從“雙基”到“四基”的教學(xué)轉(zhuǎn)向
——對(duì)平面圖形面積計(jì)算公式教學(xué)的思考
姜榮富
【論文分類】小學(xué)各科教與學(xué)
【論文網(wǎng)絡(luò)來(lái)源】
http://www.csscipaper.com/G39【學(xué)刊期數(shù)】2009年09期
【論文期刊來(lái)源】《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》(滬)2009年5期第13～26,56頁(yè)
【作者簡(jiǎn)介】姜榮富，浙江省杭州現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究中心。
重視“雙基”是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)。聽說(shuō)修訂的《國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》已經(jīng)把“雙基”擴(kuò)展為“四基”，即增加“基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”與“基本數(shù)學(xué)思想方法”。重視基礎(chǔ)是為了發(fā)展，數(shù)學(xué)教育改革中堅(jiān)持“四基”，不僅可以更好地促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，而且也更加突出數(shù)學(xué)的學(xué)科性質(zhì)。在具體的教學(xué)實(shí)踐中，如何把“四基”落到實(shí)處，特別是在當(dāng)前，如何實(shí)現(xiàn)從“雙基”到“四基”的教學(xué)轉(zhuǎn)向是一個(gè)重要命題。本文以小學(xué)數(shù)學(xué)平面圖形面積計(jì)算公式教學(xué)為例，和大家一起討論。
過(guò)去，平面圖形面積計(jì)算是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，是幾何知識(shí)中落實(shí)“雙基”的重要載體。現(xiàn)在，平面圖形面積計(jì)算仍然是空間與圖形中圖形測(cè)量的重要內(nèi)容，主要學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形、梯形面積和圓面積等。這些教學(xué)內(nèi)容既相互獨(dú)立又密切聯(lián)系。最近，浙江省組織了一次農(nóng)村“新生代”教師教學(xué)展示活動(dòng)，把以上教學(xué)內(nèi)容集中在一起展開研究，給大家提供了系統(tǒng)分析與整體思考的機(jī)會(huì)。在小學(xué)學(xué)習(xí)中，平面圖形面積計(jì)算公式的教學(xué)，強(qiáng)調(diào)動(dòng)手操作活動(dòng)與探究活動(dòng)的展開，涉及基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累與基本數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用問(wèn)題。通過(guò)對(duì)這些展示課的觀察與思考，筆者意識(shí)到，數(shù)學(xué)教學(xué)要實(shí)現(xiàn)從“雙基”到“四基”的轉(zhuǎn)向，面臨著諸多的問(wèn)題與挑戰(zhàn)。
這次的展示課，都以推導(dǎo)平面圖形計(jì)算公式為核心目標(biāo)，輔以空間觀念和思維能力的培養(yǎng)。教學(xué)一般從對(duì)相應(yīng)圖形的直接研究開始，不僅充分展開探索與發(fā)現(xiàn)計(jì)算公式的活動(dòng)過(guò)程，而且無(wú)一例外地強(qiáng)調(diào)圖形轉(zhuǎn)化方法的多樣化和化歸思想的具體運(yùn)用。以下是平行四邊形面積教學(xué)的例子。
【案例一】
1.與什么有關(guān)？
師（出示一個(gè)長(zhǎng)方形）：這是什么圖形？面積怎樣算？
師（出示一個(gè)平行四邊形）：這是什么圖形？你能計(jì)算它的面積嗎？
師：猜一猜，它的面積大小可能與什么有關(guān)？
學(xué)生猜想之后，教師通過(guò)課件或教具直觀演示，得出結(jié)論：平行四邊形的面積與它的底和高有關(guān)。
2.有什么關(guān)系？
在方格紙（每小格代表）上呈現(xiàn)平行四邊形。
圖1
先讓學(xué)生獨(dú)立數(shù)一數(shù)，并把圖形的底、高和面積數(shù)分別記錄在表格中。再通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的觀察與分析，得到“底×高＝面積”的事實(shí)。
3.為什么有這樣的關(guān)系？
(1)平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形。
在方格紙（每小格代表）上呈現(xiàn)長(zhǎng)方形和平行四邊形。
圖2
師：兩個(gè)圖形的面積分別是多少？
生：都是15平方厘米。
師：長(zhǎng)方形的面積比較容易求出來(lái)，平行四邊形的面積怎樣辦呢？
生：把左邊的三角形剪下來(lái)，平移到右邊，可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。
師：是這樣嗎？我們來(lái)試試。怎樣剪呢？
生：沿著平行四邊形的高剪下來(lái)。
師：（演示）通過(guò)剪拼，平行四邊形可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形。
圖3
師：還有其他的方法可以把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形嗎？
學(xué)生嘗試后，教師展示以下兩種方法：
圖4
圖5
(2)進(jìn)一步的例子。
讓學(xué)生在方格紙上畫平行四邊形，先轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，再算出它的面積。在此基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)給出一些“特例”，如出示底邊不在水平方向上的平行四邊形，討論割補(bǔ)的方法。概括并得出：平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化為面積相同的長(zhǎng)方形。
(3)分析關(guān)系。
師生共同尋找并發(fā)現(xiàn)平行四邊形的底、高與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬的對(duì)應(yīng)關(guān)系，概括出平行四邊形的面積＝底×高，S=ah。
以上教學(xué)，把平行四邊形的面積探究過(guò)程作為問(wèn)題解決的過(guò)程，使知識(shí)學(xué)習(xí)置于更寬廣的背景中，特別是學(xué)生經(jīng)歷的這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，對(duì)探索其他圖形面積計(jì)算有直接的啟示意義，是小學(xué)生研究平面圖形面積計(jì)算的一般方法。進(jìn)一步說(shuō)，上述教學(xué)過(guò)程，結(jié)論不是老師直接給出的，而是學(xué)生基于對(duì)眾多學(xué)習(xí)材料進(jìn)行加工之后自主探索發(fā)現(xiàn)的，這應(yīng)該是眾多探究式學(xué)習(xí)所追求的價(jià)值取向。但是筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)一步調(diào)查卻發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象，當(dāng)從平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)?yīng)底邊作高，如果高不在圖形之內(nèi)時(shí)（圖6），很多學(xué)生便對(duì)“底×高＝面積”的計(jì)算方法產(chǎn)生懷疑。為什么會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？表面看，是因?yàn)樵谇懊胬又袑W(xué)習(xí)的割補(bǔ)方法在這里不能直接得到應(yīng)用（以另一條邊為底作高是可以的），其實(shí)更深層的原因主要有二：一是教學(xué)過(guò)程中始終沒(méi)有擺脫對(duì)圖形割補(bǔ)的具體操作，學(xué)生對(duì)計(jì)算公式的理解只是停留在可以直接看到的例子中，概括的“S=ah”的形式化表達(dá)并沒(méi)有促成學(xué)生獲得對(duì)公式的真正理解；二是教學(xué)過(guò)程似乎也暗含了這樣的邏輯，即平行四邊形如果能轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，就可以用“底×高”的方法計(jì)算它的面積，否則就不能用這個(gè)方法。也就是說(shuō)，學(xué)生雖然經(jīng)歷了歸納推理的過(guò)程，但并不能真正體會(huì)這種數(shù)學(xué)思考方法的力量。顯然，前者是“數(shù)學(xué)化”的問(wèn)題，后者則與基本數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)相關(guān)，限于篇幅，這里不展開討論。
圖6
追蹤并審視在案例一教學(xué)中學(xué)生經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過(guò)程，筆者思考了如下兩個(gè)問(wèn)題：一是把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的具體基礎(chǔ)是什么？二是如何合理利用圖形特征幫助學(xué)生理解公式的推導(dǎo)過(guò)程？進(jìn)一步，把平行四邊形的面積教學(xué)放到整個(gè)幾何知識(shí)體系中去分析，特別是與長(zhǎng)方形的面積、三角形的面積等相似性的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行比較，思考前后的基礎(chǔ)與發(fā)展，以下兩個(gè)問(wèn)題便清晰地浮現(xiàn)出來(lái)：一是如何避免基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和利用出現(xiàn)斷層？二是怎樣避免數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)在同水平上反復(fù)？
一、把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的具體基礎(chǔ)是什么？
把這個(gè)問(wèn)題一般化，就是圖形的認(rèn)識(shí)如何為圖形測(cè)量與計(jì)算積累起必要的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?？臻g與圖形的學(xué)習(xí)內(nèi)容包括三個(gè)分支：圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的測(cè)量、圖形的位置與變換。這三個(gè)分支是幾何知識(shí)的不同側(cè)面。不同教學(xué)內(nèi)容既有不同的教學(xué)價(jià)值，又有著十分緊密的聯(lián)系。如通過(guò)圖形的周長(zhǎng)或面積計(jì)算可以增進(jìn)學(xué)生對(duì)圖形特征的認(rèn)識(shí)，而培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念則是幾何知識(shí)學(xué)習(xí)的共同價(jià)值取向?；谶@些密不可分的聯(lián)系和學(xué)生學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，需要思考教學(xué)前后的邏輯基礎(chǔ)，特別是內(nèi)隱的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。
表面看，并沒(méi)有直接的基礎(chǔ)可以使學(xué)生思考如何把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，因此，教師在設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)材料時(shí)，往往想到借助于方格紙的直觀，目的是給學(xué)生一個(gè)直接暗示。由此帶來(lái)的直接后果是學(xué)生失去了思考與嘗試的機(jī)會(huì)，從教師教學(xué)的角度來(lái)看，也是對(duì)學(xué)生已有基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的漠視。
事實(shí)上，學(xué)生對(duì)于平行四邊形的操作經(jīng)驗(yàn)，是伴隨著對(duì)平行四邊形認(rèn)識(shí)的過(guò)程逐步積累起來(lái)的，最初的經(jīng)驗(yàn)積累甚至可以追溯到學(xué)生初次學(xué)習(xí)平行四邊形。
圖7
浙教版《數(shù)學(xué)》教材中平行四邊形的認(rèn)識(shí)分兩個(gè)階段。第一階段安排在二年級(jí)，從七巧板中引入平行四邊形，把平行四邊形與其他圖形放在一起（圖7），通過(guò)比較圖形要素的方法來(lái)認(rèn)識(shí)新圖形，使學(xué)生對(duì)平行四邊形的認(rèn)識(shí)建立在較高的觀念起點(diǎn)之上。然后，從七巧板中選擇圖形拼成平行四邊形，在具體的操作活動(dòng)中感知平行四邊形的特征，并積累圖形分與合的經(jīng)驗(yàn)。如從七巧板中選擇三角形拼成平行四邊形，就可以獲得兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形（或者說(shuō)，一個(gè)平行四邊形可以分成兩個(gè)完全一樣的三角形）的認(rèn)識(shí)。如果是用七巧板中的一個(gè)正方形和兩個(gè)三角形來(lái)拼平行四邊形，學(xué)生拼出如圖8所示的平行四邊形，教師可以進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思考，如何移動(dòng)其中的一塊，拼出一個(gè)新圖形呢？把左邊的三角形平移到右邊，就可以得到一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖9。通過(guò)這些具體的操作活動(dòng)，不僅豐富了學(xué)生對(duì)于平行四邊形的認(rèn)識(shí)，而且也積累了圖形變換的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。(轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明網(wǎng)絡(luò)來(lái)源：
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