津大學(xué)物理系的劉云朋教授為我們解答了翻譯過程中遇到的疑難（見9.3節(jié)問題9.25），感謝大連交通大學(xué)理學(xué)院的莫利同學(xué)與我們討論，最終引出了關(guān)于周期函數(shù)之和未必是周期函數(shù)的那個(gè)腳注（見9.2節(jié)）。感謝重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院的王顯金教授為我們調(diào)整了LaTeX模板，感謝“遇見數(shù)學(xué)”的李想老師為我們補(bǔ)全了圖10.5（原書只有左邊的圖）。最后，我們要感謝科學(xué)出版社林鵬社長(zhǎng)與數(shù)理分社陳玉琢編輯對(duì)我們一如既往的鼓勵(lì)支持！
譯者代表 林開亮
2019年5月5日
于西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院
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