《微積分及其應(yīng)用》和《多元微積分及其應(yīng)用》封面
作者 | 林開亮
今年6月,科學(xué)出版社出版了 Lax & Terrell 的《多元微積分及其應(yīng)用》中譯本,這是《微積分及其應(yīng)用》(中譯本由科學(xué)出版社2018年出版)的續(xù)篇。考慮到《微積分及其應(yīng)用》頗受讀者歡迎,作為譯者,我們這里對(duì)這兩卷書略作介紹,希望有助于大家更好地了解它們。
當(dāng)今之世,Lax 與 Serre 可以說是當(dāng)時(shí)最高壽(今年兩位均94歲,Lax略長(zhǎng))的大數(shù)學(xué)家。非常巧的是,兩位都是 Wolf 獎(jiǎng)、Abel 獎(jiǎng)得主,而且兩位都非常擅于寫書。Serre 的書《數(shù)論教程》、《有限群的線性表示》中譯本列入高等教育出版社“丘成桐數(shù)學(xué)翻譯叢書”;Lax 的書《線性代數(shù)及其應(yīng)用》和《泛函分析》中譯本均列入人民郵電出版社“圖靈叢書”。不過這幾本教材都面向數(shù)學(xué)專業(yè)的研究生。我們這里所介紹的微積分教材則面向本科生,尤其是非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生。
《泛函分析》封面
早在1976年,Lax 就與他的妻子 Anneli 一起寫了一本微積分教材,后于1980年由人民教育出版社出版其中譯本《微積分及其應(yīng)用與計(jì)算》。如 Lax于2005年在接受 Abel 獎(jiǎng)的訪談中所透露的:“在我的微積分書中,代替逐點(diǎn)連續(xù)性,我提倡一致連續(xù)性……我也有許多其他想法,我還想重寫我的微積分教材,我在找一位好的合作者?!盠ax 找到的合作者就是康奈爾大學(xué)數(shù)學(xué)系的Terrell,他們重寫的教材即《微積分及其應(yīng)用》與《多元微積分及其應(yīng)用》,均收入斯普林格出版社的品牌叢書——本科生數(shù)學(xué)教材(UTM),分別于2014年與2017年出版。順便說一句,UTM 與其姊妹 GTM(研究生數(shù)學(xué)教材,Serre的兩本教材就屬于該系列)是兩套非常有影響力的數(shù)學(xué)叢書,國(guó)內(nèi)世界圖書出版公司引進(jìn)了其影印版,對(duì)于當(dāng)代的大學(xué)生和研究生來說,直接閱讀英文版應(yīng)該沒有困難。而世界圖書出版公司近期組織翻譯了UTM叢書中的幾本名著,分別是:鐘開萊的《初等概率論》與《隨機(jī)積分導(dǎo)論》,沙法列維奇的《代數(shù)教程》(此書高中生就可以閱讀)、Stephen Abbott的《分析入門》與杜武亮的《流形導(dǎo)引》(此書我也參與翻譯)。
六年前,當(dāng)我在為大一新生上高等數(shù)學(xué)(一個(gè)更好的稱謂是“微積分”)而備課時(shí),發(fā)現(xiàn)了 Lax & Terrell 的《微積分及其應(yīng)用》,如獲至寶。于是邀請(qǐng)昔日的好友一起翻譯此書,兩卷書前后共譯五年。作為譯者,我們從中也受益匪淺。下面就簡(jiǎn)單談?wù)勎覍?duì)這兩卷書的認(rèn)識(shí)。
Lax 強(qiáng)調(diào)對(duì)理論與應(yīng)用的結(jié)合。在理論方面,這兩卷書不拘泥于瑣碎細(xì)節(jié),利用一些方便常用的定義(如一致連續(xù)與一致收斂、光滑有界集)簡(jiǎn)化了對(duì)定理的理解與證明。這在第二卷《多元微積分及其應(yīng)用》尤其顯著。眾所周知,對(duì)多元函數(shù)的教學(xué),兩個(gè)緊密相關(guān)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是:1、曲線積分與曲面積分;2、格林定理、散度定理與斯托克斯定理。借助于向量分析的語言,Lax & Terrell 在《多元微積分及其應(yīng)用》第七、八章將這兩部分內(nèi)容作了簡(jiǎn)單明了的闡述。我們相信,想要對(duì)這些內(nèi)容獲得清晰認(rèn)識(shí)的讀者,是絕不會(huì)失望的。說到這里,我聯(lián)想起臺(tái)灣中央研究院數(shù)學(xué)所前所長(zhǎng)劉太平教授在《數(shù)學(xué)傳播》的一篇專訪中指出的教學(xué)問題:“我們教書有太多的東西要教,比如微積分, 當(dāng) Stokes 定理都學(xué)過了, 但卻連較初等的, 像 divergence (散度)代表什么,常沒有時(shí)間仔細(xì)想過?!?Lax & Terrell 在《多元微積分及其應(yīng)用》第3.5節(jié)就專門介紹了散度與旋度。(順便提一句,受到這一節(jié)內(nèi)容的啟迪,我與另一位譯者吳艷霞在一篇即將發(fā)表的小文中解釋了為何不在高維空間提旋度的概念:因?yàn)槌巳S空間與七維空間以外,其他維數(shù)的歐氏空間沒有合適的旋度。)
在應(yīng)用方面,Lax 舉了許多來自生活與物理的例子。例如,很突出的一個(gè)例子,第一卷最后一章講到了概率,在第二卷積分舉例時(shí)又提及概率密度函數(shù)(pdf)的重要概念,進(jìn)而在最后一章偏微分方程舉例時(shí)提到了薛定諤方程以及量子力學(xué)的概率解釋。另一個(gè)典型的例子,是從萬有引力定律推導(dǎo)開普勒三定律,這是牛頓的偉大功績(jī)之一。講到這里,我想分享另一位 Abel 獎(jiǎng)得主 I. Singer 的第一次邂逅數(shù)學(xué)的經(jīng)歷(見即將出版的《數(shù)學(xué)與物理》,高等教育出版社“數(shù)學(xué)與人文”叢書第31輯):“我高中時(shí)就對(duì)科學(xué)感興趣,并獲得密歇根大學(xué)的獎(jiǎng)學(xué)金。在密歇根的頭一年,我覺得沒有什么挑戰(zhàn)性,很失望,當(dāng)一天和尚撞一天鐘,直到在微積分的課堂上,我們的老師講到牛頓如何從他的平方反比定律推導(dǎo)出行星的橢圓軌道。我感覺到,奇妙的事情發(fā)生了,這是富有智慧與美妙的事情!我現(xiàn)在仍然能感受這一點(diǎn),而且常常跟那些門外漢說:'只要想一想人類智慧是何等的卓越;在一張紙上就可以演算出行星的軌道!’真是令人難以置信,事實(shí)上恰當(dāng)?shù)恼f應(yīng)該是,令人敬畏。我為那個(gè)推導(dǎo)感到激動(dòng);這加強(qiáng)了我投身科學(xué)的決定?!蔽蚁?,我們的微積分課堂尤其需要這樣激動(dòng)人心的例子。Lax & Terrell 的教材就是一個(gè)豐富的礦藏。
這兩本書有大量的習(xí)題,并且書后有部分習(xí)題的答案。其中有許多習(xí)題都是有趣的,尤其值得一提的是,在第二卷的練習(xí)2.55,作者引導(dǎo)讀者去證明代數(shù)基本定理(要知道,這結(jié)果可是大數(shù)學(xué)家高斯1799年博士論文的主題)!
我想還應(yīng)該指出,考慮到我們的許多大一新生在高中對(duì)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)并不系統(tǒng),而 Lax & Terrell 的第一卷專辟章節(jié)講三角函數(shù),因此《微積分及其應(yīng)用》會(huì)成為新生學(xué)習(xí)微積分的絕佳伴侶。
最后,我要特別說明,自《微積分及其應(yīng)用》中譯本出版后,我們又發(fā)現(xiàn)不少可以改進(jìn)或改正的地方,因此特別列出一個(gè)勘誤清單(后臺(tái)回復(fù) Lax可直接下載),供讀者參考。歡迎大家多提寶貴意見。
第一卷出版有熱心朋友在知乎上做了宣傳,見這里https://zhuanlan.zhihu.com/p/40274687。
確實(shí),誠(chéng)如這位朋友指出的,“這本書要說有什么缺點(diǎn),那就是定價(jià)178元實(shí)在貴得離譜?!逼鋵?shí)我們所有譯者看到這個(gè)定價(jià)都覺得超出我們的想象,第二卷更是定價(jià)高達(dá)188元。于我們譯者而言,翻譯這兩卷書我們其實(shí)沒有多少稿酬,實(shí)際上還掏了七八萬給出版社引進(jìn)中譯本版權(quán)(感謝我的恩師曾慷慨解囊贊助出版)。我們?yōu)槭裁匆鲞@種事情呢?因?yàn)槲覀冎幌胱尨蠹铱吹絃ax的新書,希望對(duì)大家有益。我們所有譯者,并不希望出版社定價(jià)這樣高,因?yàn)檫@偏離了我們的初衷——讓更多的人讀到這兩本書!我寫本文也不是要吹捧這兩本書,我的見解與知乎上這位朋友一樣:Lax的書,無須我多言!我只希望大家知道,學(xué)習(xí)微積分有這么兩本書,多一個(gè)選擇。
《微積分及其應(yīng)用》
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《多元微積分及其應(yīng)用》
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《微積分及其應(yīng)用》一書目錄
《多元微積分及其應(yīng)用》一書目錄
譯后記
本書《多元微積分及其應(yīng)用》是《微積分及其應(yīng)用》的續(xù)篇,本著對(duì)作者Peter Lax和Maria Terrell的喜愛崇敬與對(duì)讀者的負(fù)責(zé)到底,我們趁熱打鐵完成了本書的翻譯。
本書延續(xù)了作者一貫簡(jiǎn)明清晰的文風(fēng),舉例豐富,注重背景,生動(dòng)有趣。與其他同類教材相比,本書的一個(gè)特色是專辟章節(jié)介紹了守恒律與偏微分方程之初等理論。這些內(nèi)容是Lax本人之專長(zhǎng)(偏微分方程)所在,因此完全可以理解他會(huì)在課程中引入。在他而言,守恒律乃數(shù)學(xué)之美妙的體現(xiàn),參見http://www.concinnitasproject.org/portfolio/,中譯文《大雅之美:十位大數(shù)學(xué)家心中最美的公式》見“數(shù)立方”網(wǎng)站(http://mathcubic.org/article/article/index/id/515.html)。為方便讀者更好地理解,我們專門邀請(qǐng)了北京工業(yè)大學(xué)的劉繼濤老師翻譯了《激波的形成與衰減》,這是Lax 多年前發(fā)表于《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》的一篇美文,該譯稿收入即將出版的《數(shù)學(xué)與物理》(高等教育出版社“數(shù)學(xué)與人文”叢書第31輯)。
考慮到有些讀者可能對(duì)兩位作者不太了解,我這里略說幾句,以增進(jìn)你對(duì)本書的認(rèn)識(shí)。
先說作者。Peter Lax是1926年出生的匈牙利裔美籍?dāng)?shù)學(xué)家,1949年在紐約大學(xué)獲得博士學(xué)位,之后一直留校任教。Lax在學(xué)術(shù)上成就卓越,先后榮獲美國(guó)國(guó)家科學(xué)獎(jiǎng)?wù)拢?986)、Wolf數(shù)學(xué)獎(jiǎng)(1987)、Abel獎(jiǎng)(2005)以及俄羅斯的 Lomonosov金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)拢?013)。Lax是美國(guó)科學(xué)院院士,挪威文理學(xué)院院士,美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)士。2005年,Springer出版了Lax的兩卷本《論文選集》。在通俗寫作方面,Lax先后三次榮獲美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)的寫作獎(jiǎng),附錄收入的《激波的形成與衰減》曾兩次獲獎(jiǎng),另一篇獲獎(jiǎng)作品是1965年發(fā)表于《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》第72卷的文章《偏微分方程的數(shù)值解》。這些主題都滲透到本書中,見第八章和第九章。Lax著述豐富,其教材尤其受師生喜愛,除了我們的微積分譯著,被譯成中文的,還有《微積分及其計(jì)算與應(yīng)用》(即《微積分及其應(yīng)用》之前身)、《線性代數(shù)及其應(yīng)用》和《泛函分析》。其中,后兩本基于其研究生課程講義,線性代數(shù)與泛函分析都是Lax最喜歡講授的研究生課程;而另一門則是偏微分方程(見本書第九章,這個(gè)主題在普通的多元微積分教材中并不多見),其講義《雙曲偏微分方程》(2006)尚未有中譯本。
在他為接受Abel獎(jiǎng)所寫的自傳(見Helge Holden 和Ragni Piene 主編的The Abel Prize 2003–2007 The First Five Years一書第187頁)中,Lax分享了他對(duì)數(shù)學(xué)的看法:
Mathematics is sometimes compared to music; I find a comparison with painting better. In painting there is a creative tension between depicting the shapes, colors and textures of natural objects, and making a beautiful pattern on a flat canvas. Similarly, in mathematics there is a creative tension between analyzing the laws of nature, and making beautiful logical patterns.
我的翻譯(也見《當(dāng)代大數(shù)學(xué)家畫傳》關(guān)于Lax的篇目)如下:
數(shù)學(xué)有時(shí)被拿來與音樂比較,但我覺得與繪畫比較更恰當(dāng)。在繪畫時(shí),在描述自然對(duì)象的形狀、顏色、紋理與在帆布上勾勒出一幅漂亮的圖案之間存在創(chuàng)造性張力。類似地,在數(shù)學(xué)中,在分析自然定律與構(gòu)造優(yōu)美的邏輯模式之間也存在創(chuàng)造性張力。
在《當(dāng)代大數(shù)學(xué)家畫傳》中,Lax 進(jìn)一步補(bǔ)充說:
我所做的大部分工作都源于物理學(xué)建議的一些問題,例如聲波的傳播,它們被散射的方式,流體中激波的形成與傳播。不論何種問題,其數(shù)學(xué)必須要優(yōu)美。這些問題中有許多都引出了純數(shù)學(xué)中的有趣問題。
Lax在純數(shù)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)之間游刃有余,研究和教學(xué)都出類拔萃,乃世所罕有的數(shù)學(xué)大師。
Lax 一共培養(yǎng)了55名博士,其中有4位華裔,而現(xiàn)任職于牛津大學(xué)數(shù)學(xué)所的陳貴強(qiáng)教授則是Lax的博士后(1987—1989)。
本書的另一位作者M(jìn)aria Terrell是康奈爾大學(xué)數(shù)學(xué)系的退休教授,研究領(lǐng)域是幾何與數(shù)學(xué)教育。
本書共12位譯者,分別是:
林開亮(第一、五章),西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院;
吳艷霞(第一章),山東財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院;
張雅軒(第二章),中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院;
崔曉娜(第三章),河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院;
姚少魁(第三章),北京市第八十中學(xué)國(guó)際部;
陳敏茹(第四章),河南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院;
王 兢(第五、六章),中央民族大學(xué)理學(xué)院;
任文輝(第六章),內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院;
崔繼峰(第六章),內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院;
邵紅亮(第七章),重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院;
劉 帥(第八章),西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院;
鄭霽光(第九章),復(fù)旦發(fā)展研究院金融研究中心;
譯者大部分是我的同學(xué)(本科或研究生),有不少是我在首都師范大學(xué)排球場(chǎng)上的球友。我們的合作,是飽含著深情與懷念的協(xié)同作戰(zhàn)。特別值得一提的是,負(fù)責(zé)翻譯第三章的姚少魁、崔曉娜夫婦。在翻譯《微積分及其應(yīng)用》期間,曉娜懷著第一個(gè)寶寶,在翻譯本書期間,曉娜懷著第二個(gè)寶寶。作為孕婦本來就很受累,還要伏案翻譯,其辛勞可想而知(幸虧Lax的書只有兩卷)!各位譯者年齡相仿,身處學(xué)校,承受著教學(xué)和科研的壓力,肩負(fù)著生活與工作的重?fù)?dān),但仍然像擠殘剩不多的牙膏那樣,擠出一點(diǎn)一滴的時(shí)間,以飽滿的熱情和專業(yè)的精神,認(rèn)真完成各個(gè)章節(jié)的翻譯并校訂原書。在某種意義上,我們的翻譯稱得上是一種浪漫的合作,其目標(biāo)只是為了給各位讀者呈現(xiàn)出一本盡善盡美的《多元微積分及其應(yīng)用》。我想我們已經(jīng)接近這個(gè)目標(biāo)了,希望各位讀者也滿意。
在個(gè)別地方我們補(bǔ)充了一些腳注或是對(duì)行文做了小幅度的調(diào)整,也是希望能夠幫助讀者更好地理解本書。原則上講,多元微積分的理論與一元微積分的理論平行,因此對(duì)那些讀過第一卷《微積分及其應(yīng)用》的讀者來說,繼續(xù)跟進(jìn)《多元微積分及其應(yīng)用》是水到渠成、自然而然的選擇。通常的多元微積分教材,對(duì)曲線積分和曲面積分的講述不夠清晰,以至于學(xué)生這一塊內(nèi)容往往不得要領(lǐng)。本書的處理(見第七章)抽繭剝絲簡(jiǎn)潔明了,尤其值得推薦給各位讀者。如前所述,第八章關(guān)于守恒律的部分有些高深,一般讀者適當(dāng)了解即可。
最后,我們想強(qiáng)調(diào)一點(diǎn),正如書名所提示的,本書注重理論之應(yīng)用——用行話來說——就是“理論聯(lián)系實(shí)際”,希望讀者能消化書中各個(gè)例題并輔以適當(dāng)練習(xí)以吸收理論,學(xué)以致用,充分領(lǐng)會(huì)本書的精神。毫無疑問,即便是作為已經(jīng)在課堂上講過幾遍微積分的教師、在科研中運(yùn)用過微積分的研究工作者,我們自己也從這兩卷書中受益匪淺。愿各位讀者亦有共鳴。
本書翻譯出版得到以下項(xiàng)目的資助, 國(guó)家自然科學(xué)基金No.11605142(劉帥)、No.11601044(邵紅亮)、No.11801314(吳艷霞)、內(nèi)蒙古自治區(qū)自然科學(xué)基金No. 2018LH01016和內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目No. ZD201613(崔繼峰)以及中央高?;究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金Z109021708(林開亮),特表感謝。
感謝本書作者之一的 Maria Terrell 及其夫君 Robert E. Terrell 與我們及時(shí)溝通,這使得本書的翻譯順利了許多。Maria Terrell還在其個(gè)人主頁(http://pi.math.cornell.edu/~maria/)給出了《微積分及其應(yīng)用》和本書的一個(gè)印刷錯(cuò)誤清單(a list of typos)。
感謝北京市朝陽區(qū)教育研究中心的張浩博士、內(nèi)蒙古大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的顏昭雯教授、為我們校對(duì)了部分章節(jié)的譯稿,感謝天津大學(xué)物理系的劉云朋教授為我們解答了翻譯過程中遇到的疑難(見9.3節(jié)問題9.25),感謝大連交通大學(xué)理學(xué)院的莫利同學(xué)與我們討論,最終引出了關(guān)于周期函數(shù)之和未必是周期函數(shù)的那個(gè)腳注(見9.2節(jié))。感謝重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院的王顯金教授為我們調(diào)整了LaTeX模板,感謝“遇見數(shù)學(xué)”的李想老師為我們補(bǔ)全了圖10.5(原書只有左邊的圖)。最后,我們要感謝科學(xué)出版社林鵬社長(zhǎng)與數(shù)理分社陳玉琢編輯對(duì)我們一如既往的鼓勵(lì)支持!
譯者代表 林開亮
2019年5月5日
于西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院
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